Probabilites
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Fiche ultra-synthèse — Probabilités (2nde)
Univers \(\Omega\) • événements • \(P(A)\) • contraire \(A^c\) • réunion/intersection • méthodes rapides (niveau solide / 2nde+). Objectif : zéro confusion + copies propres (20/20).
Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Vocabulaire (univers & événements)
  • Expérience aléatoire : résultat non prévisible (dé, carte, urne…).
  • Univers \(\Omega\) : toutes les issues possibles.
  • Issue : un résultat élémentaire (ex : “obtenir 4”).
  • Événement \(A\subset \Omega\) : ensemble d’issues (ex : “obtenir pair”).
Exemple (dé) : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
\(A=\{\text{pair}\}=\{2,4,6\}\).
2 Probabilité : règles de base
RègleÀ retenir
\(0\le P(A)\le 1\)une probabilité est entre 0 et 1
\(P(\Omega)=1\)certain
\(P(\varnothing)=0\)impossible
Si \(A\subset B\) alors \(P(A)\le P(B)\)plus on demande, moins c’est probable
“Au hasard” ≠ forcément équiprobable : il faut que toutes les issues aient la même chance.
3 Cas équiprobable (la formule magique)
Si toutes les issues de \(\Omega\) sont équiprobables : \[ \boxed{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}} \] où \(|A|\)=issues favorables, \(|\Omega|\)=issues possibles.
Exemple (dé) : \(P(\text{pair})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
4 Événement contraire
Le contraire de \(A\), noté \(A^c\), signifie “non \(A\)” : \[ A^c=\Omega\setminus A \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{P(A^c)=1-P(A)} \]
Indispensable pour “au moins un”, “aucun”, “pas”, “au plus”.
5 Réunion / Intersection
  • \(A\cup B\) : “\(A\) ou \(B\)” (au moins l’un).
  • \(A\cap B\) : “\(A\) et \(B\)” (les deux).
  • Incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\).
Formule générale : \[ \boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \] Si incompatibles : \(\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}\).
6 Situations concrètes (modèles)
  • Dé : \(|\Omega|=6\). Attention : 2 dés ⇒ \(|\Omega|=36\) (couples \((i;j)\)).
  • Cartes : 52 cartes, 4 couleurs (13 chacune), 12 figures (V,D,R).
  • Urne : \(|\Omega|=\) total de boules (si tirage 1 boule).
  • Avec remise : la composition ne change pas. Sans remise : elle change.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Méthode “favorables / possibles”
  1. Décrire \(\Omega\) clairement (les issues !).
  2. Vérifier l’équiprobabilité.
  3. Compter \(|A|\) et \(|\Omega|\).
  4. Conclure : \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\).
Dé : \(A=\{2,4,6\}\) donc \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
B Méthode du contraire (très rentable)
Quand tu vois “au moins un”, calcule d’abord “aucun”, puis : \[ \boxed{P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})} \]
2 lancers de pièce : “au moins un pile” = \(1-P(\text{deux faces})\) \(=1-\frac14=\frac34\).
C Réunion : éviter le double comptage
Si \(A\) et \(B\) se recoupent, on enlève l’intersection :
\[ \boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \]
Cartes : \(A=\) cœur (\(13/52\)), \(B=\) figure (\(12/52\)), \(A\cap B=\) figure de cœur (\(3/52\))
⇒ \(P(A\cup B)=\frac{13+12-3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}\).
D Deux étapes : tableau ou arbre
  • Tableau : 2 dés ⇒ 36 couples \((i;j)\).
  • Arbre : probabilités le long d’un chemin (produit des branches).
Avec remise : \(P(R \text{ puis } R)=\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac14\).
Sans remise : le 2e tirage dépend du 1er (les fractions changent).
Pièges classiques (à éviter)
1 “Ou” inclusif
“\(A\) ou \(B\)” = \(A\cup B\) inclut le cas “\(A\) et \(B\)”.
Donc on enlève \(A\cap B\) si nécessaire.
2 Incompatibles ≠ différents
Incompatibles signifie \(A\cap B=\varnothing\).
Ex : “pair” et “multiple de 3” sur un dé ne sont pas incompatibles (6 est commun).
3 Sommes de deux dés
On compte des couples \((i;j)\) (36 issues), pas “les valeurs de somme”.
Exemple : somme 7 a 6 couples ⇒ \(6/36\).
4 “Au moins un”
Ne pas lister tous les cas si c’est long : passer par le contraire.
5 Avec / sans remise
Avec remise : mêmes proportions à chaque tirage.
Sans remise : effectifs changent ⇒ nouvelles fractions.
6 Équiprobabilité non justifiée
“Au hasard” ne suffit pas si on sait que l’objet est biaisé/truqué. Toujours préciser le modèle.
Réflexe copie : je définis \(\Omega\), je définis \(A\), je choisis la méthode (comptage, formule, contraire), puis je conclus par une fraction simplifiée.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Dé (simple)
Dé équilibré : \(A\)=“multiple de 3”. Calculer \(P(A)\).
Corrigé : \(A=\{3,6\}\) ⇒ \(P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Q2 Contraire
Pièce : \(P(\text{pile})=\frac12\). Deux lancers : proba “au moins un pile”.
Corrigé : \(1-P(\text{aucun pile})=1-P(\text{FF})=1-\frac14=\frac34\).
Q3 Réunion
Dé : \(A\)=“pair”, \(B\)=“\(\ge 4\)”. Calculer \(P(A\cup B)\).
Corrigé : \(A=\{2,4,6\}\), \(B=\{4,5,6\}\), \(A\cap B=\{4,6\}\) ⇒ \((3+3-2)/6=4/6=2/3\).
Q4 Deux dés
Deux dés : proba “somme = 7”.
Corrigé : 6 couples favorables sur 36 ⇒ \(P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).
Q5 Cartes
Jeu de 52 : proba “cœur ou figure”.
Corrigé : \(13/52+12/52-3/52=22/52=11/26\).
Q6 Urne (avec remise)
Urne 5R,3B,2V : 2 tirages avec remise. Proba “R puis R”.
Corrigé : \(\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac14\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
  • Définir \(\Omega\) (et le nombre d’issues) sans ambiguïté.
  • Traduire une phrase en événement \(A\subset\Omega\).
  • Justifier l’équiprobabilité avant \(\dfrac{|A|}{|\Omega|}\).
  • Utiliser le contraire \(A^c\) pour “au moins un / aucun / pas”.
  • Calculer \(P(A\cup B)\) en gérant \(A\cap B\).
  • Repérer incompatibilité : \(A\cap B=\varnothing\).
  • Traiter 2 étapes : tableau (petit univers) ou arbre (produits).
  • Distinguer “avec remise” / “sans remise”.
Réflexes 20/20
1) J’écris : \(\Omega\), \(A\), méthode, calcul, conclusion.
2) Pour “au moins un” : complément direct.
3) Pour “ou” : je pense double comptage ⇒ \(-P(A\cap B)\).
4) Je simplifie la fraction et je vérifie que le résultat est dans \([0 ; 1]\).
À bannir : compter les “sommes” au lieu des couples (2 dés), oublier \(A\cap B\), supposer équiprobable sans le dire, confondre incompatible et “différent”.