Probabilités et expériences aléatoires

Fiche de révision — Probabilités

Expériences aléatoires, événements, calculs de probabilités, tableaux et arbres.

1. Probabilité sur un univers fini

• Univers \(\Omega\) : ensemble des issues possibles.
• Événement \(A\) : sous-ensemble de \(\Omega\).
• Si toutes les issues sont équiprobables : \[ P(A) = \frac{\text{nombre d’issues de } A}{\text{nombre total d’issues}}. \]
• Bornes : \[ 0 \leq P(A) \leq 1,\quad P(\Omega) = 1,\quad P(\varnothing) = 0. \]

2. Complément, union et intersection

• Complémentaire : \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A). \]
• Événements incompatibles (disjoints) : \[ A \cap B = \varnothing \quad\Longrightarrow\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B). \]
• Dans le cas général : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]

3. Arbres de probabilités (enchaînements)

• On place sur chaque branche la probabilité correspondante.
• Probabilité d’un chemin complet = produit des probabilités le long de ce chemin.
• Pour deux étapes : \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A). \] En 2\textsuperscript{nde}, on l’utilise surtout avec un arbre (sans notation formelle \(P(B \mid A)\)).

4. Tableaux de probabilités

• On regroupe les probabilités dans un tableau à double entrée.
• Les totaux de lignes et de colonnes doivent être cohérents avec \(P(\Omega)=1\).
• On peut lire directement des probabilités composées, par exemple \(P(\text{Interne} \cap \text{Sport})\).

5. Fréquences et probabilités

• Fréquence d’apparition d’un événement sur un grand nombre de répétitions \(\approx\) probabilité théorique.
• Attention : sur un petit nombre d’expériences, les fréquences peuvent beaucoup fluctuer.