Univers : \(|\Omega|=6\).

(a) « multiple de 2 » : \(A=\{2,4,6\}\). Donc \(|A|=3\) et \[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. \]

(b) « \(\ge 5\) » : \(B=\{5,6\}\). Donc \(|B|=2\) et \[ P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \]

(c) Intersection : \(A\cap B=\{6\}\) (pair ET \(\ge 5\)). Donc \[ P(A\cap B)=\frac{1}{6}. \] Réunion : \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\). Donc \(|A\cup B|=4\) et \[ P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \] Vérification par la formule : \[ P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \]

(d) \((A\cup B)^c\) = « ni dans \(A\) ni dans \(B\) ». Comme \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\), \[ (A\cup B)^c=\{1,3\}. \] Donc \[ P\big((A\cup B)^c\big)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \] Et aussi \(P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\).

Réponses : (a) \(\frac{1}{2}\) ; (b) \(\frac{1}{3}\) ; (c) \(P(A\cap B)=\frac{1}{6}\), \(P(A\cup B)=\frac{2}{3}\) ; (d) \(\frac{1}{3}\), événement = \{1,3\}.

Univers : 36 couples équiprobables.

(a) Somme 7 : \[ (1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1) \] soit 6 couples. Donc \[ P(S)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}. \]

(b) Doubles : \[ (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6) \] soit 6 couples. Donc \[ P(D)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}. \]

(c) \(S\cup D\) : « somme 7 OU double ». On vérifie l’intersection \(S\cap D\) : un double a une somme paire (2,4,6,8,10,12), donc ne peut pas faire 7. Ainsi \(S\cap D=\varnothing\) (événements incompatibles). Donc \[ P(S\cup D)=P(S)+P(D)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}. \]

(d) Produit pair = contraire de « produit impair ». Produit impair ⇔ (impair; impair). Or les impairs sont \(\{1,3,5\}\) : 3 choix pour chaque dé, donc 9 couples impairs. \[ P(\text{produit impair})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad P(P)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}. \]

Réponses : (a) \(\frac{1}{6}\) ; (b) \(\frac{1}{6}\) ; (c) \(\frac{1}{3}\) ; (d) \(\frac{3}{4}\).

(a) \(P(C)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\). \(P(F)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\). \(P(R)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\) (26 rouges).

(b) \(C\cap F\) = « figure de cœur ». Il y en a 3 (V♥, D♥, R♥). \[ P(C\cap F)=\frac{3}{52}. \] Alors \[ P(C\cup F)=P(C)+P(F)-P(C\cap F) =\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52} =\frac{22}{52}=\frac{11}{26}. \]

(c) \(R\cap F\) = « figure rouge ». Chaque couleur rouge (♥, ♦) a 3 figures, donc 6. \[ P(R\cap F)=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}. \] Puis \[ P(R\cup F)=P(R)+P(F)-P(R\cap F) =\frac{26}{52}+\frac{12}{52}-\frac{6}{52} =\frac{32}{52}=\frac{8}{13}. \]

(d) \((R\cup F)^c\) = « ni rouge, ni figure ». Donc : cartes noires (trèfle ou pique) non figures. Il y a 26 noires, dont 6 figures noires, donc 20 noires non figures. \[ P((R\cup F)^c)=\frac{20}{52}=\frac{5}{13}. \] Vérification par complément : \(1-\frac{8}{13}=\frac{5}{13}\).

Réponses : (a) \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{13}\), \(\frac{1}{2}\) ; (b) \(\frac{3}{52}\), \(\frac{11}{26}\) ; (c) \(\frac{3}{26}\), \(\frac{8}{13}\) ; (d) \(\frac{5}{13}\).

Total : 12 boules.

(a) \[ P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},\quad P(V)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6},\quad P(E)=\frac{6+4}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}. \]

(b) \(E\) = rouge ou bleu, donc \(E^c\) = « pas rouge et pas bleu » = « verte ». Donc \(E^c = V\) et \[ P(E^c)=P(V)=\frac{1}{6}. \] (Ou directement \(1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\).)

(c) \(A\cup V\) = rouge ou verte : favorables \(6+2=8\) donc \[ P(A\cup V)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}. \] Et \(A\cap V\) = « rouge ET verte » impossible sur un tirage, donc \(A\cap V=\varnothing\) et \[ P(A\cap V)=0. \]

(d) \(E\cap A\) : comme toute rouge est une couleur primaire, on a \(A\subset E\). Donc \(E\cap A = A\) et \[ P(E\cap A)=P(A)=\frac{1}{2}. \] Interprétation : « être rouge » implique déjà « être primaire ».

Réponses : (a) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{5}{6}\) ; (b) \(E^c=V\), \(\frac{1}{6}\) ; (c) \(\frac{2}{3}\), 0 ; (d) \(\frac{1}{2}\).

Base : au départ, 8 boules (5 N, 3 B).

(a) Avec remise : \(P(N)=\frac{5}{8}\), \(P(B)=\frac{3}{8}\) à chaque tirage. \[ P(N\text{ puis }B)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{15}{64}. \]

(b) Sans remise : \(P(N\text{ au 1er})=\frac{5}{8}\). Si on a tiré N, il reste 7 boules dont 3 blanches. \[ P(N\text{ puis }B)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}. \]

(c) Même couleur

Avec remise : \[ P(NN)=\frac{5}{8}\times\frac{5}{8}=\frac{25}{64},\quad P(BB)=\frac{3}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{9}{64}. \] Donc \[ P(\text{même couleur})=\frac{25}{64}+\frac{9}{64}=\frac{34}{64}=\frac{17}{32}. \]

Sans remise : \[ P(NN)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14},\quad P(BB)=\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}. \] Donc \[ P(\text{même couleur})=\frac{5}{14}+\frac{3}{28}=\frac{10}{28}+\frac{3}{28}=\frac{13}{28}. \]

(d) Avec remise, la composition de l’urne ne change pas : le 2e tirage “voit” la même urne que le 1er. Sans remise, on retire une boule : les effectifs (et donc les probabilités) du 2e tirage dépendent du 1er.

Réponses : (a) \(\frac{15}{64}\) ; (b) \(\frac{15}{56}\) ; (c) avec remise \(\frac{17}{32}\), sans remise \(\frac{13}{28}\) ; (d) explication remise/sans remise.

(a) « au moins une fois Pile » = contraire de « aucune fois Pile » = « que des Faces ». \[ P(\text{que des Faces en 4 lancers})=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}. \] Donc \[ P(\ge 1\ \text{Pile})=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}. \]

(b) Exactement 3 Piles en 4 lancers : il faut 1 Face et 3 Piles. Le nombre de suites est \(\binom{4}{3}=4\) (position de la Face). Chaque suite a probabilité \(\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\). \[ P(3\ \text{Piles})=4\times\frac{1}{16}=\frac{1}{4}. \]

(c) « aucune fois Face » en 6 lancers = « que des Piles » : \[ P(\text{que des Piles})=\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}. \]

(d) « au plus 1 Face » = 0 Face OU 1 Face.

- 0 Face : probabilité \(\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}\).

- 1 Face : choisir la position de la Face : \(\binom{6}{1}=6\) suites. Chaque suite a probabilité \(\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}\). Donc \(P(1\ \text{Face})=6\times\frac{1}{64}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}\).

Total : \[ P(\le 1\ \text{Face})=\frac{1}{64}+\frac{6}{64}=\frac{7}{64}. \]

Réponses : (a) \(\frac{15}{16}\) ; (b) \(\frac{1}{4}\) ; (c) \(\frac{1}{64}\) ; (d) \(\frac{7}{64}\).

(a) \[ P(A\cup B)=\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}. \] PPCM(5,2,4)=20 : \[ \frac{3}{5}=\frac{12}{20},\quad \frac{1}{2}=\frac{10}{20},\quad \frac{1}{4}=\frac{5}{20}. \] Donc \[ P(A\cup B)=\frac{12}{20}+\frac{10}{20}-\frac{5}{20}=\frac{17}{20}. \]

(b) \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\). PPCM(5,4)=20 : \[ \frac{3}{5}=\frac{12}{20},\quad \frac{1}{4}=\frac{5}{20} \Rightarrow P(A\setminus B)=\frac{7}{20}. \]

(c) \((A\cup B)^c\) : \[ P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}. \]

(d) \(A^c\cap B = B\setminus A\) donc \[ P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}. \] Vérification somme = 1 : \[ (A\setminus B)=\frac{7}{20},\quad (A\cap B)=\frac{1}{4}=\frac{5}{20},\quad (B\setminus A)=\frac{1}{4}=\frac{5}{20},\quad (\text{extérieur})=\frac{3}{20}. \] Somme : \(\frac{7+5+5+3}{20}=\frac{20}{20}=1\) ✅.

Réponses : (a) \(\frac{17}{20}\) ; (b) \(\frac{7}{20}\) ; (c) \(\frac{3}{20}\) ; (d) \(\frac{1}{4}\), cohérent.

Univers : \(|\Omega|=60\).

(a) Multiples de 4 dans 1..60 : \(4,8,\dots,60\) soit \(60/4=15\) nombres. Donc \(P(A)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\). Multiples de 6 : \(6,12,\dots,60\) soit \(60/6=10\) nombres. Donc \(P(B)=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\).

(b) \(A\cap B\) = divisible par 4 ET par 6 ⇒ divisible par 12. Multiples de 12 : \(12,24,36,48,60\) soit \(60/12=5\) nombres. \[ P(A\cap B)=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}. \]

(c) \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}. \] PPCM = 12 : \[ \frac{1}{4}=\frac{3}{12},\quad \frac{1}{6}=\frac{2}{12} \Rightarrow P(A\cup B)=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}-\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}. \]

(d) \[ P((A\cup B)^c)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. \] Interprétation : il y a \(\frac{2}{3}\) de chances de choisir un entier ni multiple de 4 ni multiple de 6.

Réponses : (a) \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\) ; (b) \(\frac{1}{12}\) ; (c) \(\frac{1}{3}\) ; (d) \(\frac{2}{3}\).

(a) \[ P(A\cup B)=0{,}08+0{,}11-0{,}03=0{,}16. \] Donc 16% des pièces ont au moins un défaut.

(b) Parfaite = aucun défaut = \((A\cup B)^c\) : \[ P(\text{parfaite})=1-0{,}16=0{,}84. \]

(c) Défaut d’assemblage seul : \[ P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}08-0{,}03=0{,}05. \]

(d) Sur 1 000 pièces, nombre attendu de parfaites : \[ 1000\times0{,}84=840. \] Donc environ 840 pièces parfaites (en moyenne).

Réponses : (a) 0,16 ; (b) 0,84 ; (c) 0,05 ; (d) 840.

(a) \(A\) : somme \(\ge 10\) = 10, 11 ou 12.

Somme 10 : \((4;6),(5;5),(6;4)\) → 3 couples.

Somme 11 : \((5;6),(6;5)\) → 2 couples.

Somme 12 : \((6;6)\) → 1 couple.

Total favorables : \(3+2+1=6\). \[ P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}. \]

(b) \(B\) : « au moins un 6 ». Contraire : « aucun 6 » : chaque dé a 5 possibilités (1..5), donc \(5\times5=25\) couples. \[ P(B)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}. \]

(c) \(A\cap B\) : somme \(\ge 10\) ET au moins un 6.

Parmi les couples de (a), on garde ceux avec un 6 : \[ (4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) \] soit 5 couples. \[ P(A\cap B)=\frac{5}{36}. \]

(d) \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{1}{6}+\frac{11}{36}-\frac{5}{36}. \] Or \(\frac{1}{6}=\frac{6}{36}\), donc \[ P(A\cup B)=\frac{6}{36}+\frac{11}{36}-\frac{5}{36}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}. \] Cohérence : \(\frac{1}{3}\in[0;1]\) ✅.

Réponses : (a) \(\frac{1}{6}\) ; (b) \(\frac{11}{36}\) ; (c) \(\frac{5}{36}\) ; (d) \(\frac{1}{3}\).