1. Expériences aléatoires et univers
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir son résultat avec certitude, mais que l’on connaît les résultats possibles.
L’ensemble de tous les résultats possibles est appelé univers et noté \( \Omega \).
Exemples :
- Lancer d’une pièce équilibrée : \(\Omega = \{\text{Pile}, \text{Face}\}\).
- Lancer d’un dé à six faces équilibré : \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
- Tirage d’une carte dans un jeu de 32 cartes : \(\Omega\) contient 32 issues.
2. Événements et probabilité sur un univers fini
Un événement est un sous-ensemble de l’univers \(\Omega\). On note souvent un événement par une lettre majuscule : \(A, B, C,\dots\)
- \(A = \{\text{obtenir un nombre pair}\}\) dans le lancer d’un dé : \(A = \{2,4,6\}\).
- \(B = \{\text{la carte tirée est un cœur}\}\) dans un jeu de cartes.
Sur un univers fini où toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(A\) est : \[ P(A) = \frac{\text{nombre d’issues favorables à } A}{\text{nombre total d’issues}}. \]
On a toujours : \[ 0 \leq P(A) \leq 1,\qquad P(\Omega) = 1,\qquad P(\varnothing) = 0. \]
3. Événement contraire, union et intersection
Le contraire (ou complémentaire) de l’événement \(A\) est l’événement noté \(\overline{A}\) qui se réalise lorsque \(A\) ne se réalise pas.
On a la formule fondamentale : \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A). \]
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements :
- \(A \cup B\) : événement « \(A\) ou \(B\) se réalise » (au moins l’un des deux).
- \(A \cap B\) : événement « \(A\) et \(B\) se réalisent ».
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), alors \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B). \]
Dans le cas général, on utilise la formule : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]
4. Tableaux et arbres de probabilité
Lorsque l’on enchaîne plusieurs étapes (par exemple, deux tirages, ou un choix puis un résultat), il est pratique d’utiliser un tableau ou un arbre de probabilité.
a) Arbre pondéré
Sur chaque branche de l’arbre, on écrit la probabilité de passer par cette branche. La probabilité d’une issue (un chemin complet) est le produit des probabilités le long du chemin.
Si on a deux étapes successives, avec un premier événement \(A\) (\(P(A)\) et \(P(\overline{A})\)) puis, selon le cas, des probabilités conditionnelles, alors la probabilité d’une combinaison «\(A\) puis B» est : \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A). \] (En 2\textsuperscript{nde}, on utilise surtout cette formule de manière numérique, à partir d’un arbre.)
b) Exemple simple
Un étudiant vient au lycée en bus avec probabilité \(0{,}7\) et en vélo avec probabilité \(0{,}3\). S’il vient en bus, il est en retard avec probabilité \(0{,}2\). S’il vient en vélo, il est en retard avec probabilité \(0{,}05\).
On construit un arbre à deux niveaux (choix du moyen de transport, puis «en retard» / «à l’heure»). La probabilité qu’il soit en retard est : \[ P(\text{retard}) = 0{,}7\times 0{,}2 + 0{,}3\times 0{,}05 = 0{,}155. \]
5. Fréquences et modèle probabiliste
Lorsque l’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un événement se rapproche de sa probabilité théorique.
On peut donc :
- utiliser les probabilités pour prévoir des fréquences à long terme ;
- utiliser des fréquences observées pour estimer des probabilités, lorsque le modèle théorique n’est pas connu.