Cours — Probabilités (2nde)
Univers • événements • probabilité simple • contraire • réunion / intersection • situations concrètes (niveau solide).
1) Objectifs et compétences (2nde)
Ce que tu dois savoir faire
- Décrire un univers \(\Omega\) et ses issues (résultats possibles).
- Traduire une phrase en événement (ensemble d’issues).
- Calculer des probabilités simples (dés, cartes, urnes, tirages).
- Utiliser l’événement contraire pour simplifier un calcul.
- Manipuler réunion (\(\cup\)) et intersection (\(\cap\)) et reconnaître l’incompatibilité.
- Choisir une bonne méthode : tableau, arbre, complément, comptage.
Idée-clé
Une probabilité, c’est une part (entre 0 et 1) d’un univers :
\[
0 \le P(A) \le 1,
\qquad P(\Omega)=1,
\qquad P(\varnothing)=0.
\]
Attention : “au hasard” ne veut pas toujours dire équiprobable. On doit le justifier.
2) Univers \(\Omega\), issues, événements
Définitions
- Expérience aléatoire : résultat imprévisible à l’avance (lancer un dé, tirer une carte…).
- Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles.
- Issue : un résultat élémentaire (ex : “obtenir 4”).
- Événement \(A\) : ensemble d’issues (ex : “obtenir un nombre pair”).
Écriture ensembliste
Exemple (dé à 6 faces) :
\[
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
\]
Événement “pair” :
\[
A=\{2,4,6\}.
\]
Alors “obtenir 2” est une issue : \(\{2\}\).
Exemple 1 — Traduire une phrase en événement (niveau piège)
On lance un dé. Définir :
- \(A\) : “obtenir un multiple de 3”.
- \(B\) : “obtenir un nombre strictement supérieur à 4”.
- Multiples de 3 dans \(\{1,\dots,6\}\) : \(3\) et \(6\) donc \(\boxed{A=\{3,6\}}\).
- Strictement > 4 : \(5\) ou \(6\) donc \(\boxed{B=\{5,6\}}\).
3) Probabilité d’un événement
Probabilité : règles de base
| Objet | Propriété |
|---|---|
| Univers \(\Omega\) | \(P(\Omega)=1\) |
| Impossible \(\varnothing\) | \(P(\varnothing)=0\) |
| Bornes | \(0 \le P(A) \le 1\) |
| Somme (cas incompatible) | si \(A\cap B=\varnothing\), alors \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) |
Interprétation
\(P(A)\) mesure la “chance” que l’événement \(A\) se réalise.
- \(P(A)=0\) : impossible
- \(P(A)=1\) : certain
- \(P(A)=\frac{1}{2}\) : une chance sur deux (dans un modèle adapté)
Exemple 2 — Dé “équitable” : calcul direct
On lance un dé équilibré. \(A\) : “obtenir un nombre pair”.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad A=\{2,4,6\}. \] Il y a 3 issues favorables sur 6 issues possibles, donc : \[ \boxed{P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}. \]
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad A=\{2,4,6\}. \] Il y a 3 issues favorables sur 6 issues possibles, donc : \[ \boxed{P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}. \]
4) Événement contraire \(A^c\)
Définition
Le contraire de \(A\), noté \(A^c\), est l’événement “non \(A\)” :
\[
A^c=\Omega\setminus A.
\]
Formule à connaître
\[
\boxed{P(A^c)=1-P(A)}
\]
Très utile quand “le contraire” est plus simple à compter.
Exemple 3 — “Au moins une fois” (piège classique)
On lance deux fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au moins un pile ?
Posons \(A\) : “au moins un pile”. Alors \(A^c\) : “aucun pile”, donc “deux faces”.
\[ P(A^c)=P(\text{face puis face})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. \] Donc : \[ \boxed{P(A)=1-P(A^c)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}. \]
Posons \(A\) : “au moins un pile”. Alors \(A^c\) : “aucun pile”, donc “deux faces”.
\[ P(A^c)=P(\text{face puis face})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. \] Donc : \[ \boxed{P(A)=1-P(A^c)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}. \]
Pourquoi c’est fort ? “au moins un” est pénible à dénombrer directement,
alors que “aucun” est simple.
5) Réunion \(\cup\), intersection \(\cap\), incompatibilité
Réunion & intersection
- \(A\cup B\) : “\(A\) ou \(B\)” (au moins l’un des deux).
- \(A\cap B\) : “\(A\) et \(B\)” (les deux à la fois).
Important : “ou” en probabilités est souvent inclusif :
“\(A\) ou \(B\)” autorise le cas “\(A\) et \(B\)”.
Formule générale
\[
\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}
\]
Cas particulier : si \(A\cap B=\varnothing\) (incompatibles),
alors \(\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}\).
Exemple 4 — Cartes : réunion + intersection (dur mais propre)
On tire une carte dans un jeu de 52 (sans joker).
\(A\) : “tirer un cœur”. \(B\) : “tirer une figure (V, D, R)”.
Comptages :
\(A\) : “tirer un cœur”. \(B\) : “tirer une figure (V, D, R)”.
Comptages :
- \(|A|=13\) (13 cœurs).
- \(|B|=12\) (3 figures par couleur \(\times 4\) couleurs).
- \(|A\cap B|=3\) (valet, dame, roi de cœur).
Résultat : \(\boxed{P(\text{cœur ou figure})=\frac{11}{26}}\).
Exemple 5 — Incompatibles ou pas ? (piège de vocabulaire)
Dé à 6 faces. \(A\) : “obtenir un nombre pair”. \(B\) : “obtenir un multiple de 3”.
\[ A=\{2,4,6\}, \quad B=\{3,6\}, \quad A\cap B=\{6\}\neq \varnothing. \] Donc \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles.
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\boxed{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}. \]
\[ A=\{2,4,6\}, \quad B=\{3,6\}, \quad A\cap B=\{6\}\neq \varnothing. \] Donc \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles.
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\boxed{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}. \]
6) Modèle équiprobable : quand peut-on faire “favorables / possibles” ?
Condition
On peut utiliser
\[
\boxed{P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre d’issues possibles}}}
\]
uniquement si toutes les issues de \(\Omega\) ont la même probabilité.
Exemples typiques
- dé équilibré, pièce équilibrée
- tirage d’une carte “au hasard” dans un jeu standard
- urne bien mélangée (chaque boule a la même chance d’être tirée)
Si la pièce est truquée ou l’urne mal mélangée : pas équiprobable ⇒ on ne fait pas “favorables/possibles”.
Exemple 6 — Urne : événement simple, puis réunion
Une urne contient 5 boules rouges, 3 bleues, 2 vertes. On tire 1 boule.
\[ |\Omega|=5+3+2=10. \] \(A\) : “rouge”, \(B\) : “bleue”. Alors : \[ P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{3}{10}. \] Comme “rouge” et “bleue” sont incompatibles (\(A\cap B=\varnothing\)) : \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}=\boxed{\frac{8}{10}=\frac{4}{5}}. \]
\[ |\Omega|=5+3+2=10. \] \(A\) : “rouge”, \(B\) : “bleue”. Alors : \[ P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{3}{10}. \] Comme “rouge” et “bleue” sont incompatibles (\(A\cap B=\varnothing\)) : \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}=\boxed{\frac{8}{10}=\frac{4}{5}}. \]
7) Méthodes efficaces (niveau “copie parfaite”)
Méthode A — Tableau d’issues
Utile quand on a 2 étapes avec peu de résultats (dés, pièce, cartes simples).
Exemple : deux lancers de dé ⇒ tableau \(6\times 6\) (36 issues).
Méthode B — Arbre de probabilités
Utile quand les probabilités se multiplient le long d’un chemin.
Règle (2nde) : si les étapes sont indépendantes et équiprobables,
alors la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches.
Exemple 7 — Deux dés : somme = 7 (solide et “hard”)
On lance deux dés équilibrés. Univers : 36 couples \((i;j)\) avec \(i\in\{1,\dots,6\}\) et \(j\in\{1,\dots,6\}\).
Événement \(S\) : “la somme vaut 7”. Couples possibles : \[ (1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1) \] soit 6 issues favorables sur 36. Donc : \[ \boxed{P(S)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}. \]
Événement \(S\) : “la somme vaut 7”. Couples possibles : \[ (1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1) \] soit 6 issues favorables sur 36. Donc : \[ \boxed{P(S)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}. \]
Piège : ne pas dire “il y a 6 sommes possibles” → on compte des issues (couples), pas des sommes.
Exemple 8 — Deux tirages avec remise : “deux rouges”
Urne : 5 rouges, 3 bleues, 2 vertes (10 au total). On tire 2 fois avec remise.
Probabilité d’obtenir “rouge puis rouge” : \[ P(R\ \text{puis}\ R)=\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{4}}. \]
Probabilité d’obtenir “rouge puis rouge” : \[ P(R\ \text{puis}\ R)=\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{4}}. \]
Remise ⇒ la composition ne change pas ⇒ même fraction aux deux étapes.
8) Pièges fréquents (et comment les éviter)
Pièges de langage
- “ou” est souvent inclusif : \(A\cup B\) inclut \(A\cap B\).
- “au moins un” → penser au contraire (aucun).
- Incompatibles ≠ “différents” : incompatibles signifie \(A\cap B=\varnothing\).
Pièges de modélisation
- Équiprobabilité non justifiée (“au hasard” ≠ automatique).
- Confusion issues / valeurs (ex : somme de deux dés).
- “Sans remise” : la composition change ⇒ les probabilités changent.
Mini-exemple (piège) — Réunion sans double comptage
Dé à 6 faces. \(A\) : “pair” (\(\{2,4,6\}\)). \(B\) : “\(\ge 4\)” (\(\{4,5,6\}\)).
\[ A\cap B=\{4,6\}. \] Donc : \[ P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\boxed{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}. \]
\[ A\cap B=\{4,6\}. \] Donc : \[ P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\boxed{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}. \]
Si tu fais \(\frac{3}{6}+\frac{3}{6}\) tu comptes \(4\) et \(6\) deux fois.
9) Mini-formulaire (à apprendre)
Notations & bases
\[
P(\Omega)=1 \qquad P(\varnothing)=0 \qquad 0\le P(A)\le 1
\]
\[
A^c=\Omega\setminus A \qquad \boxed{P(A^c)=1-P(A)}
\]
Réunion / intersection
\[
\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}
\]
Si \(A\cap B=\varnothing\) :
\[
\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}
\]
Équiprobabilité (si justifiée)
\[
\boxed{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}}
\]
où \(|A|\) = nombre d’issues favorables et \(|\Omega|\) = nombre d’issues possibles.
Checklist “copie parfaite”
- Je définis clairement \(\Omega\) (les issues) avant de calculer.
- Je traduis l’événement en ensemble (liste/condition).
- Je vérifie si le modèle est équiprobable avant \(\frac{|A|}{|\Omega|}\).
- Je pense à \(A^c\) quand on me dit “au moins un” / “au plus” / “pas”.
- Je gère \(\cup\) et \(\cap\) sans double comptage : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
- Si “sans remise”, je mets à jour les effectifs à chaque étape.
Rappel notation FR : intervalles \([a ; b]\) (et pas \([a, b]\)).