Fiche ultra-synthèse — Fonctions : généralités (2nde)
Notion de fonction • domaine \(D_f\) • image \(f(a)\) / antécédent(s) • tableaux • lecture graphique.
Objectif : lire + calculer + interpréter sans erreur (niveau solide / 2nde+).
Essentiel (à maîtriser)
1 Notion de fonction
Une fonction \(f\) associe à chaque \(x\) d’un ensemble \(D\) une unique valeur \(f(x)\).
Écriture : \(f : D \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto f(x)\).
Le graphe de \(f\) est l’ensemble des points \((x ; y)\) tels que \(\boxed{y=f(x)}\).
Test “fonction” : une droite verticale coupe le graphe au plus une fois.
2 Domaine de définition \(D_f\)
| Type | Condition sur \(x\) |
|---|---|
| Polynôme | \(D_f=\mathbb{R}\) |
| Fraction | dénominateur \(\neq 0\) |
| Racine \(\sqrt{A(x)}\) | \(A(x)\ge 0\) |
| Racine au dénominateur | \(A(x)>0\) |
Exemples :
- \(\dfrac{1}{x-3}\) : \(x\neq 3\) donc \(\boxed{D=\mathbb{R}\setminus\{3\}}\).
- \(\sqrt{2x+1}\) : \(2x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -\dfrac12\) donc \(\boxed{D=\left[-\dfrac12 ; +\infty\right[}\).
3 Image / antécédent
Image : \(f(a)\) = la sortie quand on met \(x=a\).
Antécédent(s) de \(b\) : les \(x\) tels que \(f(x)=b\).
Antécédent(s) de \(b\) : les \(x\) tels que \(f(x)=b\).
Exemple : \(f(x)=x^2\).
- Image de 3 : \(f(3)=9\).
- Antécédents de 9 : \(x^2=9 \Rightarrow x=-3\) ou \(x=3\).
Une valeur peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
4 Tableaux & lecture graphique
Lire \(f(a)\) sur le graphe :
verticale depuis \(x=a\) → courbe → lire \(y\).
Trouver les antécédents de \(b\) : horizontale \(y=b\) → intersections → lire les \(x\).
Trouver les antécédents de \(b\) : horizontale \(y=b\) → intersections → lire les \(x\).
Tableau de valeurs (exemple \(g(x)=2x-1\)) :
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | -3 | -1 | 1 | 3 |
Méthodes (procédures rapides)
A Calculer une image
1) Vérifier que a ∈ Df
2) Remplacer x par a dans f(x)
3) Calculer proprement
4) Conclure : f(a)=...
2) Remplacer x par a dans f(x)
3) Calculer proprement
4) Conclure : f(a)=...
Exemple : \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4}\).
\(f(5)=\dfrac{11}{1}=11\) (et \(5\neq 4\), donc OK).
\(f(5)=\dfrac{11}{1}=11\) (et \(5\neq 4\), donc OK).
B Trouver des antécédents
1) Résoudre f(x)=b
2) Garder seulement les solutions dans Df
3) Vérifier
4) Conclure : antécédent(s) de b
2) Garder seulement les solutions dans Df
3) Vérifier
4) Conclure : antécédent(s) de b
Exemple : \(h(x)=\sqrt{x-2}\). Antécédents de 4 :
\(\sqrt{x-2}=4 \Rightarrow x-2=16 \Rightarrow x=18\) (et \(18\ge 2\), OK).
C Déterminer un domaine (formule)
On liste les interdits / conditions :
- Denom \(\neq 0\)
- Radicande \(\ge 0\)
- Si racine au dénominateur : radicande \(>0\)
Exemple : \(p(x)=\dfrac{\sqrt{3x-6}}{x+1}\).
\(3x-6\ge 0\Rightarrow x\ge 2\) et \(x\neq -1\).
Donc \(\boxed{D_p=[2 ; +\infty[}\) (car \(-1\) n’est de toute façon pas dans \([2 ; +\infty[\)).
\(3x-6\ge 0\Rightarrow x\ge 2\) et \(x\neq -1\).
Donc \(\boxed{D_p=[2 ; +\infty[}\) (car \(-1\) n’est de toute façon pas dans \([2 ; +\infty[\)).
D Lecture graphique “propre”
Image : verticale → courbe → horizontale vers l’axe \(y\).
Antécédent : horizontale \(y=b\) → intersections → verticale vers l’axe \(x\).
Antécédent : horizontale \(y=b\) → intersections → verticale vers l’axe \(x\).
Intersections :
- avec l’axe \(x\) : solutions de \(f(x)=0\)
- avec l’axe \(y\) : \(f(0)\) (si \(0\in D_f\))
- entre deux courbes : solutions de \(f(x)=g(x)\)
Pièges classiques (et comment les éviter)
1 Domaine oublié
Tu trouves \(x=4\) solution, mais si \(x\neq 4\) (dénominateur), c’est interdit ⇒ on rejette.
2 Image ≠ antécédent
\(f(2)=5\) ne veut pas dire \(f(5)=2\).
\(f(2)=5\) signifie : point \((2 ; 5)\) sur le graphe.
\(f(2)=5\) signifie : point \((2 ; 5)\) sur le graphe.
3 Lecture à l’œil
Toujours tracer “dans ta tête” : verticale/horizontale.
Et annoncer une valeur approchée (ex : \(2{,}3\)).
Réflexe 20/20 : avant toute question, j’écris \(D_f\).
Ensuite, je calcule / je lis sur le graphe avec des traits (verticale/horizontale).
Mini-tests (45 secondes) — corrigés
Q1 Domaine
Donner \(D_f\) de \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}\).
Corrigé : \(x^2-9\neq 0 \Rightarrow x\neq 3\) et \(x\neq -3\). Donc \(\boxed{D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}}\).
Q2 Image
Pour \(g(x)=3x-2\), calculer \(g(-4)\).
Corrigé : \(g(-4)=3(-4)-2=-12-2=-14\). Donc \(\boxed{g(-4)=-14}\).
Q3 Antécédent
Pour \(h(x)=x^2\), trouver les antécédents de 16.
Corrigé : \(x^2=16 \Rightarrow x=-4\) ou \(x=4\). \(\boxed{-4\ \text{et}\ 4}\).
Q4 Racine (domaine)
Donner \(D\) de \(p(x)=\sqrt{5-2x}\).
Corrigé : \(5-2x\ge 0 \Rightarrow x\le \dfrac52\). Donc \(\boxed{D=]-\infty ; \dfrac52]}\).
Q5 Tableau
Compléter : si \(f(x)=x^2-1\), alors \(f(0)=?\), \(f(1)=?\), \(f(2)=?\).
Corrigé : \(f(0)=-1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=3\).
Q6 Intersections
Que signifie “\(x_0\) est solution de \(f(x)=0\)” sur un graphe ?
Corrigé : le point \((x_0 ; 0)\) est sur la courbe : intersection avec l’axe des abscisses.
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Définir une fonction et reconnaître une représentation.
- Trouver / écrire un domaine \(D_f\) (fraction, racine…).
- Calculer une image \(f(a)\) (en vérifiant \(a\in D_f\)).
- Trouver des antécédents (résoudre \(f(x)=b\) + filtrer par le domaine).
- Construire un tableau de valeurs et l’exploiter.
- Lire images/antécédents sur un graphe (verticale/horizontale).
Réflexes 20/20
1) J’écris \(D_f\) dès que j’ai une formule.
2) Pour une lecture graphique : je “trace” verticales/horizontales (même mentalement).
3) Je précise si c’est approché (ex : \(x\approx 1{,}7\)).
2) Pour une lecture graphique : je “trace” verticales/horizontales (même mentalement).
3) Je précise si c’est approché (ex : \(x\approx 1{,}7\)).
À bannir : accepter une solution interdite par le domaine, confondre image et antécédent,
lire “au hasard” sur le graphe.
Notation FR : intervalles \([a ; b]\) et points du plan \((x ; y)\).