Cours — Fonctions : généralités
Définir une fonction • domaine de définition • image / antécédent • représentations (tableau, formule, graphe)
• lecture graphique • tableaux de valeurs et de variations (niveau Seconde).
1) Objectifs (programme Seconde)
Ce que tu dois savoir faire
- Comprendre ce qu’est une fonction : une entrée → une sortie.
- Identifier / déterminer un domaine de définition à partir d’une formule, d’un tableau, d’un graphe.
- Calculer une image \(f(a)\) et résoudre \(f(x)=b\) (chercher des antécédents).
- Passer d’une représentation à une autre (tableau ⇄ formule ⇄ graphe).
- Lire et interpréter un graphe : images, antécédents, intersections, tendances.
- Construire et exploiter un tableau de valeurs (et, si fourni, un tableau de variations).
Erreurs classiques
- Confondre image et antécédent : \(f(2)=5\) se lit “l’image de 2 est 5”.
- Oublier le domaine : \(\dfrac{1}{x}\) interdit en \(x=0\), \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge 0\).
- Sur un graphe, lire “à l’œil” sans tracer les horizontales/verticales propres.
- Penser qu’une même image a toujours un seul antécédent (faux en général).
Idée centrale : une fonction associe à chaque \(x\) (entrée) au plus une valeur \(y\) (sortie).
2) Notion de fonction
Définition
Une fonction \(f\) est une règle qui, à un nombre \(x\) (dans un ensemble \(D\)), associe un unique nombre noté \(f(x)\).
On écrit : \(f : D \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto f(x)\).
\(D\) s’appelle le domaine de définition.
\(D\) s’appelle le domaine de définition.
Vocabulaire
| Terme | Signification |
|---|---|
| entrée \(x\) | Nombre que l’on donne à la fonction (variable). |
| image \(f(x)\) | Nombre obtenu en sortie. |
| antécédent | Nombre(s) \(x\) tel(s) que \(f(x)=y\) (pour une sortie \(y\) donnée). |
Exemple 1 — Fonction définie par une formule
Soit \(f(x)=2x-3\). Alors :
- Image de 4 : \(f(4)=2\times 4-3=5\).
- Résoudre \(f(x)=7\) : \(2x-3=7 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5\). Donc 5 est un antécédent de 7.
Bilan : \(\boxed{f(4)=5}\) et \(\boxed{f(x)=7 \Rightarrow x=5}\).
3) Domaine de définition \(D_f\)
Définition
Le domaine de définition d’une fonction \(f\), noté \(D_f\), est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) a un sens.
Règles de base (Seconde)
- Polynôme (ex : \(x^2-3x+1\)) : défini sur \(\mathbb{R}\).
- Fraction (ex : \(\dfrac{1}{x-2}\)) : interdit quand le dénominateur vaut 0.
- Racine (ex : \(\sqrt{x-5}\)) : il faut \(x-5\ge 0\).
- Racine au dénominateur : il faut \(\text{radicande} > 0\) (et pas seulement \(\ge 0\)).
Écriture du domaine (notation FR)
Exemples :
- \(x\ge 2\) s’écrit \(\boxed{[2 ; +\infty[}\).
- \(x\neq 3\) s’écrit \(\boxed{\mathbb{R}\setminus\{3\}}\).
- \(-1 \le x \le 4\) s’écrit \(\boxed{[-1 ; 4]}\).
Exemple 2 — Domaine d’une fraction
\(f(x)=\dfrac{3}{2x-5}\). On impose \(2x-5\neq 0\Rightarrow x\neq \dfrac{5}{2}\).
Donc : \[ \boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}. \]
Donc : \[ \boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}. \]
Exemple 3 — Domaine d’une racine
\(g(x)=\sqrt{4-3x}\). On impose \(4-3x\ge 0\Rightarrow -3x\ge -4 \Rightarrow x\le \dfrac{4}{3}\).
Donc : \[ \boxed{D_g=]-\infty ; \dfrac{4}{3}] }. \]
Donc : \[ \boxed{D_g=]-\infty ; \dfrac{4}{3}] }. \]
4) Image et antécédent
Image
L’image de \(a\) par \(f\) est \(f(a)\).
C’est la valeur de sortie quand on remplace \(x\) par \(a\).
C’est la valeur de sortie quand on remplace \(x\) par \(a\).
Exemple : si \(f(x)=x^2-1\), alors \(f(3)=9-1=8\).
Antécédent
Un antécédent de \(b\) est un nombre \(a\) tel que \(f(a)=b\).
Une même valeur \(b\) peut avoir :
- 0 antécédent (jamais atteint),
- 1 antécédent (cas “univoque”),
- plusieurs antécédents (cas fréquent).
Exemple 4 — Plusieurs antécédents
Soit \(f(x)=x^2\). Cherchons les antécédents de 9 :
\[
f(x)=9 \iff x^2=9 \iff x=3 \ \text{ou}\ x=-3.
\]
Conclusion : \(\boxed{9\ \text{a deux antécédents : }-3\ \text{et}\ 3}\).
5) Représenter une fonction
Représentation par une formule
Exemple : \(f(x)=2x-3\).
Avantage : calcul direct de \(f(x)\).
Limite : lecture “visuelle” moins immédiate.
Avantage : calcul direct de \(f(x)\).
Limite : lecture “visuelle” moins immédiate.
Représentation par un tableau
On liste des valeurs de \(x\) et leurs images \(f(x)\).
Avantage : pratique pour construire un graphe.
Avantage : pratique pour construire un graphe.
Représentation graphique
Le graphe d’une fonction \(f\) est l’ensemble des points du plan de coordonnées \((x ; y)\) tels que
\[
\boxed{y=f(x)}.
\]
Pour chaque \(x\), on place le point \((x ; f(x))\).
Test “fonction” sur un dessin : une droite verticale coupe le graphe au plus une fois (sinon ce n’est pas une fonction).
6) Tableaux de valeurs
Construire un tableau
- Choisir des valeurs de \(x\) dans \(D_f\).
- Calculer \(f(x)\) pour chacune.
- Présenter clairement (ligne \(x\), ligne \(f(x)\)).
Exemple (tableau)
Pour \(f(x)=x^2-2x\), sur \(x\in[-1 ; 3]\) :
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x^2-2x\) | \(1+2=3\) | \(0\) | \(1-2=-1\) | \(4-4=0\) | \(9-6=3\) |
Conseil — Tableau “utile” pour tracer un graphe
- Prends des valeurs régulières (pas trop espacées).
- Si la courbe “tourne” (minimum/maximum), densifie autour de cette zone.
- Vérifie le domaine : pas de valeur interdite.
7) Lecture et interprétation graphique
Lire une image sur un graphe
Pour lire \(f(a)\) :
- Repérer \(a\) sur l’axe des abscisses.
- Monter verticalement jusqu’au graphe.
- Lire l’ordonnée \(y\) : c’est \(f(a)\).
Lire un antécédent sur un graphe
Pour trouver les antécédents de \(b\) :
- Repérer \(b\) sur l’axe des ordonnées.
- Tracer une horizontale (niveau \(y=b\)).
- Les abscisses des points d’intersection sont les antécédents.
Intersections (interprétation)
- Intersection avec l’axe des abscisses : solutions de \(f(x)=0\).
- Intersection avec l’axe des ordonnées : valeur \(f(0)\) (si \(0\in D_f\)).
- Intersection de deux courbes \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) : solutions de \(f(x)=g(x)\).
Lecture graphique = lecture approchée : on donne souvent une valeur “à 0,1 près” ou “au centième près”.
8) Variations (lecture qualitative)
Définitions
- \(f\) est croissante sur un intervalle si quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente.
- \(f\) est décroissante sur un intervalle si quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
Lire sur un graphe
En parcourant la courbe de gauche à droite :
- Si elle monte : fonction croissante.
- Si elle descend : fonction décroissante.
- Point le plus bas : minimum (sur l’intervalle).
- Point le plus haut : maximum (sur l’intervalle).
Exemple (tableau de variations “lecture”)
Si on sait que \(f\) est décroissante sur \([-2 ; 1]\) puis croissante sur \([1 ; 4]\), alors :
- Le point \(x=1\) correspond à un minimum sur \([-2 ; 4]\).
- Pour comparer \(f(-1)\) et \(f(0)\) (deux valeurs dans \([-2 ; 1]\)), comme \(f\) est décroissante, on a \(-1<0\Rightarrow f(-1)>f(0)\).
9) Méthodes indispensables
Méthode A — Calculer une image
1) Vérifier que a ∈ Df
2) Remplacer x par a dans f(x)
3) Calculer proprement
4) Conclure : f(a)=...
2) Remplacer x par a dans f(x)
3) Calculer proprement
4) Conclure : f(a)=...
Méthode B — Trouver un antécédent
1) Résoudre f(x)=b (algébrique si possible)
2) Garder seulement les solutions dans Df
3) Vérifier (remplacer dans f)
4) Conclure : antécédent(s) de b
2) Garder seulement les solutions dans Df
3) Vérifier (remplacer dans f)
4) Conclure : antécédent(s) de b
Exemple 5 — Antécédents avec domaine
Soit \(f(x)=\sqrt{x-1}\) (donc \(D_f=[1 ; +\infty[\)).
Cherchons les antécédents de 3 : \[ \sqrt{x-1}=3 \iff x-1=9 \iff x=10. \] Comme \(10\in[1 ; +\infty[\), c’est valide.
Cherchons les antécédents de 3 : \[ \sqrt{x-1}=3 \iff x-1=9 \iff x=10. \] Comme \(10\in[1 ; +\infty[\), c’est valide.
Conclusion : \(\boxed{10\ \text{est l’unique antécédent de }3}\).
10) Mini-formulaire (à connaître)
Notations
f : D → ℝ, x ↦ f(x)
Df : domaine de définition
image de a : f(a)
antécédent(s) de b : solutions de f(x)=b
Df : domaine de définition
image de a : f(a)
antécédent(s) de b : solutions de f(x)=b
Graphe
Graphe de f : ensemble des points (x ; y)
tels que y = f(x)
Axe des abscisses : y=0
Axe des ordonnées : x=0
tels que y = f(x)
Axe des abscisses : y=0
Axe des ordonnées : x=0
Checklist “je sais faire”
- Je sais déterminer \(D_f\) (interdits / conditions).
- Je sais calculer une image \(f(a)\) et résoudre \(f(x)=b\).
- Je sais lire images/antécédents sur un graphe (verticale/horizontale).
- Je sais exploiter un tableau de valeurs et un tableau de variations (comparaisons).
Notation FR : intervalles \([a ; b]\) (et pas \([a, b]\)).