Exercices corrigés — Fonctions : Généralités (2nde)

1) \(H(-2)=5\), \(H(0)=5\) et \(H(3)=5\).

2) Pour \(-2\le x\le3\), on a \(H(x)=x+2+3-x=5\). Le minimum vaut donc \(5\) et il est atteint pour tout \(x\in[-2\,;\,3]\).

3) Si \(x\le-2\), \(H(x)=-2x+1\), donc \(-2x+1=9\Rightarrow x=-4\). Si \(x\ge3\), \(H(x)=2x-1\), donc \(2x-1=9\Rightarrow x=5\). Ainsi \(S=\{-4\,;\,5\}\).

4) À gauche, \(-2x+1\le7\Rightarrow x\ge-3\). À droite, \(2x-1\le7\Rightarrow x\le4\). L’intervalle central est toujours admis. Donc \(S=[-3\,;\,4]\).

1) \((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3\).

2) Un carré est toujours positif ou nul. Le minimum vaut donc \(-1\), atteint pour \(x=2\).

3) \(q(x)=0\iff (x-2)^2=1\), donc \(x=1\) ou \(x=3\).

4) \(q(x)=(x-1)(x-3)\le0\) entre les racines : \(S=[1\,;\,3]\).

1) \(2x+6\ge0\iff x\ge-3\), donc \(D_r=[-3\,;\,+\infty[\).

2) \(r(-3)=-1\), \(r(-1)=1\), \(r(5)=3\).

3) \(r(x)=0\iff \sqrt{2x+6}=1\iff x=-\dfrac52\). Et \(r(x)=2\iff \sqrt{2x+6}=3\iff x=\dfrac32\).

4) \(\sqrt{2x+6}-1\le3\iff \sqrt{2x+6}\le4\iff 2x+6\le16\iff x\le5\). Avec le domaine : \(S=[-3\,;\,5]\).

1) \(D_s=\mathbb R\setminus\{2\}\).

2) \(s(1)=2\) et \(s(3)=4\).

3) \(s(x)=3\iff \dfrac{1}{x-2}=0\), impossible. Donc \(3\) n’a aucun antécédent.

4) \(s(x)>3\iff \dfrac{1}{x-2}>0\iff x>2\). Ainsi \(S=]2\,;\,+\infty[\).

1) Les conditions couvrent \(]0\,;\,2]\cup]2\,;\,5]\cup]5\,;\,10]=]0\,;\,10]\). Donc \(D_P=]0\,;\,10]\). Les points pleins correspondent aux bornes incluses ; les points creux aux bornes exclues du morceau suivant.

2) \(P(1{,}5)=6\), \(P(4)=2\times4+3=11\) et \(P(8)=15\).

3) La valeur \(11\) n’apparaît ni sur les morceaux constants. Sur le morceau affine, \(2m+3=11\iff m=4\), admissible. Donc l’unique antécédent de \(11\) est \(4\). Pour \(P(m)=7\), le morceau affine donnerait \(m=2\), mais sa condition exige \(m>2\) ; ainsi \(7\) n’a aucun antécédent.

4) Le premier morceau vérifie toujours \(P=6\le11\). Sur le deuxième, \(2m+3\le11\iff m\le4\), soit \(]2\,;\,4]\). Le troisième vaut \(15>11\). Ainsi \(\boxed{m\in]0\,;\,4]}\). L’ensemble des valeurs est \(\boxed{\{6\}\cup]7\,;\,13]\cup\{15\}}\).

1) Il faut \(x>0\) et \(10-x>0\), donc \(x\in]0\,;\,10[\).

2) \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\). Ainsi \(A(2)=16\) et \(A(5)=25\).

3) \(25-(x-5)^2=25-(x^2-10x+25)=-x^2+10x\). Le maximum vaut \(25\), atteint pour \(x=5\).

4) \(-x^2+10x\ge21\iff x^2-10x+21\le0\iff (x-3)(x-7)\le0\). Donc \(S=[3\,;\,7]\).

1) \(h(x)=g(f(x))=\sqrt{(2x-3)+1}=\sqrt{2x-2}\).

2) Il faut \(2x-2\ge0\), donc \(D_h=[1\,;\,+\infty[\).

3) \(h(1)=0\), \(h(3)=2\). Pour \(h(x)=4\), \(2x-2=16\), donc \(x=9\).

4) \(\sqrt{2x-2}\le3\iff 2x-2\le9\iff x\le\dfrac{11}{2}\). Avec le domaine : \(S=[1\,;\,\dfrac{11}{2}]\).

1) Le minimum vaut \(m\), atteint pour \(x=2\).

2) Si \(m<0\), alors \(-m>0\) : deux antécédents. Si \(m=0\) : un seul antécédent \(x=2\). Si \(m>0\) : aucun antécédent.

3) \((x-2)^2-9=0\iff x-2=\pm3\), donc \(x=-1\) ou \(x=5\).

4) \((x-2)^2+1\le5\iff (x-2)^2\le4\iff |x-2|\le2\), donc \(S=[0\,;\,4]\).

1) \(f(x)=g(x)\iff (x-1)(x-3)-(x-3)=0\iff (x-3)(x-2)=0\). Ainsi \(x=2\) ou \(x=3\). Les points sont \(I(2\,;\,-1)\) et \(J(3\,;\,0)\).

2) \(f(x)-g(x)=(x-3)(x-2)\). Ce produit est négatif ou nul entre ses racines : \(S=[2\,;\,3]\).

3) \(f(x)=(x-1)(x-3)\) est positif ou nul à l’extérieur des racines : \(f(x)\ge0\) sur \(]-\infty\,;\,1]\cup[3\,;\,+\infty[\).

4) On intersecte \(]-\infty\,;\,1]\cup[3\,;\,+\infty[\) avec \([2\,;\,3]\). Il reste uniquement \(\{3\}\).

1) \(F\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) puis décroissante sur \([-1\,;\,+\infty[\).

2) Le maximum vaut \(8\), atteint pour \(x=-1\).

3) \(-2(x+1)^2+8=0\iff (x+1)^2=4\), donc \(x=-3\) ou \(x=1\).

4) La parabole tournée vers le bas est positive ou nulle entre ses zéros : \(S=[-3\,;\,1]\).

1) Le maximum vaut \(4\), atteint en \(x=2\). Le minimum vaut \(-3\), atteint en \(x=-2\).

2) La valeur \(2\) n’est pas atteinte sur la première branche \(1\to-3\), puis elle est atteinte une fois sur la branche \(-3\to4\) et une fois sur la branche \(4\to0\) : deux solutions.

3) La valeur \(0\) est atteinte une fois sur la première branche, une fois sur la deuxième, et à l’extrémité \(x=7\) de la troisième : trois solutions.

4) La valeur \(4\) est le maximum et n’est atteinte qu’en \(x=2\). Il y a donc une seule solution.

1) Il faut \(x+2>0\) et \(10-x>0\), donc \(x\in]-2\,;\,10[\).

2) \(A(x)=(x+2)(10-x)=-x^2+8x+20\).

3) \(36-(x-4)^2=36-(x^2-8x+16)=-x^2+8x+20\). Le maximum vaut \(36\), atteint pour \(x=4\).

4) \(36-(x-4)^2\ge27\iff (x-4)^2\le9\iff |x-4|\le3\). Donc \(S=[1\,;\,7]\).

1) On obtient la définition verticale suivante :

2) La fonction décroît jusqu’à \(x=4\), puis croît. Son minimum vaut donc \(\boxed{6}\), atteint pour \(\boxed{x=4}\).

3) Les branches extérieures ne donnent aucune solution compatible avec leur zone. Sur \(]1\,;\,4]\), \(10-x=8\Rightarrow x=2\). Sur \(]4\,;\,7]\), \(x+2=8\Rightarrow x=6\). Ainsi \(\boxed{S=\{2\,;\,6\}}\).

4) Entre les deux abscisses où \(D(x)=8\), la fonction reste inférieure ou égale à \(8\). Donc \(\boxed{S=[2\,;\,6]}\).

1) \(d(t)=|30t-66|\).

2) La rencontre a lieu lorsque \(30t-66=0\), donc \(t=\dfrac{11}{5}\). La distance minimale vaut \(0\).

3) \(d(1)=36\) et \(d(3)=24\).

4) \(|30t-66|\le6\iff -6\le30t-66\le6\iff 60\le30t\le72\). Donc \(2\le t\le\dfrac{12}{5}\), soit \(S=[2\,;\,\dfrac{12}{5}]\).

1) Pour tout \(a\), \(D_{f_a}=\mathbb R\setminus\{2\}\).

2) \(f_a(x)=1\iff x+a=x-2\iff a=-2\). Si \(a=-2\), on a \(f_a(x)=1\) pour tout \(x\ne2\) : infinité de solutions. Si \(a\ne-2\), aucune solution.

3) \(f_a(0)=\dfrac{a}{-2}=3\), donc \(a=-6\).

4) Pour \(a=-6\), \(f_{-6}(x)=0\iff x-6=0\), donc l’antécédent de \(0\) est \(6\).

1) Il faut \(x-2\in[-3\,;\,4]\), donc \(D_g=[-1\,;\,6]\).

2) \(g(2)=f(0)+1=5\).

3) La croissance de \(f\) sur \([-3\,;\,0]\) devient une croissance de \(g\) sur \([-1\,;\,2]\). La décroissance sur \([0\,;\,4]\) devient une décroissance sur \([2\,;\,6]\).

4) Le maximum de \(g\) vaut \(5\), atteint en \(x=2\). Le minimum vaut \(-1\), atteint en \(x=6\).

1) \(x^2=2x+m\iff x^2-2x=m\iff (x-1)^2=m+1\).

2) Si \(m>-1\), le membre est strictement positif : deux intersections. Si \(m=-1\), une intersection. Si \(m<-1\), aucune intersection.

3) La tangence correspond à \(m=-1\), donc \((x-1)^2=0\) et \(x=1\). Le point est \(T(1\,;\,1)\).

4) Pour \(m=3\), \((x-1)^2=4\), donc \(x=-1\) ou \(x=3\), points \((-1\,;\,1)\) et \((3\,;\,9)\). L’inéquation \((x-1)^2\le4\) donne \(S=[-1\,;\,3]\).

1) \(f(x)=0\iff x=1\). \(g(x)=0\iff x=3\). Pour l’intersection : si \(x<1\), \(1-x=3-x\) est impossible ; si \(x\ge1\), \(x-1=3-x\), donc \(x=2\) et \(y=1\). Ainsi \(I(2\,;\,1)\).

2) Pour \(x<1\), \(1-x\le3-x\) est toujours vraie. Pour \(x\ge1\), \(x-1\le3-x\iff x\le2\). Donc \(S=]-\infty\,;\,2]\).

3) De même \(f(x)\ge g(x)\) donne \(S=[2\,;\,+\infty[\). Les deux ensembles couvrent \(\mathbb R\) et se rencontrent au point d’égalité \(x=2\).

4) Sur \(x<1\), l’égalité \(1-x=m-x\) exige \(m=1\). Sur \(x\ge1\), \(x-1=m-x\) donne \(x=\dfrac{m+1}{2}\), admissible si \(m\ge1\). Donc : si \(m<1\), aucun point ; si \(m=1\), les deux graphes coïncident sur toute la demi-droite \(x\le1\) ; si \(m>1\), un unique point d’intersection.

1) Le domaine pertinent est \(\{0,1,2,\ldots,200\}\).

2) \(R(100)=100(20)=2000\) et \(R(180)=180(12)=2160\).

3) \(-0{,}1(n-150)^2+2250=-0{,}1n^2+30n\). Le maximum vaut \(2250\), atteint pour \(n=150\).

4) \(-0{,}1(n-150)^2+2250\ge2000\iff (n-150)^2\le2500\iff 100\le n\le200\). Avec le caractère entier : \(n\in\{100,101,\ldots,200\}\).

1) \(h(x)=(|x|+1)^2-4=x^2+2|x|-3\).

2) \(h(0)=-3\), \(h(2)=5\). Comme \(|-x|=|x|\), on a \(h(-x)=h(x)\) : la fonction est paire.

3) \((|x|+1)^2=4\). Comme \(|x|+1\ge1\), on prend \(|x|+1=2\), donc \(|x|=1\), soit \(x=-1\) ou \(x=1\).

4) \((|x|+1)^2\le4\iff |x|+1\le2\iff |x|\le1\). Donc \(S=[-1\,;\,1]\).

1) \(9-(x-1)^2\ge0\iff |x-1|\le3\), donc \(D_F=[-2\,;\,4]\). Le radicand est maximal pour \(x=1\), donc \(\max F=3\), atteint pour \(x=1\).

2) \(F(x)=\sqrt5\iff 9-(x-1)^2=5\iff (x-1)^2=4\). Ainsi \(x=-1\) ou \(x=3\).

3) Les deux membres sont positifs. En élevant au carré : \(9-(x-1)^2\ge8\iff (x-1)^2\le1\), donc \(S=[0\,;\,2]\).

4) Si \(k<0\) ou \(k>3\), aucune solution. Si \(k=3\), une solution \(x=1\). Si \(0\le k<3\), l’horizontale coupe le demi-cercle en deux points : deux solutions.