(a) \(x+3\neq 0\Rightarrow x\neq -3\). Donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.\)

(b) \(f(0)=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3}\).
\(f(-4)=\dfrac{2(-4)-1}{-4+3}=\dfrac{-8-1}{-1}=9\).

(c) \(\dfrac{2x-1}{x+3}=1\Rightarrow 2x-1=x+3\Rightarrow x=4\) (et \(4\neq -3\)).

(d) \(f(x)=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\) (autorisé).
Donc antécédent de 0 : \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}.\)

Réponses : (a) \(\mathbb{R}\setminus\{-3\}\) ; (b) \(-\frac{1}{3}\), \(9\) ; (c) \(4\) ; (d) \(\{\frac{1}{2}\}\).

(a) Condition racine : \(5-2x\ge 0\Rightarrow -2x\ge -5\Rightarrow x\le \frac{5}{2}\).
Condition dénominateur : \(x\neq 1\).
Donc \(D_g=\left]-\infty;\frac{5}{2}\right]\setminus\{1\}.\)

(b) Non : à \(x=1\), le dénominateur vaut 0, donc \(g(1)\) n’existe pas.

(c) \(g(0)=\dfrac{\sqrt5}{-1}=-\sqrt5\).
\(x=\frac{3}{2}\) : \(5-2x=5-3=2\ge 0\) et \(x-1=\frac{1}{2}\neq 0\).
\[ g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{\frac{1}{2}}=2\sqrt2. \]

(d) \(5-2x\ge 0\iff x\le \frac{5}{2}\).
Interprétation : la racine impose que la fonction ne peut être définie que pour \(x\le\frac{5}{2}\) (puis on enlève \(x=1\)).

Réponses : (a) \(\left]-\infty;\frac{5}{2}\right]\setminus\{1\}\) ; (b) non ; (c) \(-\sqrt5\), \(2\sqrt2\) ; (d) \(x\le\frac{5}{2}\) (condition racine).

(a) \(h(-1)=\frac{-1-2}{3}=-1\). \(h(2)=0\). \(h(8)=\frac{6}{3}=2\).

(b) \(h(x)=0\Rightarrow \frac{x-2}{3}=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\).
\(h(x)=2\Rightarrow \frac{x-2}{3}=2\Rightarrow x-2=6\Rightarrow x=8\).

(c) \(\frac{x-2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow x-2=1\Rightarrow x=3\).

(d) \(h(x)=\frac{x-2}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\) est de la forme \(ax+b\).
Pente (coefficient directeur) : \(a=\frac{1}{3}\).

Réponses : (a) -1, 0, 2 ; (b) 2 et 8 ; (c) 3 ; (d) affine, pente \(\frac{1}{3}\).

(a) \(a=\dfrac{-1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-6}{6}=-1\).

(b) \(f(x)=-x+b\). Avec \(A(-2;5)\) : \(5=-(-2)+b=2+b\Rightarrow b=3\).
Donc \(f(x)=-x+3\).

(c) \(f(0)=3\). Interprétation : la droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0;3)\).

(d) \(-x+3=0\Rightarrow x=3\). La droite coupe l’axe des abscisses en \((3;0)\).

Réponses : (a) -1 ; (b) \(f(x)=-x+3\) ; (c) 3 ; (d) 3.

(a) \(D_p=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\).

(b) \(p(-2)=1\) et \(p(1)=4\).

(c)

• Antécédents de 1 : \(-2\) et \(0\) (car \(p(-2)=1\) et \(p(0)=1\)).
• Antécédents de 4 : \(-3\) et \(1\).

(d) Non, car si \(p(x)=x^2\), on aurait \(p(0)=0\), or le tableau donne \(p(0)=1\). Donc ce n’est pas \(x\mapsto x^2\) sur ce domaine.

Réponses : (a) \(\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\) ; (b) 1 et 4 ; (c) \(\{-2;0\}\), \(\{-3;1\}\) ; (d) non.

(a) La droite \(y=3\) coupe la courbe deux fois (car la courbe monte au-dessus de 3 puis redescend).
Lecture : \(x\approx -3{,}2\) et \(x\approx -0{,}8\) (approximatif).

(b) La droite \(y=-1\) coupe la courbe une fois à droite. Lecture : \(x\approx 3{,}1\).
Interprétation : \(f(x)=-1\) signifie que le point de la courbe a une ordonnée \(-1\) (donc de la forme \((x;-1)\)).

(c) À \(x=-3\), l’ordonnée est entre 2 et 3 (proche de 3). Donc \(2<f(-3)<3\).

(d) Sur \([-2;0]\), la courbe est décroissante. Or \(-1{,}5<-0{,}5\). Donc \(f(-1{,}5)>f(-0{,}5)\).

Réponses : (a) \(\approx -3{,}2\) et \(\approx -0{,}8\) ; (b) \(\approx 3{,}1\) ; (c) \(2<f(-3)<3\) ; (d) \(f(-1{,}5)>f(-0{,}5)\).

(a) Domaine : \(\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3\}\).

(b) Lecture : \(f(-2)=3\), \(f(1)=0\), \(f(3)=-1\).

(c)

• Antécédents de \(3\) : \(\{-3;-2\}\).
• Antécédents de \(-1\) : \(\{2;3\}\).

(d) Non injective : \(f(-3)=f(-2)=3\) avec \(-3\neq -2\).

Réponses : (a) \(\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3\}\) ; (b) 3, 0, -1 ; (c) \(\{-3;-2\}\) et \(\{2;3\}\) ; (d) non injective.

(a) À \(x=0\), on lit une ordonnée proche de \(1\). Donc \(g(0)\approx 1\).

(b) À \(x=1\), la courbe est « trouée » (cercle vide) : la valeur n’est pas définie. Donc \(g(1)\) n’existe pas.

(c) À \(x=2\), la courbe est entre \(y=1\) et \(y=2\). Donc \(1<g(2)<2\).

(d) La droite \(y=2\) coupe la courbe à gauche et à droite : il y a plusieurs solutions. Par exemple, à droite on peut lire \(x\approx 1{,}6\) (approché). Donc ce n’est pas unique.

Réponses : (a) \(\approx 1\) ; (b) non défini (trou) ; (c) \(1<g(2)<2\) ; (d) ex. \(x\approx 1{,}6\), pas unique.

(a) Lecture : \(h(-2)=3\). Interprétation : le point \((-2;3)\) est sur la courbe de \(h\).

(b)

• \(-3\in[-4;-2]\) et \(h\) est croissante de 2 à 3, donc \[ 2 \le h(-3) \le 3. \]
• \(2\in[1;3]\) et \(h\) est décroissante de 0 à -1, donc \[ -1 \le h(2) \le 0. \]

(c)

• Sur \([-4;-2]\), \(h(x)\in[2;3]\). Or \(1 otin[2;3]\) : pas forcément de solution sur \([-4;-2]\).
• Sur \([-2;1]\), \(h(x)\in[0;3]\). Or \(1\in[0;3]\) : oui, il existe au moins une solution sur \([-2;1]\).

(d) Sur \([-2;1]\), \(h\) est décroissante et \(-1<0\). Donc \(\boxed{h(-1)>h(0)}\).

Réponses : (a) \(3\) ; (b) \(h(-3)\in[2;3]\), \(h(2)\in[-1;0]\) ; (c) non sur \([-4;-2]\), oui sur \([-2;1]\) ; (d) \(h(-1)>h(0)\).

(a) \(u(0)=|-3|=3\). \(u(2)=|4-3|=1\). \(u(\frac{3}{2})=|3-3|=0\).

(b) \(|2x-3|=1\iff 2x-3=1\) ou \(2x-3=-1\).
Donc \(2x=4\Rightarrow x=2\) ou \(2x=2\Rightarrow x=1\). Solutions : \(\{1;2\}\).

(c) \(|2x-3|\le 4\iff -4\le 2x-3\le 4\).
Ajouter 3 : \(-1\le 2x\le 7\). Diviser par 2 : \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{7}{2}\).
Solution : \([ -\frac{1}{2} ; \frac{7}{2} ]\).

(d) Non injective : par exemple \(u(1)=|2-3|=1\) et \(u(2)=|4-3|=1\) avec \(1\neq 2\).

Réponses : (a) 3, 1, 0 ; (b) \(\{1;2\}\) ; (c) \([ -\frac{1}{2} ; \frac{7}{2} ]\) ; (d) non injective.

(a) Oui : chaque élément de \(A\) a exactement une image (une flèche sort de chaque élément).

(b) Image de 2 : 4. Image de -2 : 4.

(c) Antécédents de 1 : \(-1\) et \(1\).

(d) Pas injective car \(-2\) et \(2\) ont la même image 4.

Réponses : (a) oui ; (b) 4 et 4 ; (c) \(\{-1;1\}\) ; (d) non injective.

(a) Minimum ≈ \(-1\), atteint pour \(x≈1\) (sommet \((1;-1)\)).

(b) Intersections avec l’axe \(y=0\) : on lit environ \(x≈0\) et \(x≈2\) (symétrie autour de \(x=1\)).

(c) À \(x=0\), la courbe est proche de \(0\) (légèrement). On peut lire \( -1<f(0)<1\) (encadrement large acceptable). Plus fin : \(f(0)≈0\).

(d)

• Sur \([-2;1]\), la courbe est décroissante jusqu’au sommet : injective.
• Sur \([-2;4]\), elle décroît puis croît : pas injective (deux antécédents possibles pour une même valeur).

Réponses : (a) min ≈ -1 en \(x≈1\) ; (b) ≈ 0 et ≈ 2 ; (c) ≈ 0 (ou \(-1<f(0)<1\)) ; (d) oui sur \([-2;1]\), non sur \([-2;4]\).

(a) \(-3<2\Rightarrow m(-3)<m(2)\).

(b) \(0{,}18<0{,}2\Rightarrow m(0{,}18)<m(0{,}2)\). Donc \(m(0{,}2)>m(0{,}18)\).

(c) Comme \(m\) est strictement croissante, elle est injective : \(m(a)=m(b)\Rightarrow a=b\).

(d) \(m(x)\le m(1)\) équivaut à \(x\le 1\) (car \(m\) conserve l’ordre).
Sur \([-5;5]\), solution : \([-5;1]\).

Réponses : (a) \(m(-3)<m(2)\) ; (b) \(m(0{,}2)>m(0{,}18)\) ; (c) \(a=b\) ; (d) \([-5;1]\).

(a) \(q(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3\).

(b) \((x-2)^2\ge 0\) donc \(q(x)\ge -3\). Minimum = \(-3\) atteint pour \(x=2\).

(c) \(q(x)=1\iff x^2-4x+1=1\iff x^2-4x=0\iff x(x-4)=0\).
Solutions : \(x=0\) ou \(x=4\).

(d) Pas injective sur \(\mathbb{R}\) car \(q(0)=q(4)=1\) avec \(0\neq4\).
Sur \([2;+\infty[\), la fonction est croissante (branche droite de la parabole) donc injective sur cet intervalle.

Réponses : (a) \((x-2)^2-3\) ; (b) min -3 en \(x=2\) ; (c) \(\{0;4\}\) ; (d) non sur \(\mathbb{R}\), oui sur \([2;+\infty[\).

(a) Pour \(0\le x\le 5\) : \(T(x)=3+1{,}2x\).

(b) Pour \(x\ge 5\) : \(T(x)=3+1{,}2\times5+0{,}9(x-5)\).
Soit \(T(x)=3+6+0{,}9x-4{,}5=4{,}5+0{,}9x\).

(c) \(T(4)=3+1{,}2\times4=7{,}8\).
\(T(8)=4{,}5+0{,}9\times8=11{,}7\).

(d) Comme 12€ est plutôt grand, on teste \(x\ge 5\) : \(4{,}5+0{,}9x=12\Rightarrow 0{,}9x=7{,}5\Rightarrow x=\frac{7{,}5}{0{,}9}=8{,}\overline{3}\).
Donc \(x\approx 8{,}33\) km.

Réponses : (a) \(3+1{,}2x\) ; (b) \(4{,}5+0{,}9x\) ; (c) 7,8 et 11,7 ; (d) \(x\approx 8{,}33\).

(a) \(x>0\) et \(10-x>0\Rightarrow x<10\). Donc \(D_A=]0;10[\).

(b) \(A(3)=3\times7=21\). \(A(9)=9\times1=9\).

(c) \(A(x)=x(10-x)=10x-x^2=-x^2+10x\).

(d) Symétrie : \(A(x)=x(10-x)\) et \(A(10-x)=(10-x)x=A(x)\). Donc maximum au milieu : \(x=5\).
\(A(5)=5\times5=25\). Aire maximale : 25 cm².

Réponses : (a) ]0;10[ ; (b) 21 et 9 ; (c) \(-x^2+10x\) ; (d) max 25 pour \(x=5\).

(a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\mid x+1\ge 0\}=[-1;+\infty[\).

(b) \((f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-2}\).
Domaine : il faut \(x\ge -1\) et \(\sqrt{x+1}\neq 2\Rightarrow x+1\neq4\Rightarrow x\neq 3\).
Donc \(D_{f\circ g}=[-1;+\infty[\setminus\{3\}\).

(c) \((g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-2}+1}=\sqrt{\dfrac{1+x-2}{x-2}}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}\).
Domaine : \(x\neq 2\) et \(\dfrac{x-1}{x-2}\ge 0\).
Étude de signe (points 1 et 2) : solution \(( -\infty;1] \cup ]2;+\infty[\).

(d) \((f\circ g)(3)\) impossible car \(x=3\) est exclu (dénominateur 0). Donc n’existe pas.

Réponses : (a) \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \([-1;+\infty[\) ; (b) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}\), domaine \([-1;+\infty[\setminus\{3\}\) ; (c) \(\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}\), domaine \(( -\infty;1] \cup ]2;+\infty[\) ; (d) n’existe pas.

(a) Non : les points \(B(0;1)\) et \(C(0;3)\) ont la même abscisse 0 mais deux ordonnées différentes. Une fonction ne peut pas avoir deux images pour le même \(x\).

(b) Il faut enlever soit \(B\) soit \(C\).

(c) Si on enlève \(C\), alors \(f(0)=1\). Si on enlève \(B\), alors \(f(0)=3\).

(d) Graphiquement : la verticale \(x=0\) couperait la courbe en deux points, ce qui est interdit pour une fonction.

Réponses : (a) non ; (b) enlever \(B\) ou \(C\) ; (c) \(f(0)=1\) ou \(3\) ; (d) test de la verticale.

(a) \(a=\dfrac{-3-7}{2-(-3)}=\dfrac{-10}{5}=-2\).

(b) \(f(x)=-2x+b\). Avec \(f(2)=-3\) : \(-4+b=-3\Rightarrow b=1\). Donc \(f(x)=-2x+1\).

(c) \(f(0)=1\). \(f(5)=-10+1=-9\).

(d) \(-2x+1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\).

Réponses : (a) -2 ; (b) \(-2x+1\) ; (c) 1 et -9 ; (d) \(\frac{1}{2}\).

(a) \(f(0)=\frac{1}{2}\). Interprétation : la droite coupe l’axe des ordonnées en \((0;\frac{1}{2})\).

(b) \(\frac{x+1}{2}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\). Interprétation : intersection avec l’axe des abscisses en \((-1;0)\).

(c) \(\frac{x+1}{2}=4\Rightarrow x+1=8\Rightarrow x=7\).

(d) \(f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\) a une pente \(\frac{1}{2}>0\) donc est croissante.

Réponses : (a) \(\frac{1}{2}\) ; (b) \(-1\) ; (c) 7 ; (d) croissante.

(a) \(x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2\). Donc \(D_r=[2;+\infty[\).

(b) \(r(2)=0\). \(r(3)=1\). \(r(11)=\sqrt9=3\).

(c) \(r(7)=\sqrt{5}\). Or \(2^2=4\) et \(5>4\) donc \(\sqrt5>2\). Donc \(r(7)>2\).

(d) \(\sqrt{x-2}=3\Rightarrow x-2=9\Rightarrow x=11\) (bien dans le domaine).

Réponses : (a) \([2;+\infty[\) ; (b) 0, 1, 3 ; (c) \(r(7)>2\) ; (d) 11.

(a) Le graphe de \(g\) s’obtient en translatant celui de \(f\) de 2 unités vers la droite et 1 unité vers le haut.

(b) \((3;5)\) sur \(f\) \(\Rightarrow\) \((3+2;5+1)=(5;6)\) sur \(g\).

(c) \(g(2)=f(2-2)+1=f(0)+1=-2+1=-1\).

(d) \(g(0)=f(-2)+1=4\Rightarrow f(-2)=3\).

Réponses : (a) droite +2, haut +1 ; (b) (5;6) ; (c) -1 ; (d) \(f(-2)=3\).

(a) La fonction monte jusqu’à \(x=1\) puis redescend : maximum = \(t(1)=5\), atteint en \(x=1\).

(b) Le minimum sur \([ -3 ; 6 ]\) est la plus petite valeur parmi les extrémités puisque la fonction est monotone sur chaque morceau :
on compare \(t(-3)=-2\), \(t(1)=5\), \(t(6)=0\). Minimum = \(-2\) (en \(x=-3\)).

(c)

• \(0\in[-3;1]\) où \(t\) est croissante : \(-2<t(0)<5\).
• \(4\in[1;6]\) où \(t\) est décroissante : \(0<t(4)<5\).

(d) Sur \([-3;1]\), \(t\) prend toutes les valeurs entre -2 et 5, donc 1 est atteint au moins une fois.
Sur \([1;6]\), \(t\) prend toutes les valeurs entre 5 et 0, donc 1 est aussi atteint au moins une fois.
Donc l’équation \(t(x)=1\) admet au moins deux solutions (une dans chaque intervalle).

Réponses : (a) 5 en \(x=1\) ; (b) -2 en \(x=-3\) ; (c) \(-2<t(0)<5\), \(0<t(4)<5\) ; (d) au moins 2 solutions.

(a) La droite \(y=1\) coupe la courbe une fois à gauche : lecture \(x\approx -2{,}5\) (approché). (On peut accepter une valeur proche selon lecture.)

(b) \(f(x)\ge 1\) pour les \(x\) où la courbe est au-dessus (ou sur) la droite \(y=1\). Ici : approximativement pour \(x\le -2{,}5\).

(c) \(f(x)\le 1\) pour les \(x\) où la courbe est en dessous (ou sur) \(y=1\). Ici : approximativement pour \(x\ge -2{,}5\).

(d) On trace (ou repère) la droite \(y=1\), on lit les intersections, puis on garde les abscisses où la courbe est au-dessus/en dessous selon l’inégalité.

Réponses : (a) \(x\approx -2{,}5\) ; (b) \(x\lesssim -2{,}5\) ; (c) \(x\gtrsim -2{,}5\) ; (d) méthode courbe/droite horizontale.

(a) \(x+2\neq 0\Rightarrow x\neq -2\). Donc \(D_F=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

(b)

• \(F(1)=\frac{|0|}{3}=0\).
• \(F(0)=\frac{| -1 |}{2}=\frac{1}{2}\).
• \(F(-3)=\frac{| -4 |}{-1}=-4\).

(c)

• \(F(x)=0\Rightarrow |x-1|=0\Rightarrow x=1\) (autorisé). Donc antécédent de 0 : \(\{1\}\).
• \(F(x)=1\Rightarrow \frac{|x-1|}{x+2}=1\Rightarrow |x-1|=x+2\) avec \(x\neq -2\) et \(x+2\) peut être négatif (mais le membre de gauche est \(\ge 0\)). Donc il faut d’abord \(x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2\) et \(x\neq -2\Rightarrow x>-2\).

Cas 1 : \(x\ge 1\). Alors \(|x-1|=x-1\). Équation : \(x-1=x+2\) impossible.

Cas 2 : \(-2<x<1\). Alors \(|x-1|=1-x\). Équation : \(1-x=x+2\Rightarrow 1-x-x=2\Rightarrow -2x=1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\) (bien dans \(-2;1\)).

Donc \(F(x)=1\) a une unique solution \(x=-\frac{1}{2}\).

(d) Oui, c’est possible en général : la présence de \(|x-1|\) rend la fonction « symétrique » autour de 1 sur certains domaines, ce qui peut donner deux antécédents pour une même valeur (même si ici certaines valeurs sont contraintes par \(x+2\)).

Réponses : (a) \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) ; (b) 0, \(\frac{1}{2}\), -4 ; (c) \(F(x)=0\Rightarrow x=1\), \(F(x)=1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\) ; (d) oui en principe (valeur absolue).