Quiz — Fonctions affines, droites et systèmes

20 exercices solides — fonctions affine/linéaire, coefficient directeur, droites, parallélisme, intersection, systèmes.

Niveau : dur 2nde

Quiz — Fonctions affines, droites et systèmes

20 exercices solides — fonctions affine/linéaire, coefficient directeur, droites, parallélisme, intersection, systèmes.

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Q1. La fonction \(f(x)=3x\) est : Non vérifié

affine non lineaire lineaire constante quadratique

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Une fonction lineaire est de la forme \(ax\).

Correction

\(f(x)=3x\) est de la forme \(ax\) avec \(a=3\). C est donc une fonction lineaire (et aussi affine avec \(b=0\)).

Q2. Le coefficient directeur de la droite passant par \(A(-2;5)\) et \(B(4;-1)\) est : Non vérifié

\(-1\) \(1\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(2\)

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Utiliser \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).

Correction

\(m=\dfrac{-1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-6}{6}=-1\). Les autres reponses viennent d erreurs de signe ou de division.

Q3. Equation de la droite de pente \(4\) passant par \(C(0;-3)\) : Non vérifié

\(y=4x-3\) \(y=4x+3\) \(y=-4x-3\) \(y=x-3\)

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Dans \(y=mx+b\), la pente est \(m\) et \(b=f(0)\).

Correction

Pente \(m=4\). Le point \((0;-3)\) donne directement \(b=-3\). Donc \(y=4x-3\).

Q4. Les droites \(d_1: y=-2x+1\) et \(d_2: y=-2x-7\) sont : Non vérifié

paralleles perpendiculaires confondues secantes en un point

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Comparer les coefficients directeurs.

Correction

Les deux droites ont le meme coefficient directeur \(-2\), mais des ordonnees a l origine differentes \(1\) et \(-7\). Elles sont paralleles.

Q5. Si une droite a pour pente \(m=\dfrac{1}{3}\), la pente d une droite perpendiculaire vaut : Non vérifié

\(-3\) \(3\) \(-\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\)

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Pour des droites perpendiculaires, \(m_1m_2=-1\).

Correction

On cherche \(m_2\) tel que \(\dfrac{1}{3}\cdot m_2=-1\), donc \(m_2=-3\).

Q6. Le systeme \(\begin{cases}2x-y=5\4x-2y=10\end{cases}\) admet : Non vérifié

une unique solution aucune solution une infinite de solutions exactement deux solutions

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Comparer les deux equations.

Correction

La seconde equation est le double de la premiere. Les deux droites sont confondues, donc il y a une infinite de couples solutions.

Q7. Le systeme \(\begin{cases}x+y=2\x+y=5\end{cases}\) admet : Non vérifié

une solution aucune solution une infinite de solutions deux solutions

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Meme membre de gauche, constantes differentes.

Correction

On ne peut pas avoir simultanement \(x+y=2\) et \(x+y=5\). Les droites sont paralleles distinctes. Aucune solution.

Q8. Le point d intersection des droites \(y=2x+1\) et \(y=-x+7\) a pour abscisse : Non vérifié

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

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A l intersection, les deux expressions de \(y\) sont egales.

Correction

On pose \(2x+1=-x+7\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2\).

Q9. Parmi ces fonctions, lesquelles sont affines ? Non vérifié

\(f(x)=5x-2\) \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) \(h(x)=-3\) \(k(x)=x^2+1\)

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Une fonction affine est de la forme \(ax+b\).

Correction

\(5x-2\) est affine. \(-3\) est affine avec \(a=0\), \(b=-3\). \(\dfrac1x\) et \(x^2+1\) ne sont pas affines.

Q10. Les points appartenant a la droite \(y=3x-2\) sont : Non vérifié

\(A(0;-2)\) \(B(1;1)\) \(C(2;4)\) \(D(2;5)\)

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Verifier \(y=3x-2\) pour chaque point.

Correction

Pour \(x=0\), \(y=-2\). Pour \(x=1\), \(y=1\). Pour \(x=2\), \(y=4\). Le point \(D(2;5)\) ne verifie pas l equation.

Q11. Un systeme de deux equations de droites peut avoir : Non vérifié

0 solution 1 solution une infinite de solutions toujours 2 solutions

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Penser aux trois positions relatives de deux droites.

Correction

Deux droites peuvent etre paralleles distinctes (0 solution), secantes (1 solution), ou confondues (infinite de solutions).

Q12. Sont paralleles a \(d: y=-\dfrac{1}{2}x+4\) : Non vérifié

\(d_1: y=-\dfrac{1}{2}x-7\) \(d_2: x=3\) \(d_3: y=\dfrac{1}{2}x+1\) \(d_4: 2y=-x+10\)

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Des droites paralleles ont le meme coefficient directeur.

Correction

\(d\) a pente \(-\frac12\). \(d_1\) a la meme pente. \(d_4\) donne \(y=-\frac12x+5\), meme pente aussi. \(d_2\) est verticale et \(d_3\) a pente \(+\frac12\).

Q13. Trouver le coefficient directeur de la droite passant par \(A(1;2)\) et \(B(5;14)\). Non vérifié

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Calculer \(\dfrac{14-2}{5-1}\).

Correction

\(m=\dfrac{12}{4}=3\).

Q14. Donner l equation de la droite de pente \(-3\) passant par \((0;4)\). Non vérifié

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Forme \(y=mx+b\), ici \(b=4\).

Correction

Avec \(m=-3\) et passage par \((0;4)\), on a \(b=4\). Donc \(y=-3x+4\).

Q15. Resoudre le systeme \(\begin{cases}x+y=7\2x-y=2\end{cases}\). Non vérifié

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Additionner les deux equations pour eliminer \(y\).

Correction

Addition: \((x+y)+(2x-y)=7+2\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3\). Puis \(y=7-3=4\).

Q16. Donner le point d intersection des droites \(y=-2x+5\) et \(y=x-1\). Non vérifié

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Poser \(-2x+5=x-1\).

Correction

\(-2x+5=x-1\Rightarrow -3x=-6\Rightarrow x=2\). Puis \(y=x-1=1\). Intersection: \((2;1)\).

Q17. Resoudre \(\begin{cases}3x+2y=12\x-y=1\end{cases}\). Non vérifié

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De \(x-y=1\), exprimer \(x\) en fonction de \(y\).

Correction

\(x=y+1\). Dans \(3x+2y=12\): \(3(y+1)+2y=12\Rightarrow 5y=9\Rightarrow y=\frac95\). Donc \(x=\frac95+1=\frac{14}{5}\).

Q18. Equation de la droite parallele a \(y=-3x+2\) passant par \(P(1;4)\). Non vérifié

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Droites paralleles: meme pente.

Correction

La pente vaut \(-3\). On ecrit \(y=-3x+b\). Avec \(P(1;4)\): \(4=-3+ b\Rightarrow b=7\).

Q19. Equation de la droite perpendiculaire a \(y=\dfrac12x-3\) passant par l origine. Non vérifié

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La pente perpendiculaire a \(\frac12\) est \(-2\).

Correction

\(m_1=\frac12\), donc \(m_2=-2\). Passage par l origine \((0;0)\Rightarrow b=0\). Equation: \(y=-2x\).

Q20. Une fonction affine verifie \(f(1)=2\) et \(f(4)=11\). Calculer \(f(0)\). Non vérifié

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Trouver d abord la pente, puis l ordonnee a l origine.

Correction

Pente \(m=\dfrac{11-2}{4-1}=3\). Donc \(f(x)=3x+b\). Avec \(f(1)=2\): \(3+b=2\Rightarrow b=-1\). Donc \(f(0)=-1\).

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