Fiche ultra-synthèse — Fonctions affines, droites & systèmes (2nde)
Linéaire/affine • pente • équations de droites • parallélisme • intersection • systèmes (algèbre + graphique).
Objectif : méthodes rapides + zéro confusion (niveau solide / 2nde+).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Linéaire vs affine
| Objet | Forme |
|---|---|
| Fonction linéaire | \(\boxed{f(x)=ax}\) (droite qui passe par \((0;0)\)) |
| Fonction affine | \(\boxed{f(x)=ax+b}\) (droite quelconque) |
Dans \(y=ax+b\) :
pente \(a\)
et
ordonnée à l’origine \(b=f(0)\).
Exemple : \(y=-2x+3\) coupe l’axe des ordonnées en \((0;3)\).
2 Coefficient directeur (pente)
Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) avec \(x_B\neq x_A\) :
\[
\boxed{a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}
\]
(c’est \(\Delta y / \Delta x\)).
Droite verticale : pas de pente (division par 0).
Équation : \(\boxed{x=c}\).
Exemple : de \(A(0;1)\) à \(B(2;5)\) :
\(a=\dfrac{5-1}{2-0}=2\).
3 Équations de droites (3 formes)
| Forme | À retenir |
|---|---|
| \(\boxed{y=ax+b}\) | lecture directe : pente \(a\), ordonnée \(b\) |
| \(\boxed{Ax+By+C=0}\) | utile pour élimination / systèmes |
| \(\boxed{y-y_0=a(x-x_0)}\) | point \((x_0;y_0)\) + pente \(a\) |
Si \(Ax+By+C=0\) et \(B\neq 0\), alors
\[
\boxed{y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}}
\]
donc \(a=-\dfrac{A}{B}\) et \(b=-\dfrac{C}{B}\).
4 Parallèles • intersection • systèmes
Deux droites non verticales \(y=a_1x+b_1\) et \(y=a_2x+b_2\) :
\[
\boxed{d_1\parallel d_2 \iff a_1=a_2}
\]
Confondues si en plus \(b_1=b_2\).
Intersection = solution du système (point \((x;y)\) qui vérifie les 2 équations).
Cas graphiques :
sécantes → 1 solution • parallèles distinctes → 0 solution • confondues → ∞ solutions.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Droite passant par deux points
- Calculer \(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
- Écrire \(y=ax+b\).
- Remplacer avec \(A\) (ou \(B\)) pour trouver \(b\).
Exemple : \(A(2;5)\), \(B(6;1)\)
\(a=\dfrac{1-5}{6-2}=-1\)
\(y=-x+b\). Avec \(A\) : \(5=-2+b\Rightarrow b=7\)
\(\boxed{y=-x+7}\)
\(a=\dfrac{1-5}{6-2}=-1\)
\(y=-x+b\). Avec \(A\) : \(5=-2+b\Rightarrow b=7\)
\(\boxed{y=-x+7}\)
B Droite : un point + une pente
Si la droite passe par \((x_0;y_0)\) et a pour pente \(a\),
\[
\boxed{y-y_0=a(x-x_0)}
\]
puis on peut développer pour obtenir \(y=ax+b\).
Exemple : pente \(3\), point \((1;-2)\)
\(y+2=3(x-1)\Rightarrow y=3x-5\)
\(y+2=3(x-1)\Rightarrow y=3x-5\)
C Système — Substitution
- Isoler \(y\) (ou \(x\)) dans une équation.
- Remplacer dans l’autre.
- Calculer, puis revenir.
\(\begin{cases} y=2x+1\\ 3x+y=16\end{cases}\)
\(3x+(2x+1)=16\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3\)
\(y=2\cdot3+1=7\Rightarrow \boxed{(3;7)}\)
\(3x+(2x+1)=16\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3\)
\(y=2\cdot3+1=7\Rightarrow \boxed{(3;7)}\)
D Système — Élimination
- Multiplier pour obtenir des coefficients opposés.
- Ajouter/soustraire pour éliminer une inconnue.
- Résoudre, puis remplacer.
\(\begin{cases}2x-3y=1\\4x+3y=23\end{cases}\)
Addition : \(6x=24\Rightarrow x=4\)
\(8-3y=1\Rightarrow y=\frac{7}{3}\Rightarrow \boxed{\left(4;\frac{7}{3}\right)}\)
Addition : \(6x=24\Rightarrow x=4\)
\(8-3y=1\Rightarrow y=\frac{7}{3}\Rightarrow \boxed{\left(4;\frac{7}{3}\right)}\)
Pièges classiques (à éviter)
1 Confondre \(a\) et \(b\)
Dans \(y=ax+b\) :
\(b=f(0)\) (valeur quand \(x=0\)).
\(a\) = pente (variation de \(y\) quand \(x\) augmente).
\(b=f(0)\) (valeur quand \(x=0\)).
\(a\) = pente (variation de \(y\) quand \(x\) augmente).
2 Pente mal calculée
\(\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) (ordre cohérent en haut et en bas).
Interdit si \(x_B=x_A\) (verticale).
Interdit si \(x_B=x_A\) (verticale).
3 “Graphique” sans justification
Pour dire “parallèles”, il faut \(a_1=a_2\).
Pour l’intersection, il faut un point \((x;y)\) qui vérifie les 2 équations.
Pour l’intersection, il faut un point \((x;y)\) qui vérifie les 2 équations.
Vérification flash : une fois \((x;y)\) trouvé, on remplace dans les 2 équations.
Si une seule est vraie → erreur.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Lire \(a\) et \(b\)
Pour \(y=-3x+4\), donner \(a\) et \(b\).
Corrigé : \(a=-3\), \(b=4\).
Q2 Pente (2 points)
Calculer la pente de \(A(-2;1)\), \(B(4;7)\).
Corrigé : \(a=\dfrac{7-1}{4-(-2)}=\dfrac{6}{6}=1\).
Q3 Équation par un point
Droite de pente \(2\) passant par \((0;-5)\).
Corrigé : \(y=2x-5\) (car \(b=y\) quand \(x=0\)).
Q4 Parallélisme
\(d_1:y=\frac12x+3\) et \(d_2: x-2y+8=0\) parallèles ?
Corrigé : \(x-2y+8=0 \Rightarrow -2y=-x-8 \Rightarrow y=\frac12x+4\).
Même pente \(\frac12\) ⇒ parallèles (pas confondues car \(3\neq 4\)).
Même pente \(\frac12\) ⇒ parallèles (pas confondues car \(3\neq 4\)).
Q5 Intersection
Intersection de \(y=3x-2\) et \(y=-x+6\).
Corrigé : \(3x-2=-x+6\Rightarrow x=2\), \(y=4\) ⇒ \(\boxed{(2;4)}\).
Q6 Système (élimination)
\(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\)
Corrigé : addition ⇒ \(2x=8\Rightarrow x=4\), puis \(y=3\) ⇒ \(\boxed{(4;3)}\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Distinguer \(ax\) (linéaire) et \(ax+b\) (affine).
- Lire \(b=f(0)\) et interpréter la pente \(a\).
- Calculer une pente avec 2 points (et repérer une verticale).
- Trouver l’équation d’une droite (2 points / point + pente).
- Décider si deux droites sont parallèles (pentes égales).
- Trouver une intersection (résoudre un système).
- Résoudre un système par substitution / élimination + vérifier.
Réflexes 20/20
1) Toujours écrire la pente : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
2) Après résolution, vérifier dans les 2 équations.
3) Résultat final au format \(\boxed{(x; y)}\).
2) Après résolution, vérifier dans les 2 équations.
3) Résultat final au format \(\boxed{(x; y)}\).
À bannir : “c’est parallèle car ça ressemble”, oublier \(x_B-x_A\),
confondre \(a\) et \(b\), conclure sans vérification.