Cours — Fonctions affines, droites et systèmes
Fonctions linéaires et affines • droites (pente, équations) • parallélisme • intersection • résolution de systèmes (algébrique + graphique).
1) Objectifs et réflexes (programme 2nde)
Compétences attendues
- Reconnaître une fonction linéaire \(f(x)=ax\) et une fonction affine \(f(x)=ax+b\).
- Interpréter \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnée à l’origine).
- Écrire une équation de droite : \(y=ax+b\) ou \(ax+by+c=0\).
- Déterminer la droite passant par deux points, ou par un point avec pente donnée.
- Étudier le parallélisme et trouver l’intersection de deux droites.
- Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (substitution / élimination + interprétation graphique).
Pièges classiques (à éviter)
- Confondre \(a\) et \(b\) : dans \(y=ax+b\), \(b=f(0)\).
- Oublier que la pente se calcule avec deux points : \(\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) (et \(x_B\neq x_A\)).
- Dire “parallèles” juste parce que “ça a l’air parallèle” : on justifie par les coefficients directeurs.
- Perdre le sens : une solution de système = un point \((x; y)\) qui vérifie les deux équations.
Réflexe premium : je choisis une méthode (tableau/graphique/algèbre), je justifie, puis je donne la réponse sous forme \(\boxed{(x; y)}\).
2) Fonctions linéaires et affines
Fonction linéaire
\(f(x)=ax\) avec \(a\in\mathbb{R}\).
Sa représentation est une droite passant par l’origine \((0; 0)\).
Sa représentation est une droite passant par l’origine \((0; 0)\).
Exemple : \(f(x)=-2x\) : la droite passe par \((0;0)\) et \((1;-2)\).
Fonction affine
\(f(x)=ax+b\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\).
Sa représentation est une droite.
Sa représentation est une droite.
Ordonnée à l’origine : \(b=f(0)\).
Pente : \(a\) (variation de \(y\) quand \(x\) augmente de 1).
Pente : \(a\) (variation de \(y\) quand \(x\) augmente de 1).
Lecture rapide sur un graphique
| Élément | Ce que ça signifie |
|---|---|
| \(b=f(0)\) | Intersection avec l’axe des ordonnées : point \((0; b)\). |
| \(a\) | Quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de \(a\) (si \(a>0\)) ou diminue de \(|a|\) (si \(a<0\)). |
| Sens de variation | Si \(a>0\) : fonction croissante. Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante. |
Exemple 1 — Retrouver \(a\) et \(b\) à partir de deux points
Soit une droite passant par \(A(0;3)\) et \(B(2;7)\). Trouver \(f(x)=ax+b\).
- Comme \(A(0;3)\) est sur la droite, on a directement \(b=f(0)=3\).
- Pente : \(a=\dfrac{7-3}{2-0}=\dfrac{4}{2}=2\).
- Donc \(f(x)=2x+3\).
Conclusion : \(\boxed{f(x)=2x+3}\).
3) Coefficient directeur (pente) : définition et calcul
Définition (sur une droite)
Pour deux points distincts \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) avec \(x_B\neq x_A\) :
\[
a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
\]
C’est le coefficient directeur de la droite.
Interprétation
\[
a=\frac{\Delta y}{\Delta x}.
\]
- Si \(a=3\) : quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de 3.
- Si \(a=-\frac12\) : quand \(x\) augmente de 2, \(y\) diminue de 1.
Droite verticale : si \(x_B=x_A\), la pente \(\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) est impossible (division par 0).
Son équation est de la forme \(\boxed{x=\text{constante}}\).
Son équation est de la forme \(\boxed{x=\text{constante}}\).
Exemple 2 — Calcul de pente et sens de variation
Droite passant par \(A(-1;4)\) et \(B(3;-2)\).
\[ a=\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}. \] Comme \(a<0\), la fonction associée est décroissante.
\[ a=\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}. \] Comme \(a<0\), la fonction associée est décroissante.
Pente : \(\boxed{a=-\frac{3}{2}}\) ; sens : \(\boxed{\text{décroissante}}\).
4) Équations de droites : formes utiles
Les 3 formes les plus utilisées
| Forme | Quand l’utiliser |
|---|---|
| Affine \(\boxed{y=ax+b}\) | Lecture directe : pente \(a\), ordonnée à l’origine \(b\). |
| Cartésienne \(\boxed{Ax+By+C=0}\) | Pratique pour résoudre un système par élimination. |
| Point–pente \(\boxed{y-y_0=a(x-x_0)}\) | Si on connaît un point \((x_0;y_0)\) et la pente \(a\). |
Passer de \(Ax+By+C=0\) à \(y=ax+b\)
Si \(B\neq 0\) :
\[
Ax+By+C=0 \iff By=-(Ax+C)\iff y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.
\]
Donc \(a=-\dfrac{A}{B}\) et \(b=-\dfrac{C}{B}\).
Droite passant par deux points
Méthode “safe” :
- Calculer \(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
- Utiliser \(y=ax+b\) et remplacer avec un point pour trouver \(b\).
Exemple 3 — Équation de la droite passant par \(A(2;5)\) et \(B(6;1)\)
- Pente : \[ a=\frac{1-5}{6-2}=\frac{-4}{4}=-1. \]
- Forme \(y=ax+b\) donc \(y=-x+b\). On utilise \(A(2;5)\) : \[ 5=-2+b \Rightarrow b=7. \]
Conclusion : \(\boxed{y=-x+7}\).
Exemple 4 — Droite verticale et droite horizontale
- Droite verticale passant par \((3; -2)\) : \(\boxed{x=3}\).
- Droite horizontale passant par \((1; 4)\) : \(\boxed{y=4}\) (pente \(a=0\)).
5) Parallélisme (critère) et droites “même pente”
Critère fondamental
Deux droites non verticales \(d_1: y=a_1x+b_1\) et \(d_2: y=a_2x+b_2\) sont parallèles si et seulement si
\[
\boxed{a_1=a_2}.
\]
Elles sont confondues si en plus \(b_1=b_2\).
Cas des droites verticales
Deux droites verticales \(x=c_1\) et \(x=c_2\) sont toujours parallèles (confondues si \(c_1=c_2\)).
Attention : une verticale n’a pas d’équation \(y=ax+b\) (pente “infinie”).
Exemple 5 — Décider parallèles / confondues
\(d_1: y=2x-3\) et \(d_2: 4x-2y+6=0\).
On met \(d_2\) sous forme affine : \[ 4x-2y+6=0 \iff -2y=-4x-6 \iff y=2x+3. \] Donc \(a_1=2\) et \(a_2=2\) : elles sont parallèles.
Mais \(b_1=-3\neq 3=b_2\) : elles ne sont pas confondues.
On met \(d_2\) sous forme affine : \[ 4x-2y+6=0 \iff -2y=-4x-6 \iff y=2x+3. \] Donc \(a_1=2\) et \(a_2=2\) : elles sont parallèles.
Mais \(b_1=-3\neq 3=b_2\) : elles ne sont pas confondues.
Conclusion : \(\boxed{d_1 \parallel d_2}\) et \(\boxed{d_1 \neq d_2}\).
6) Intersection de deux droites (point commun)
Principe
Le point d’intersection \(I(x;y)\) vérifie les deux équations.
Donc on résout un système formé par les deux droites.
Cas simple : deux formes \(y=\dots\)
Si \(y=a_1x+b_1\) et \(y=a_2x+b_2\), alors à l’intersection :
\[
a_1x+b_1=a_2x+b_2
\]
puis on trouve \(x\), et on remplace pour obtenir \(y\).
Si même pente
Si \(a_1=a_2\) :
- si \(b_1\neq b_2\) : droites parallèles → aucune intersection.
- si \(b_1=b_2\) : droites confondues → infinité de points communs.
Exemple 6 — Trouver l’intersection de \(y=3x-2\) et \(y=-x+6\)
À l’intersection :
\[
3x-2=-x+6 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2.
\]
Puis :
\[
y=3\cdot2-2=4.
\]
Conclusion : \(\boxed{I(2;4)}\).
7) Systèmes : résolution algébrique + interprétation graphique
Définition
Un système de deux équations à deux inconnues est typiquement :
\[
\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases}
\]
Une solution est un couple \((x;y)\) qui vérifie les deux.
Méthode 1 — Substitution
- Isoler \(x\) ou \(y\) dans une équation.
- Remplacer dans l’autre.
- Résoudre, puis revenir pour trouver la 2ᵉ inconnue.
À choisir quand une équation est déjà “\(y=\dots\)” ou “\(x=\dots\)”.
Méthode 2 — Élimination (combinaison linéaire)
- Multiplier une ou deux équations pour opposer un coefficient.
- Ajouter (ou soustraire) pour éliminer une inconnue.
- Résoudre puis remplacer.
Très efficace quand les coefficients sont “simples” (ex : 2 et 4, ou 3 et -3).
Interprétation graphique
Chaque équation du 1er degré correspond à une droite.
Résoudre le système revient à chercher leurs points d’intersection.
| Situation | Nombre de solutions |
|---|---|
| Droites sécantes | 1 solution : un point \((x;y)\). |
| Droites parallèles distinctes | 0 solution. |
| Droites confondues | Infinité de solutions. |
Exemple 7 — Substitution (propre et rapide)
\[
\begin{cases}
y=2x+1\\
3x+y=16
\end{cases}
\]
Substitution de \(y\) :
\[
3x+(2x+1)=16 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3.
\]
Puis :
\[
y=2\cdot3+1=7.
\]
Solution : \(\boxed{(3;7)}\).
Exemple 8 — Élimination (niveau “piège”)
\[
\begin{cases}
2x-3y=1\\
4x+3y=23
\end{cases}
\]
On additionne (car \(-3y\) et \(+3y\) s’éliminent) :
\[
(2x-3y)+(4x+3y)=1+23 \Rightarrow 6x=24 \Rightarrow x=4.
\]
On remplace dans \(2x-3y=1\) :
\[
2\cdot4-3y=1 \Rightarrow 8-3y=1 \Rightarrow -3y=-7 \Rightarrow y=\frac{7}{3}.
\]
Solution : \(\boxed{\left(4;\frac{7}{3}\right)}\).
Exemple 9 — Aucun point commun (parallèles)
\[
\begin{cases}
y=3x-2\\
y=3x+5
\end{cases}
\]
Même pente \(a=3\) mais ordonnées à l’origine différentes \(-2\neq 5\).
Conclusion : \(\boxed{\text{0 solution}}\).
Exemple 10 — Infinité de solutions (confondues)
\[
\begin{cases}
2x-4y=6\\
x-2y=3
\end{cases}
\]
La 1ère équation est exactement \(2\times\) la 2ᵉ, donc c’est la même droite.
Conclusion : \(\boxed{\text{infinité de solutions}}\) (tous les points de la droite \(x-2y=3\)).
8) Mini-formulaire (à connaître)
Fonctions / droites
Fonction affine : \(f(x)=ax+b\)
\(b=f(0)\) (ordonnée à l’origine)
Pente entre \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\) :
\[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\quad (x_B\neq x_A) \]
\(b=f(0)\) (ordonnée à l’origine)
Pente entre \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\) :
\[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\quad (x_B\neq x_A) \]
Équations de droite
Affine : \(\boxed{y=ax+b}\)
Cartésienne : \(\boxed{Ax+By+C=0}\)
Point–pente : \(\boxed{y-y_0=a(x-x_0)}\)
Si \(Ax+By+C=0\) et \(B\neq 0\) : \[ y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} \]
Cartésienne : \(\boxed{Ax+By+C=0}\)
Point–pente : \(\boxed{y-y_0=a(x-x_0)}\)
Si \(Ax+By+C=0\) et \(B\neq 0\) : \[ y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} \]
Parallélisme / intersection / systèmes
\(d_1: y=a_1x+b_1\) et \(d_2: y=a_2x+b_2\)
\(\boxed{d_1\parallel d_2 \iff a_1=a_2}\)
Intersection : résoudre le système formé par les deux droites.
Une solution = un point \(\boxed{(x;y)}\).
\(\boxed{d_1\parallel d_2 \iff a_1=a_2}\)
Intersection : résoudre le système formé par les deux droites.
Une solution = un point \(\boxed{(x;y)}\).
Notation FR : intervalles \([a ; b]\) et points \((x; y)\).
Checklist “copie parfaite”
- Je sais passer de deux points à une équation \(y=ax+b\).
- Je sais lire \(b=f(0)\) et interpréter \(a\) comme une pente.
- Je justifie le parallélisme par \(a_1=a_2\) (pas “à l’œil”).
- Je résous un système proprement (substitution ou élimination) et je vérifie.
- Je donne la solution sous forme \(\boxed{(x; y)}\) et j’interprète graphiquement.
Objectif Bac-ready : raisonnement clair + étapes + vérification + conclusion encadrée.