Exercices corrigés — Fonctions Affines, Droites Et Systèmes (2nde)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 2nde sur Fonctions Affines, Droites Et Systèmes. Tu vas t’entraîner sur lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.

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✏️ Exercices — Fonctions affines, droites & systèmes

Niveau solide 2nde : équations de droites • pentes • parallélisme • intersections • systèmes • paramètres • modélisation • lecture graphique.

Exercice 1 — Fonction affine déterminée par deux images — seuil et signe

2ndeDifficile **

Une fonction affine \(f(x)=ax+b\) vérifie \(f(-2)=7\) et \(f(4)=-5\). Déterminer \(a\) et \(b\), puis écrire \(f(x)\).
Déterminer l’antécédent de \(0\) par \(f\).
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation \(f(x)\ge 1\) et donner la réponse en intervalle.
Le point \(P(5\,;\,-7)\) appartient-il à la représentation graphique de \(f\) ? Justifier.

Indice

Utiliser les deux points du graphe de f pour calculer le taux d’accroissement.
Chercher le zéro de la fonction affine obtenue.
Résoudre l’inéquation en tenant compte du signe du coefficient directeur.
Remplacer x par 5 et comparer l’ordonnée calculée à -7.

Solution / explication détaillée

1) Les points \((-2\,;\,7)\) et \((4\,;\,-5)\) appartiennent à la droite. Ainsi \(a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2\). Puis \(7=-2(-2)+b\), donc \(b=3\). Ainsi \(\boxed{f(x)=-2x+3}\).

2) On résout \(-2x+3=0\), soit \(-2x=-3\), donc \(\boxed{x=\dfrac32}\).

3) \(-2x+3\ge1\iff-2x\ge-2\iff x\le1\). Le sens s’inverse lors de la division par \(-2\). Donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,1]}\).

4) \(f(5)=-2\times5+3=-7\). L’ordonnée obtenue est bien celle de P, donc \(\boxed{P\in\mathcal C_f}\).

Exercice 2 — Droite par deux points — forme réduite, cartésienne et vecteur directeur

2ndeDifficile **

On considère \(A(-3\,;\,5)\) et \(B(5\,;\,1)\). Calculer le coefficient directeur de \((AB)\).
Déterminer l’équation réduite de \((AB)\).
Écrire une équation cartésienne de \((AB)\) sous la forme \(ax+by+c=0\), avec \(a\), \(b\) et \(c\) entiers et sans facteur commun. Puis donner un vecteur directeur de \((AB)\).
Déterminer le point de \((AB)\) d’abscisse \(9\).

Indice

Utiliser la formule du coefficient directeur entre deux points distincts en abscisse.
Écrire y=ax+b puis utiliser l’un des deux points.
À partir de l’équation réduite, supprimer les dénominateurs pour obtenir une équation de la forme \(ax+by+c=0\), puis simplifier les coefficients s’ils ont un facteur commun. Pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur possible est \((-b\,;\,a)\).
Remplacer x par 9 dans l’équation réduite.

Solution / explication détaillée

1) \(a=\dfrac{1-5}{5-(-3)}=\dfrac{-4}{8}=\boxed{-\dfrac12}\).

2) On écrit \(y=-\dfrac12x+b\). Avec B : \(1=-\dfrac52+b\), donc \(b=\dfrac72\). Ainsi \(\boxed{y=-\dfrac12x+\dfrac72}\).

3) En multipliant par 2 : \(2y=-x+7\), donc \(\boxed{x+2y-7=0}\). Un vecteur directeur est par exemple \(\boxed{\vec u=(2\,;\,-1)}\).

4) Pour \(x=9\), \(y=-\dfrac92+\dfrac72=-1\). Le point cherché est \(\boxed{(9\,;\,-1)}\).

Exercice 3 — Parallélisme avec paramètre — puis intersection exacte

2ndeDifficile **

On considère \(d_k:(k-1)x-2y+5=0\) et \(d:3x-6y-4=0\). Écrire les deux droites sous forme réduite lorsque cela est possible.
Déterminer \(k\) pour que \(d_k\) et \(d\) soient parallèles.
Pour cette valeur de \(k\), les droites sont-elles confondues ? Justifier.
Pour \(k=5\), calculer exactement le point d’intersection de \(d_5\) et \(d\).

Indice

Isoler y dans chaque équation cartésienne.
Deux droites non verticales sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont égaux.
Comparer aussi les ordonnées à l’origine.
Égaliser les deux expressions de y et conserver des fractions exactes.

Solution / explication détaillée

1) \(d_k:y=\dfrac{k-1}{2}x+\dfrac52\) et \(d:y=\dfrac12x-\dfrac23\).

2) Le parallélisme impose \(\dfrac{k-1}{2}=\dfrac12\), donc \(k-1=1\) et \(\boxed{k=2}\).

3) Pour \(k=2\), les deux pentes valent \(\dfrac12\), mais les ordonnées à l’origine sont \(\dfrac52\) et \(-\dfrac23\). Elles sont donc \(\boxed{parallèles\ distinctes}\).

4) Pour \(k=5\), \(d_5:y=2x+\dfrac52\). On résout \(2x+\dfrac52=\dfrac12x-\dfrac23\). Cela donne \(\dfrac32x=-\dfrac{19}{6}\), donc \(x=-\dfrac{19}{9}\). Puis \(y=\dfrac12\left(-\dfrac{19}{9}\right)-\dfrac23=-\dfrac{31}{18}\). Ainsi \(\boxed{I\left(-\dfrac{19}{9}\,;\,-\dfrac{31}{18}\right)}\).

Exercice 4 — Alignement avec paramètre — équation de droite

2ndeDifficile **

On considère \(A(-2\,;\,7)\) et \(B(1\,;\,1)\). Déterminer l’équation réduite de \((AB)\).
On pose \(C(\lambda\,;\,-9)\). Déterminer \(\lambda\) pour que A, B et C soient alignés.
Vérifier si \(D(4\,;\,-5)\) appartient à \((AB)\).
Déterminer l’abscisse du point de \((AB)\) d’ordonnée \(11\).

Indice

Calculer d’abord la pente de AB.
Un point est aligné avec A et B s’il vérifie l’équation de (AB).
Tester les coordonnées de D dans l’équation.
Remplacer y par 11 puis résoudre.

Solution / explication détaillée

1) La pente vaut \(\dfrac{1-7}{1-(-2)}=-2\). Donc \(y=-2x+b\). Avec B : \(1=-2+b\), d’où \(b=3\). Ainsi \(\boxed{(AB):y=-2x+3}\).

2) Il faut \(-9=-2\lambda+3\). Donc \(-12=-2\lambda\), d’où \(\boxed{\lambda=6}\).

3) Pour \(x=4\), \(-2x+3=-8+3=-5\), donc \(\boxed{D\in(AB)}\).

4) \(11=-2x+3\iff-2x=8\iff\boxed{x=-4}\).

Exercice 5 — Intersection de droites cartésiennes — droite parallèle issue du point trouvé

2ndeDifficile **

Résoudre exactement le système \(\begin{cases}2x+y=7\\x-2y=-1\end{cases}\).
En déduire le point d’intersection I des deux droites correspondantes.
Déterminer l’équation réduite de la droite \(d_3\) passant par I et parallèle à \(y=3x-2\).
Déterminer l’intersection de \(d_3\) avec l’axe des abscisses.

Indice

Exprimer y à partir de la première équation puis remplacer dans la seconde.
Les coordonnées de I sont la solution du système.
Une parallèle a le même coefficient directeur.
Sur l’axe des abscisses, y=0.

Solution / explication détaillée

1) De \(2x+y=7\), on tire \(y=7-2x\). Puis \(x-2(7-2x)=-1\), soit \(5x=13\). Donc \(x=\dfrac{13}{5}\), puis \(y=7-\dfrac{26}{5}=\dfrac95\).

2) Ainsi \(\boxed{I\left(\dfrac{13}{5}\,;\,\dfrac95\right)}\).

3) On cherche \(d_3:y=3x+b\). Comme I appartient à \(d_3\), \(\dfrac95=3\times\dfrac{13}{5}+b\), donc \(b=-6\). Ainsi \(\boxed{d_3:y=3x-6}\).

4) Sur l’axe des abscisses, \(0=3x-6\), donc \(x=2\). L’intersection est \(\boxed{(2\,;\,0)}\).

Exercice 6 — Systèmes — distinguer solution unique, aucune solution et infinité

2ndeDifficile **

Résoudre ou classer \(S_1:\begin{cases}2x-3y=7\\4x-6y=14\end{cases}\).
Résoudre ou classer \(S_2:\begin{cases}x+2y=5\\2x+4y=13\end{cases}\).
Résoudre \(S_3:\begin{cases}3x-y=8\\x+y=4\end{cases}\).
Résoudre \(S_4:\begin{cases}x=2\\3x-y=5\end{cases}\).

Indice

Comparer les deux équations avant de calculer.
Des membres de gauche proportionnels avec des constantes non proportionnelles donnent une contradiction.
Additionner les équations pour éliminer y.
Utiliser immédiatement x=2.

Solution / explication détaillée

1) La deuxième équation est exactement le double de la première. Les deux droites sont confondues : \(\boxed{S_1\text{ possède une infinité de solutions}}\).

2) Le double de la première donnerait \(2x+4y=10\), alors que la seconde impose 13. Contradiction : \(\boxed{S_2=\varnothing}\).

3) En additionnant : \(4x=12\), donc \(x=3\). Puis \(3+y=4\), donc \(y=1\). Ainsi \(\boxed{S_3=\{(3\,;\,1)\}}\).

4) Avec \(x=2\), \(6-y=5\), donc \(y=1\). Ainsi \(\boxed{S_4=\{(2\,;\,1)\}}\).

Exercice 7 — Système avec paramètre — coordonnées de l’intersection

2ndeDifficile **

On considère \(S_m:\begin{cases}y=(m-1)x+2\\y=2x+m\end{cases}\). Pour \(m\ne3\), exprimer la solution unique \((x_m\,;\,y_m)\).
Étudier précisément le cas \(m=3\).
Existe-t-il une valeur de \(m\) pour laquelle le système possède une infinité de solutions ?
Déterminer \(m\) pour que le point d’intersection appartienne à l’axe des ordonnées.

Indice

Égaliser les deux expressions de y.
Pour m=3, comparer pente et ordonnée à l’origine.
Deux droites confondues doivent avoir même pente et même ordonnée à l’origine.
Un point sur l’axe des ordonnées a x=0.

Solution / explication détaillée

1) \((m-1)x+2=2x+m\iff(m-3)x=m-2\). Pour \(m\ne3\), \(x_m=\dfrac{m-2}{m-3}\). Puis \(y_m=2x_m+m=\dfrac{m^2-m-4}{m-3}\). Donc \(\boxed{(x_m\,;\,y_m)=\left(\dfrac{m-2}{m-3}\,;\,\dfrac{m^2-m-4}{m-3}\right)}\).

2) Pour \(m=3\), les deux droites sont \(y=2x+2\) et \(y=2x+3\). Elles sont parallèles distinctes, donc \(\boxed{S_3=\varnothing}\).

3) Pour être confondues, il faudrait d’abord \(m=3\) pour avoir la même pente, mais alors les ordonnées à l’origine sont 2 et 3. Donc \(\boxed{aucune\ valeur\ de\ m}\).

4) Il faut \(x_m=0\). Pour \(m\ne3\), \(\dfrac{m-2}{m-3}=0\iff m=2\). On obtient alors le point \((0\,;\,2)\). Donc \(\boxed{m=2}\).

Exercice 8 — Position relative de deux fonctions affines — équations et inéquations

2ndeDifficile **

On pose \(f(x)=-\dfrac32x+4\) et \(g(x)=\dfrac12x-2\). Résoudre \(f(x)=g(x)\).
Résoudre \(f(x)\ge g(x)\) et interpréter graphiquement.
Résoudre \(f(x)\le3\).
Résoudre \(g(x)>3\).

Indice

Étudier la différence f-g.
Le signe de f-g indique quelle droite est au-dessus de l’autre.
Isoler x en tenant compte du coefficient négatif.
Résoudre une inéquation du premier degré.

Solution / explication détaillée

1) \(-\dfrac32x+4=\dfrac12x-2\iff-2x=-6\iff\boxed{x=3}\). Le point d’intersection a pour ordonnée \(-\dfrac12\).

2) \(f(x)-g(x)=-2x+6\). Ainsi \(f(x)\ge g(x)\iff x\le3\). Donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,3]}\). Graphiquement, la droite de f est au-dessus de celle de g jusqu’à l’intersection incluse.

3) \(-\dfrac32x+4\le3\iff-\dfrac32x\le-1\iff x\ge\dfrac23\). Donc \(\boxed{S=[\dfrac23\,;\,+\infty[}\).

4) \(\dfrac12x-2>3\iff\dfrac12x>5\iff x>10\). Donc \(\boxed{S=]10\,;\,+\infty[}\).

Exercice 9 — Signe et variation d’une fonction affine — contrainte double

2ndeDifficile **

Soit \(p(x)=-\dfrac53x+\dfrac{10}{3}\). Donner son coefficient directeur, son ordonnée à l’origine et son sens de variation.
Déterminer le signe de \(p(x)\) sur \(\mathbb R\).
Résoudre la double contrainte \(-5\le p(x)\le5\).
Résoudre \(p(x)>-2\) et donner la réponse en notation française d’intervalle.

Indice

Le signe du coefficient directeur donne le sens de variation.
Commencer par trouver le zéro de p.
Traiter simultanément les deux inégalités ou les intersecter.
Attention au changement de sens quand on divise par un nombre négatif.

Solution / explication détaillée

1) Le coefficient directeur est \(-\dfrac53<0\), l’ordonnée à l’origine vaut \(\dfrac{10}{3}\), donc p est \(\boxed{strictement\ décroissante}\).

2) \(p(x)=0\iff-5x+10=0\iff x=2\). Comme p est décroissante, \(p(x)>0\) pour \(x<2\), \(p(2)=0\), et \(p(x)<0\) pour \(x>2\).

3) \(-5\le-\dfrac53x+\dfrac{10}{3}\le5\). Après multiplication par 3 : \(-15\le-5x+10\le15\). On obtient simultanément \(x\le5\) et \(x\ge-1\). Donc \(\boxed{x\in[-1\,;\,5]}\).

4) \(-\dfrac53x+\dfrac{10}{3}>-2\iff-5x+10>-6\iff-5x>-16\iff x<\dfrac{16}{5}\). Donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,\dfrac{16}{5}[}\).

Exercice 10 — Lecture graphique et résolution algébrique — deux droites

2ndeDifficile **

À partir du graphique, conjecturer puis déterminer exactement l’équation de \(d_1\).
Faire de même pour \(d_2\).
Déterminer exactement le point d’intersection I des deux droites.
Résoudre \(2x-3\le -x+6\) et relier la réponse à la position relative des deux droites.

Les deux droites sont tracées avec le point d’intersection I.

Indice

Lire une ordonnée à l’origine et une variation entre deux points entiers.
Procéder de la même manière pour la seconde droite.
Égaliser les deux équations réduites.
La solution correspond aux abscisses où d1 est sous d2.

Solution / explication détaillée

1) On lit une ordonnée à l’origine \(-3\) et une pente 2. Ainsi \(\boxed{d_1:y=2x-3}\).

2) On lit une ordonnée à l’origine 6 et une pente \(-1\). Ainsi \(\boxed{d_2:y=-x+6}\).

3) \(2x-3=-x+6\iff3x=9\iff x=3\). Puis \(y=3\). Donc \(\boxed{I(3\,;\,3)}\).

4) \(2x-3\le-x+6\iff3x\le9\iff x\le3\). Donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,3]}\), ce qui correspond aux abscisses où \(d_1\) est sous ou sur \(d_2\).

Exercice 11 — Trois offres affines — seuils et choix optimal entier

2ndeDifficile **

Trois offres coûtent \(A(n)=24+1{,}8n\), \(B(n)=9+2{,}4n\) et \(C(n)=3{,}3n\), pour \(n\ge0\). Calculer les trois abscisses d’intersection deux à deux.
Pour quels nombres réels de séances B est-elle strictement moins chère que A et C à la fois ?
Pour quels nombres entiers de séances B est-elle strictement la moins chère ?
Pour \(n=20\), déterminer l’offre la moins chère et son coût.

Coût en euros en fonction du nombre de séances n.

Indice

Résoudre A=B, B=C et A=C.
Intersecter les deux conditions B<A et B<C.
Passer ensuite aux valeurs entières en excluant les égalités.
Calculer les trois coûts sans arrondir inutilement.

Solution / explication détaillée

1) \(A=B\iff24+1{,}8n=9+2{,}4n\iff n=25\). \(B=C\iff9+2{,}4n=3{,}3n\iff n=10\). \(A=C\iff24+1{,}8n=3{,}3n\iff n=16\). Les seuils sont \(\boxed{10,16,25}\).

2) \(B<A\iff n<25\) et \(B<C\iff n>10\). Donc \(\boxed{10<n<25}\).

3) Pour n entier, cela donne \(\boxed{11\le n\le24}\).

4) \(A(20)=60\), \(B(20)=57\), \(C(20)=66\). L’offre la moins chère est donc \(\boxed{B\text{ à }57\,€}\).

Exercice 12 — Mélange de concentrations — système puis formule paramétrée

2ndeDifficile **

On veut préparer \(40\) L d’une solution à \(30\%\) à partir de solutions à \(20\%\) et \(50\%\). En notant x et y les volumes respectifs, écrire le système.
Résoudre exactement ce système.
Vérifier par un calcul de quantité de soluté que le mélange obtenu est bien à \(30\%\).
Plus généralement, pour \(40\) L à \(t\%\), avec \(20\le t\le50\), exprimer x et y en fonction de t.

Indice

La somme des volumes vaut 40 et la somme des quantités de soluté vaut 12 L.
Éliminer une inconnue après avoir supprimé les décimales.
Calculer 20 % de x et 50 % de y.
Conserver t comme paramètre et résoudre le même système symboliquement.

Solution / explication détaillée

1) Le système est \(\boxed{\begin{cases}x+y=40\\0{,}2x+0{,}5y=12\end{cases}}\).

2) En multipliant la seconde équation par 10 : \(2x+5y=120\). Or \(2x+2y=80\). Par soustraction, \(3y=40\), donc \(y=\dfrac{40}{3}\) et \(x=40-\dfrac{40}{3}=\dfrac{80}{3}\).

3) La quantité de soluté vaut \(0{,}2\times\dfrac{80}{3}+0{,}5\times\dfrac{40}{3}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{20}{3}=12\) L, soit \(\dfrac{12}{40}=30\%\). La vérification est exacte.

4) On a \(x+y=40\) et \(0{,}2x+0{,}5y=0{,}4t\). En remplaçant \(x=40-y\) : \(8+0{,}3y=0{,}4t\), donc \(y=\dfrac{4(t-20)}{3}\). Ainsi \(x=40-y=\dfrac{4(50-t)}{3}\). Donc \(\boxed{x(t)=\dfrac{4(50-t)}{3},\ y(t)=\dfrac{4(t-20)}{3}}\).

Exercice 13 — Triangle en géométrie repérée — côtés et médianes

2ndeDifficile **

Dans un repère, on considère \(A(-3\,;\,1)\), \(B(5\,;\,5)\) et \(C(1\,;\,-3)\). Déterminer les équations réduites de \((AB)\), \((AC)\) et \((BC)\).
Calculer le milieu M de \([BC]\) et déterminer l’équation de la médiane issue de A.
Calculer le milieu N de \([AC]\) et déterminer l’équation de la médiane issue de B.
Calculer le point d’intersection G de ces deux médianes.

Indice

Calculer trois coefficients directeurs séparément.
Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé.
Procéder de la même façon avec N.
Résoudre le système formé par les deux médianes.

Solution / explication détaillée

1) \((AB)\) a pour pente \(\dfrac12\), donc \(\boxed{y=\dfrac12x+\dfrac52}\). \((AC)\) a pour pente \(-1\), donc \(\boxed{y=-x-2}\). \((BC)\) a pour pente \(2\), donc \(\boxed{y=2x-5}\).

2) \(M\left(\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{5+(-3)}{2}\right)=(3\,;\,1)\). A et M ont la même ordonnée, donc la médiane issue de A est \(\boxed{y=1}\).

3) \(N\left(\dfrac{-3+1}{2}\,;\,\dfrac{1+(-3)}{2}\right)=(-1\,;\,-1)\). La droite BN a pour pente \(1\) et passe par B(5 ; 5), donc \(\boxed{y=x}\).

4) On résout \(y=1\) et \(y=x\). On obtient \(x=1\), \(y=1\). Ainsi \(\boxed{G(1\,;\,1)}\).

Exercice 14 — Point et vecteur directeur — passer aux deux formes d’équation

2ndeDifficile **

La droite d passe par \(P(2\,;\,-1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec u=(3\,;\,2)\). Déterminer une équation cartésienne primitive de d.
Mettre cette équation sous forme réduite.
Déterminer le point de d d’abscisse \(5\).
Déterminer l’équation de la parallèle à d passant par \(Q(-1\,;\,4)\), sous forme cartésienne primitive.

Indice

Un vecteur normal à (3 ; 2) peut être (2 ; -3).
Isoler y.
Remplacer x par 5.
Une parallèle conserve le même vecteur directeur, donc le même normal.

Solution / explication détaillée

1) Un vecteur normal est \((2\,;\,-3)\). Une équation est \(2x-3y+c=0\). Avec P : \(4+3+c=0\), donc \(c=-7\). Ainsi \(\boxed{2x-3y-7=0}\).

2) \(-3y=-2x+7\), donc \(\boxed{y=\dfrac23x-\dfrac73}\).

3) Pour \(x=5\), \(y=\dfrac{10}{3}-\dfrac73=1\). Le point est \(\boxed{(5\,;\,1)}\).

4) La parallèle cherchée a la forme \(2x-3y+c=0\). Avec Q : \(-2-12+c=0\), donc \(c=14\). Ainsi \(\boxed{2x-3y+14=0}\).

Exercice 15 — Algorithme de reconstruction d’une droite — calcul exact

2ndeDifficile **

Un algorithme reçoit \(A(1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,-2)\), puis calcule \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\). Calculer m.
L’algorithme calcule ensuite \(p=y_A-mx_A\). Calculer p.
En déduire l’équation réduite de \((AB)\).
Déterminer exactement l’intersection de \((AB)\) avec la droite \(y=2x-1\).

Indice

Exécuter la formule exactement sans décimal.
Réutiliser la valeur exacte de m.
L’équation est y=mx+p.
Égaliser les deux expressions de y.

Solution / explication détaillée

1) \(m=\dfrac{-2-4}{5-1}=\dfrac{-6}{4}=\boxed{-\dfrac32}\).

2) \(p=4-\left(-\dfrac32\right)\times1=\boxed{\dfrac{11}{2}}\).

3) Ainsi \(\boxed{(AB):y=-\dfrac32x+\dfrac{11}{2}}\).

4) \(-\dfrac32x+\dfrac{11}{2}=2x-1\). En multipliant par 2 : \(-3x+11=4x-2\), donc \(7x=13\) et \(x=\dfrac{13}{7}\). Puis \(y=2\times\dfrac{13}{7}-1=\dfrac{19}{7}\). Donc \(\boxed{I\left(\dfrac{13}{7}\,;\,\dfrac{19}{7}\right)}\).

Exercice 16 — Composition d’une fonction affine — identification par coefficients

2ndeTrès difficile ***

Une fonction affine croissante \(f(x)=ax+b\) vérifie \(f(f(x))=9x-4\) pour tout réel x. Établir les relations vérifiées par a et b.
Déterminer complètement la fonction f.
Déterminer le point fixe de f, c’est-à-dire la solution de \(f(x)=x\).
Résoudre \(f(x)\ge2x+5\).

Indice

Composer f avec elle-même puis identifier coefficient de x et terme constant.
La croissance impose a>0.
Un point fixe vérifie une équation du premier degré.
Utiliser l’expression de f obtenue.

Solution / explication détaillée

1) \(f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+b(a+1)\). L’identification avec \(9x-4\) donne \(\boxed{a^2=9\text{ et }b(a+1)=-4}\).

2) Comme f est croissante, \(a>0\), donc \(a=3\). Alors \(4b=-4\), donc \(b=-1\). Ainsi \(\boxed{f(x)=3x-1}\).

3) \(3x-1=x\iff2x=1\iff\boxed{x=\dfrac12}\).

4) \(3x-1\ge2x+5\iff x\ge6\). Donc \(\boxed{S=[6\,;\,+\infty[}\).

Exercice 17 — Droite paramétrée enfermée entre deux droites sur un intervalle

2ndeTrès difficile ***

Pour \(x\in[0\,;\,4]\), on veut \(d_k(x)=kx+1\le f(x)=2x+3\). Déterminer la contrainte sur k.
Sur le même intervalle, on veut aussi \(d_k(x)\ge g(x)=-x\). Déterminer la seconde contrainte sur k.
En déduire toutes les valeurs de k pour lesquelles \(g(x)\le d_k(x)\le f(x)\) pour tout \(x\in[0\,;\,4]\).
Vérifier que pour \(k=\dfrac12\), les deux inégalités sont strictes sur tout \([0\,;\,4]\).

Indice

La différence de deux fonctions affines est affine ; son extremum sur [0 ; 4] est atteint à une extrémité.
Contrôler les extrémités de l’intervalle.
Intersecter les deux contraintes sur k.
Étudier f-d et d-g pour k=1/2.

Solution / explication détaillée

1) On veut \((k-2)x-2\le0\) sur \([0\,;\,4]\). À x=0 la valeur vaut -2. La contrainte décisive à x=4 est \(4k-10\le0\), donc \(\boxed{k\le\dfrac52}\).

2) On veut \((k+1)x+1\ge0\) sur \([0\,;\,4]\). À x=0 la valeur vaut 1. À x=4 : \(4k+5\ge0\), donc \(\boxed{k\ge-\dfrac54}\).

3) Les deux conditions donnent \(\boxed{k\in[-\dfrac54\,;\,\dfrac52]}\).

4) Pour \(k=\dfrac12\), \(f-d=\dfrac32x+2>0\) et \(d-g=\dfrac32x+1>0\) pour tout \(x\in[0\,;\,4]\). Les inégalités sont donc strictes.

Exercice 18 — Concours de trois droites — paramètre de concurrence

2ndeTrès difficile ***

On considère \(d_1:y=2x+1\) et \(d_2:y=-x+7\). Calculer leur point d’intersection I.
On considère \(d_m:y=mx+3\). Déterminer m pour que \(d_m\), \(d_1\) et \(d_2\) soient concourantes.
Pour cette valeur de m, écrire l’équation de \(d_m\) et vérifier directement que I lui appartient.
Déterminer l’équation de la droite passant par l’origine O et par I.

Indice

Égaliser d1 et d2.
La troisième droite doit passer par I.
Substituer les coordonnées de I.
La droite OI est linéaire : y=ax.

Solution / explication détaillée

1) \(2x+1=-x+7\iff3x=6\), donc \(x=2\) et \(y=5\). Ainsi \(\boxed{I(2\,;\,5)}\).

2) Il faut \(5=2m+3\), donc \(2m=2\) et \(\boxed{m=1}\).

3) On obtient \(\boxed{d_m:y=x+3}\). Pour I : \(2+3=5\), donc la vérification est exacte.

4) La droite OI a pour pente \(\dfrac{5-0}{2-0}=\dfrac52\). Ainsi \(\boxed{OI:y=\dfrac52x}\).

Exercice 19 — Système symétrique avec paramètre — perte d’unicité

2ndeTrès difficile ***

On considère \(S_m:\begin{cases}(m-1)x+y=2\\2x+(m-1)y=2\end{cases}\). Écrire la condition pour que le système ait une solution unique.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles le système n’a pas de solution unique.
Pour chacune de ces valeurs, déterminer s’il y a zéro ou une infinité de solutions.
Résoudre complètement le système pour \(m=1\).

Indice

Étudier le déterminant de la matrice des coefficients.
Résoudre (m-1)^2-2=0.
Comparer la proportionnalité des deux membres gauches avec celle des constantes.
Remplacer m par 1 avant de résoudre.

Solution / explication détaillée

1) Le déterminant vaut \(\Delta=(m-1)^2-2=m^2-2m-1\). Le système a une solution unique si et seulement si \(\boxed{\Delta\ne0}\).

2) \(\Delta=0\iff(m-1)^2=2\iff\boxed{m=1-\sqrt2\text{ ou }m=1+\sqrt2}\).

3) Pour \(m-1=\sqrt2\), la deuxième ligne de coefficients vaut \(\sqrt2\) fois la première, mais la constante 2 ne vaut pas \(2\sqrt2\). Même contradiction pour \(m-1=-\sqrt2\). Dans les deux cas, \(\boxed{S_m=\varnothing}\).

4) Pour \(m=1\), le système devient \(\begin{cases}y=2\\2x=2\end{cases}\), donc \(\boxed{(x\,;\,y)=(1\,;\,2)}\).

Exercice 20 — Parallélogramme en coordonnées — diagonales et système

2ndeTrès difficile ***

On considère \(A(-2\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(6\,;\,-1)\). Déterminer D pour que ABCD soit un parallélogramme.
Déterminer l’équation réduite de la diagonale \((AC)\).
Déterminer l’équation réduite de la diagonale \((BD)\).
Résoudre le système des deux diagonales et interpréter le résultat.

Indice

Dans un parallélogramme, A+C=B+D vectoriellement.
Utiliser A et C.
Utiliser B et le point D trouvé.
Les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu.

Solution / explication détaillée

1) On a \(D=A+C-B\). Donc \(D=(-2+6-4\,;\,1-1-3)=\boxed{(0\,;\,-3)}\).

2) La pente de AC vaut \(\dfrac{-1-1}{6-(-2)}=-\dfrac14\). Avec A, \(1=\dfrac12+b\), donc \(b=\dfrac12\). Ainsi \(\boxed{AC:y=-\dfrac14x+\dfrac12}\).

3) La pente de BD vaut \(\dfrac{-3-3}{0-4}=\dfrac32\). Comme D(0 ; -3), \(\boxed{BD:y=\dfrac32x-3}\).

4) \(-\dfrac14x+\dfrac12=\dfrac32x-3\). En multipliant par 4 : \(-x+2=6x-12\), donc \(7x=14\), \(x=2\), puis \(y=0\). Les diagonales se coupent en \(\boxed{(2\,;\,0)}\), qui est leur milieu commun.

Exercice 21 — Enveloppe inférieure de trois fonctions affines — choix optimal

2ndeTrès difficile ***

On considère \(P(x)=12+1{,}8x\), \(Q(x)=30+1{,}2x\) et \(R(x)=2{,}4x\), pour \(x\ge0\). Calculer les trois points d’égalité deux à deux.
Déterminer pour quelles valeurs réelles de x chacune des trois offres est la moins chère.
Pour x entier, donner les plages où chaque offre est strictement la moins chère.
À \(x=27\), identifier l’offre optimale et calculer son coût exact.

Trois tarifs P, Q et R en fonction du nombre x d’unités.

Indice

Calculer P=Q, P=R et Q=R.
Comparer les fonctions de part et d’autre des seuils 20, 25 et 30.
Exclure les seuils d’égalité pour le mot strictement.
Évaluer les trois fonctions en 27.

Solution / explication détaillée

1) \(P=Q\iff x=30\), \(P=R\iff x=20\), \(Q=R\iff x=25\). Les seuils sont \(\boxed{20,25,30}\).

2) Pour \(0\le x\le20\), R est minimale. Pour \(20\le x\le30\), P est minimale (avec égalités aux bornes). Pour \(x\ge30\), Q est minimale. Ainsi l’enveloppe inférieure change en 20 puis 30 ; le croisement Q=R à 25 n’est pas optimal.

3) Pour x entier : R est strictement minimale pour \(0\le x\le19\), P pour \(21\le x\le29\), et Q pour \(x\ge31\). Aux valeurs 20 et 30, il y a égalité.

4) \(P(27)=12+48{,}6=60{,}6\), \(Q(27)=30+32{,}4=62{,}4\), \(R(27)=64{,}8\). Donc \(\boxed{P\text{ est optimale à }60{,}6}\).

Exercice 22 — Reconstruction depuis un graphique — équations, intersection et comparaison

2ndeTrès difficile ***

À partir du graphique, déterminer exactement l’expression de \(f\).
Déterminer exactement l’expression de \(g\).
Retrouver algébriquement les coordonnées de I puis résoudre \(f(x)\ge g(x)\).
Déterminer les zéros de f et de g et les comparer.

Les ordonnées à l’origine A et B, ainsi que l’intersection I, sont repérées.

Indice

Lire d’abord les ordonnées à l’origine puis utiliser un second point.
Même méthode pour g.
Égaliser f et g puis étudier f-g.
Résoudre séparément f(x)=0 et g(x)=0.

Solution / explication détaillée

1) On lit \(f(0)=3\). Avec I(2 ; 2), la pente vaut \(\dfrac{2-3}{2-0}=-\dfrac12\). Donc \(\boxed{f(x)=-\dfrac12x+3}\).

2) On lit \(g(0)=-1\). Avec I(2 ; 2), la pente vaut \(\dfrac{2-(-1)}2=\dfrac32\). Donc \(\boxed{g(x)=\dfrac32x-1}\).

3) \(-\dfrac12x+3=\dfrac32x-1\iff2x=4\iff x=2\), puis \(y=2\). Ainsi I(2 ; 2). De plus \(f-g=-2x+4\ge0\iff x\le2\), donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,2]}\).

4) \(f(x)=0\iff x=6\). \(g(x)=0\iff \dfrac32x=1\iff x=\dfrac23\). Ainsi \(\boxed{\dfrac23<6}\), le zéro de g est à gauche de celui de f.

Exercice 23 — Fonction affine involutive — composition et point fixe

2ndeTrès difficile ***

On cherche une fonction affine \(f(x)=ax+b\) telle que \(f(f(x))=x\) pour tout réel x. Établir les relations entre a et b.
On impose en plus \(f(2)=5\). Déterminer f.
Déterminer le point fixe de f.
Résoudre \(f(x)>0\).

Indice

Composer f avec elle-même et identifier les coefficients.
Tester les deux possibilités issues de a²=1.
Résoudre f(x)=x.
Utiliser l’expression finale de f.

Solution / explication détaillée

1) \(f(f(x))=a^2x+b(a+1)\). L’identité \(f(f(x))=x\) impose \(\boxed{a^2=1\text{ et }b(a+1)=0}\).

2) Si \(a=1\), alors la seconde relation impose b=0, ce qui contredit \(f(2)=5\). Donc \(a=-1\). Puis \(-2+b=5\), donc \(b=7\). Ainsi \(\boxed{f(x)=-x+7}\).

3) \(-x+7=x\iff2x=7\), donc le point fixe est \(\boxed{x=\dfrac72}\).

4) \(-x+7>0\iff x<7\). Donc \(\boxed{S=]-\infty\,;\,7[}\).

Exercice 24 — Intersection dépendant d’un paramètre — premier quadrant

2ndeTrès difficile ***

Pour \(k\ne-1\), on considère \(d_k:y=kx+2\) et \(g:y=-x+6\). Exprimer les coordonnées \((x_k\,;\,y_k)\) de leur intersection.
Déterminer la condition sur k pour que \(x_k>0\).
Déterminer toutes les valeurs de k pour lesquelles l’intersection est strictement dans le premier quadrant.
Pour \(k=1\), calculer le point d’intersection et vérifier les conditions.

Indice

Égaliser kx+2 et -x+6.
Étudier le signe de 4/(k+1).
Sous la condition x>0, le dénominateur est positif ; étudier alors le numérateur de y.
Remplacer k par 1.

Solution / explication détaillée

1) \((k+1)x=4\), donc \(x_k=\dfrac4{k+1}\). Puis \(y_k=kx_k+2=\dfrac{2(3k+1)}{k+1}\). Ainsi \(\boxed{I_k\left(\dfrac4{k+1}\,;\,\dfrac{2(3k+1)}{k+1}\right)}\).

2) \(x_k>0\iff\dfrac4{k+1}>0\iff\boxed{k>-1}\).

3) Avec \(k>-1\), le dénominateur est positif. Il faut donc \(3k+1>0\), soit \(k>-\dfrac13\). La condition complète est \(\boxed{k>-\dfrac13}\).

4) Pour \(k=1\), \(x=2\) et \(y=4\). Le point \(\boxed{(2\,;\,4)}\) est bien strictement dans le premier quadrant.

Exercice 25 — Mouvements affines — instant de rencontre et fenêtre de proximité

2ndeTrès difficile ***

Deux mobiles ont pour positions \(p_1(t)=12+18t\) et \(p_2(t)=78-12t\), en km, avec \(t\ge0\) en heures. Déterminer l’instant exact de leur rencontre.
Déterminer la position exacte du point de rencontre.
Exprimer la distance algébrique \(p_2(t)-p_1(t)\) avant la rencontre.
Déterminer les instants pour lesquels la distance entre les deux mobiles est au plus \(6\) km.

Indice

Résoudre p1(t)=p2(t).
Remplacer l’instant dans l’une des positions.
Réduire p2-p1.
Résoudre |66-30t|≤6.

Solution / explication détaillée

1) \(12+18t=78-12t\iff30t=66\iff\boxed{t=\dfrac{11}{5}}\) h.

2) \(p_1\left(\dfrac{11}{5}\right)=12+18\times\dfrac{11}{5}=\dfrac{258}{5}\) km. La rencontre a lieu à \(\boxed{\dfrac{258}{5}\text{ km}}\).

3) \(p_2(t)-p_1(t)=78-12t-12-18t=\boxed{66-30t}\). Avant la rencontre, cette quantité est positive.

4) La distance vaut \(|66-30t|\). \(|66-30t|\le6\iff-6\le66-30t\le6\). On obtient \(2\le t\le\dfrac{12}{5}\). Donc \(\boxed{t\in[2\,;\,\dfrac{12}{5}]}\).

Exercice 26 — Droite par intersection et parallélisme — synthèse cartésienne

2ndeTrès difficile ***

On considère \(d_1:2x-y=5\) et \(d_2:x+y=7\). Déterminer leur intersection I.
Mettre \(d_3:3x+2y-1=0\) sous forme réduite et donner son coefficient directeur.
Déterminer l’équation de la droite \(\Delta\) passant par I et parallèle à \(d_3\), sous forme réduite puis cartésienne.
Déterminer l’intersection de \(\Delta\) avec l’axe des abscisses.

Indice

Résoudre le système d1/d2.
Isoler y.
Conserver la pente de d3 puis utiliser I.
Poser y=0.

Solution / explication détaillée

1) \(d_1:y=2x-5\) et \(d_2:y=7-x\). Donc \(2x-5=7-x\), soit \(3x=12\). Ainsi \(\boxed{I(4\,;\,3)}\).

2) \(2y=-3x+1\), donc \(\boxed{d_3:y=-\dfrac32x+\dfrac12}\), de coefficient directeur \(-\dfrac32\).

3) \(\Delta:y=-\dfrac32x+b\). Avec I : \(3=-6+b\), donc b=9. Ainsi \(\boxed{\Delta:y=-\dfrac32x+9}\), soit \(\boxed{3x+2y-18=0}\).

4) Sur l’axe des abscisses : \(0=-\dfrac32x+9\), donc \(x=6\). L’intersection est \(\boxed{(6\,;\,0)}\).

Exercice 27 — Deux fonctions affines liées par leur zéro — comparaison globale

2ndeTrès difficile ***

Déterminer la fonction affine f telle que \(f(-2)=5\) et \(f(3)=-5\).
On cherche une fonction affine g ayant le même zéro que f et vérifiant \(g(0)=4\). Déterminer g.
Calculer le point d’intersection des deux représentations graphiques.
Résoudre \(f(x)\ge g(x)\).

Indice

Calculer le coefficient directeur de f à partir de deux images.
Trouver d’abord le zéro de f, puis utiliser les deux points connus de g.
Égaliser les deux expressions.
Étudier f-g.

Solution / explication détaillée

1) La pente vaut \(\dfrac{-5-5}{3-(-2)}=-2\). Puis \(5=4+b\), donc b=1. Ainsi \(\boxed{f(x)=-2x+1}\).

2) Le zéro de f est \(x=\dfrac12\). La droite de g passe donc par \((0\,;\,4)\) et \((\dfrac12\,;\,0)\), de pente \(-8\). Ainsi \(\boxed{g(x)=-8x+4}\).

3) \(-2x+1=-8x+4\iff6x=3\iff x=\dfrac12\), puis y=0. L’intersection est \(\boxed{\left(\dfrac12\,;\,0\right)}\).

4) \(f-g=6x-3\). Donc \(f(x)\ge g(x)\iff6x-3\ge0\iff x\ge\dfrac12\). Ainsi \(\boxed{S=[\dfrac12\,;\,+\infty[}\).

Exercice 28 — Triangle formé par trois droites — intersections exactes et aire

2ndeTrès difficile ***

On considère \(d_1:y=x+1\), \(d_2:y=-2x+7\) et \(d_3:y=3x-5\). Déterminer \(A=d_1\cap d_2\).
Déterminer \(B=d_2\cap d_3\).
Déterminer \(C=d_3\cap d_1\).
Vérifier que A, B, C ne sont pas alignés puis calculer l’aire du triangle ABC.

Indice

Égaliser d1 et d2.
Égaliser d2 et d3.
Égaliser d3 et d1.
Utiliser le déterminant de AB et AC ; l’aire vaut la moitié de sa valeur absolue.

Solution / explication détaillée

1) \(x+1=-2x+7\iff3x=6\), donc \(\boxed{A(2\,;\,3)}\).

2) \(-2x+7=3x-5\iff5x=12\), donc \(x=\dfrac{12}{5}\) et \(y=\dfrac{11}{5}\). Ainsi \(\boxed{B\left(\dfrac{12}{5}\,;\,\dfrac{11}{5}\right)}\).

3) \(3x-5=x+1\iff2x=6\), donc \(\boxed{C(3\,;\,4)}\).

4) \(\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac25\,;\,-\dfrac45\right)\) et \(\overrightarrow{AC}=(1\,;\,1)\). Leur déterminant vaut \(\dfrac25\times1-\left(-\dfrac45\right)\times1=\dfrac65\ne0\), donc les points ne sont pas alignés. L’aire vaut \(\dfrac12\times\dfrac65=\boxed{\dfrac35}\).

Exercice 29 — Minimum et maximum de trois fonctions affines — changements de régime

2ndeTrès difficile ***

Sur \([0\,;\,12]\), on pose \(A(x)=3x+6\), \(B(x)=-x+30\), \(C(x)=x+14\). Calculer les intersections A=C et C=B.
Déterminer quelle fonction est minimale sur chacun des intervalles délimités par ces deux seuils.
Déterminer le point où la fonction maximale change entre B et A.
À \(x=7\), classer exactement A(7), B(7), C(7) de la plus petite à la plus grande.

Trois fonctions affines sur l’intervalle [0 ; 12].

Indice

Résoudre deux équations du premier degré.
Tester une valeur dans chaque zone [0 ; 4], [4 ; 8], [8 ; 12].
Résoudre A=B.
Calculer les trois images.

Solution / explication détaillée

1) \(3x+6=x+14\iff2x=8\iff x=4\), point \((4\,;\,18)\). Et \(x+14=-x+30\iff2x=16\iff x=8\), point \((8\,;\,22)\).

2) Sur \([0\,;\,4]\), A est minimale. Sur \([4\,;\,8]\), C est minimale. Sur \([8\,;\,12]\), B est minimale, avec égalités aux seuils 4 et 8. Donc \(\boxed{\min(A,B,C)=A,C,B\text{ successivement}}\).

3) \(A=B\iff3x+6=-x+30\iff4x=24\iff\boxed{x=6}\). Pour \(x<6\), B est au-dessus de A ; pour \(x>6\), A est au-dessus de B. C n’est jamais maximale sur l’intervalle.

4) \(A(7)=27\), \(B(7)=23\), \(C(7)=21\). Ainsi \(\boxed{C(7)<B(7)<A(7)}\).

Exercice 30 — Bilan final — paramètre, concurrence et ordre de trois fonctions

2ndeTrès difficile ***

On pose \(f(x)=2x+5\) et \(g(x)=-x+1\). Calculer leur point d’intersection I.
On considère la famille \(d_m:y=mx+2\). Déterminer m pour que \(d_m\) passe par I.
Pour cette valeur de m, résoudre simultanément \(d_m(x)\ge g(x)\) et \(f(x)\ge d_m(x)\).
En déduire l’ordre des trois fonctions de part et d’autre de l’abscisse de I.

Les trois droites sont concourantes au point I pour la valeur de m déterminée.

Indice

Égaliser f et g.
Remplacer les coordonnées de I dans y=mx+2.
Résoudre les deux inéquations et intersecter les solutions.
Étudier les signes des différences f-d et d-g.

Solution / explication détaillée

1) \(2x+5=-x+1\iff3x=-4\), donc \(x=-\dfrac43\). Puis \(y=2\left(-\dfrac43\right)+5=\dfrac73\). Ainsi \(\boxed{I\left(-\dfrac43\,;\,\dfrac73\right)}\).

2) Il faut \(\dfrac73=m\left(-\dfrac43\right)+2\). Donc \(\dfrac13=-\dfrac43m\), d’où \(\boxed{m=-\dfrac14}\).

3) Avec \(d(x)=-\dfrac14x+2\), \(d\ge g\iff-\dfrac14x+2\ge-x+1\iff\dfrac34x\ge-1\iff x\ge-\dfrac43\). De même, \(f\ge d\iff2x+5\ge-\dfrac14x+2\iff\dfrac94x\ge-3\iff x\ge-\dfrac43\). L’intersection est \(\boxed{[-\dfrac43\,;\,+\infty[}\).

4) Pour \(x>-\dfrac43\), on a \(\boxed{f(x)>d(x)>g(x)}\). Pour \(x<-\dfrac43\), les signes s’inversent : \(\boxed{f(x)<d(x)<g(x)}\). Au point I, les trois valeurs sont égales.

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✏️ Exercices — Fonctions affines, droites & systèmes

Exercice 1 — Fonction affine déterminée par deux images — seuil et signe

Exercice 2 — Droite par deux points — forme réduite, cartésienne et vecteur directeur

Exercice 3 — Parallélisme avec paramètre — puis intersection exacte

Exercice 4 — Alignement avec paramètre — équation de droite

Exercice 5 — Intersection de droites cartésiennes — droite parallèle issue du point trouvé

Exercice 6 — Systèmes — distinguer solution unique, aucune solution et infinité

Exercice 7 — Système avec paramètre — coordonnées de l’intersection

Exercice 8 — Position relative de deux fonctions affines — équations et inéquations

Exercice 9 — Signe et variation d’une fonction affine — contrainte double

Exercice 10 — Lecture graphique et résolution algébrique — deux droites

Exercice 11 — Trois offres affines — seuils et choix optimal entier

Exercice 12 — Mélange de concentrations — système puis formule paramétrée

Exercice 13 — Triangle en géométrie repérée — côtés et médianes

Exercice 14 — Point et vecteur directeur — passer aux deux formes d’équation

Exercice 15 — Algorithme de reconstruction d’une droite — calcul exact

Exercice 16 — Composition d’une fonction affine — identification par coefficients

Exercice 17 — Droite paramétrée enfermée entre deux droites sur un intervalle

Exercice 18 — Concours de trois droites — paramètre de concurrence

Exercice 19 — Système symétrique avec paramètre — perte d’unicité

Exercice 20 — Parallélogramme en coordonnées — diagonales et système

Exercice 21 — Enveloppe inférieure de trois fonctions affines — choix optimal

Exercice 22 — Reconstruction depuis un graphique — équations, intersection et comparaison

Exercice 23 — Fonction affine involutive — composition et point fixe

Exercice 24 — Intersection dépendant d’un paramètre — premier quadrant

Exercice 25 — Mouvements affines — instant de rencontre et fenêtre de proximité

Exercice 26 — Droite par intersection et parallélisme — synthèse cartésienne

Exercice 27 — Deux fonctions affines liées par leur zéro — comparaison globale

Exercice 28 — Triangle formé par trois droites — intersections exactes et aire

Exercice 29 — Minimum et maximum de trois fonctions affines — changements de régime

Exercice 30 — Bilan final — paramètre, concurrence et ordre de trois fonctions

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