Exercices corrigés — Fonctions Affines, Droites Et Systèmes (2nde)

(a) \(f(x)=-3x\) est de la forme \(ax\) avec \(a=-3\). Donc linéaire. Coefficient directeur : \(a=-3\). Ordonnée à l’origine : \(b=0\) (car \(f(0)=0\)).

(b) \(g(x)=\frac12x-7\) est de la forme \(ax+b\). Donc affine. \(a=\frac12\), \(b=-7\).

(c) \(h(x)=4-2x\). On remet dans l’ordre : \(h(x)=-2x+4\). Donc affine avec \(a=-2\), \(b=4\).

(d) \(p(x)=\frac{3-6x}{2}=\frac{3}{2}-3x\), donc \(p(x)=-3x+\frac{3}{2}\). C’est affine avec \(a=-3\), \(b=\frac{3}{2}\).

Réponses : (a) linéaire \(a=-3\), \(b=0\) ; (b) affine \(a=\frac12\), \(b=-7\) ; (c) affine \(a=-2\), \(b=4\) ; (d) affine \(a=-3\), \(b=\frac{3}{2}\).

(a) \(a=\dfrac{-1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-6}{6}=-1\). Donc \((AB)\) est une droite non verticale de pente \(-1\).

(b) \(x_B-x_A=3-3=0\) : la formule est impossible. La droite est verticale. Son équation est \(\boxed{x=3}\).

(c) \(a=\dfrac{\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}{5-1}=\dfrac{\frac{8}{2}}{4}=\dfrac{4}{4}=1\). Donc pente \(1\).

(d) Pente : \[ a=\frac{0-(-3)}{2-(-4)}=\frac{3}{6}=\frac12. \] Équation \(y=\frac12x+b\). Avec le point \(B(2;0)\) : \(0=\frac12\cdot2+b\Rightarrow 0=1+b\Rightarrow b=-1\). Donc \(\boxed{y=\frac12x-1}\).

Réponses : (a) \(-1\) ; (b) verticale \(x=3\) ; (c) \(1\) ; (d) \(a=\frac12\), \(y=\frac12x-1\).

(a) \(a=\dfrac{7-(-1)}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2\). Donc \(y=2x+b\). Avec \(A(2;-1)\) : \(-1=2\cdot2+b\Rightarrow -1=4+b\Rightarrow b=-5\). Ainsi \(\boxed{y=2x-5}\).
Vérif \(C(1;-3)\) : si \(x=1\), \(y=2\cdot1-5=-3\) donc oui, \(C\in(AB)\).

(b) \(a=\dfrac{1-5}{1-(-3)}=\dfrac{-4}{4}=-1\). \(y=-x+b\). Avec \(B(1;1)\) : \(1=-1+b\Rightarrow b=2\). \(\boxed{y=-x+2}\). Intersection avec l’axe des ordonnées : \(x=0\Rightarrow y=2\), donc point \((0;2)\).

(c) \(a=\dfrac{\frac12-\frac32}{4-0}=\dfrac{-1}{4}=-\frac14\). Comme \(A(0;\frac32)\), on lit directement \(b=\frac32\). \(\boxed{y=-\frac14x+\frac32}\).

(d) \(a=\dfrac{\frac13-\frac73}{4-(-2)}=\dfrac{-\frac{6}{3}}{6}=\dfrac{-2}{6}=-\frac13\). Donc \(y=-\frac13x+b\). Avec \(A(-2;\frac73)\) : \[ \frac73 = -\frac13\cdot(-2)+b = \frac{2}{3}+b \Rightarrow b=\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=\frac{5}{3}. \] Ainsi \(\boxed{y=-\frac13x+\frac53}\) (irréductible).

Réponses : (a) \(y=2x-5\), \(C\in(AB)\) ; (b) \(y=-x+2\), intersection \((0;2)\) ; (c) \(y=-\frac14x+\frac32\) ; (d) \(y=-\frac13x+\frac53\).

(a) Pentes : \(a_1=k-2\), \(a_2=-4\). Parallèles \(\iff k-2=-4\Rightarrow k=-2\). Confondues ? Si \(k=-2\), alors \(d_1: y=-4x+3\) et \(d_2: y=-4x+1\) : mêmes pentes mais \(b\) différents → parallèles distinctes.

(b) \(2x-ky+6=0\Rightarrow -ky=-2x-6\Rightarrow y=\frac{2}{k}x+\frac{6}{k}\) (si \(k\ne 0\)). Pente \(a_1=\frac{2}{k}\). On veut \(\frac{2}{k}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=6\). Si \(k=6\), alors \(d_1: y=\frac13x+1\) et \(d_2: y=\frac13x-5\) : pas confondues.

(c) \(4x-8y+7=0\Rightarrow -8y=-4x-7\Rightarrow y=\frac12x+\frac{7}{8}\). Pente \(a_2=\frac12\). Parallèles : \(\frac{k}{2}=\frac12\Rightarrow k=1\). Confondues ? avec \(k=1\), \(d_1: y=\frac12x-1\) et \(d_2: y=\frac12x+\frac{7}{8}\) → non.

(d) \(d_1:(k+1)x-2y+4=0\Rightarrow y=\frac{k+1}{2}x+2\). \(d_2:3x-6y-12=0\Rightarrow -6y=-3x+12\Rightarrow y=\frac12x-2\). Pentes égales : \(\frac{k+1}{2}=\frac12\Rightarrow k+1=1\Rightarrow k=0\). Avec \(k=0\), \(d_1: y=\frac12x+2\) alors que \(d_2: y=\frac12x-2\) → parallèles distinctes.

Réponses : (a) \(k=-2\) ; (b) \(k=6\) ; (c) \(k=1\) ; (d) \(k=0\). Aucune paire confondue.

(a) Égaliser : \(3x-2=-x+10\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3\). Puis \(y=3\cdot3-2=7\). Donc \(\boxed{(3;7)}\).

(b) De \(x+y=5\Rightarrow y=5-x\). Remplacer : \[ 2x-3(5-x)=6 \Rightarrow 2x-15+3x=6 \Rightarrow 5x=21 \Rightarrow x=\frac{21}{5}. \] Alors \(y=5-\frac{21}{5}=\frac{25}{5}-\frac{21}{5}=\frac{4}{5}\). Intersection \(\boxed{\left(\frac{21}{5};\frac{4}{5}\right)}\).

(c) Remplacer \(y\) dans \(3x+2y=19\) : \[ 3x+2\left(\frac{2}{3}x+1\right)=19 \Rightarrow 3x+\frac{4}{3}x+2=19 \Rightarrow \frac{13}{3}x=17 \Rightarrow x=\frac{51}{13}. \] Puis \(y=\frac{2}{3}\cdot\frac{51}{13}+1=\frac{34}{13}+1=\frac{47}{13}\). Donc \(\boxed{\left(\frac{51}{13};\frac{47}{13}\right)}\).

(d) Remplacer \(y=\frac12x-3\) dans \(4x-8y+1=0\) : \[ 4x-8\left(\frac12x-3\right)+1=0 \Rightarrow 4x-4x+24+1=0 \Rightarrow 25=0, \] impossible. Donc aucune solution : les droites sont parallèles distinctes. (On peut aussi voir : \(4x-8y+1=0\Rightarrow y=\frac12x+\frac18\), même pente \(\frac12\), ordonnées différentes.)

Réponses : (a) \((3;7)\) ; (b) \((\frac{21}{5};\frac{4}{5})\) ; (c) \((\frac{51}{13};\frac{47}{13})\) ; (d) aucune intersection.

(a) Égaliser : \(2x+3=-x+9\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2\). Puis \(y=2\cdot2+3=7\). Une seule solution : \(\boxed{(2;7)}\).

(b) La 1ère équation \(2x-4y=6\) est exactement le double de \(x-2y=3\). Donc les deux droites sont confondues : infinité de solutions. Ensemble solution : tous les \((x;y)\) vérifiant \(x-2y=3\).

(c) Multiplier la 1ère par 2 : \(6x+4y=20\) mais la 2ème donne \(6x+4y=25\). Contradiction → aucune solution (droites parallèles distinctes).

(d) De \(y=\frac13x-2\), on a \(9y=3x-18\Rightarrow 3x-9y=18\), c’est exactement la 2ème équation. Donc confondues → ∞ solutions : tous les points de la droite \(y=\frac13x-2\).

Réponses : (a) \((2;7)\) ; (b) ∞ ; (c) 0 ; (d) ∞.

(a) Égaliser : \[ (m-1)x+2=2x+m \Rightarrow (m-1-2)x = m-2 \Rightarrow (m-3)x=m-2. \] Si \(m\ne 3\), alors \[ x=\frac{m-2}{m-3}. \] Puis \(y=2x+m=2\cdot\frac{m-2}{m-3}+m =\frac{2(m-2)}{m-3}+\frac{m(m-3)}{m-3} =\frac{2m-4+m^2-3m}{m-3} =\frac{m^2-m-4}{m-3}. \] Donc solution unique (pour \(m\ne 3\)) : \[ \boxed{\left(\frac{m-2}{m-3}\;\Bigg;\;\frac{m^2-m-4}{m-3}\right)}. \]

(b) Aucune solution quand les droites sont parallèles distinctes : pentes égales \(\Rightarrow m-1=2\Rightarrow m=3\). Si \(m=3\), les droites sont : \(y=2x+2\) et \(y=2x+3\) → parallèles distinctes → 0 solution.

(c) Infinité de solutions si elles sont confondues : il faudrait \(m=3\) (mêmes pentes) et mêmes ordonnées à l’origine. Or pour \(m=3\), on a \(b_1=2\) et \(b_2=m=3\), différents → impossible. Donc aucune valeur de \(m\) ne donne ∞ solutions.

(d) Interprétation :

• Si \(m\ne 3\) : pentes différentes → droites sécantes → 1 solution.
• Si \(m=3\) : pentes égales mais ordonnées différentes → parallèles → 0 solution.
• Jamais confondues → jamais ∞ solutions.

Réponses : (a) solution ci-dessus pour \(m\ne 3\) ; (b) \(m=3\) ; (c) aucune ; (d) sécantes / parallèles.

(a) Multiplions la 1ère par 2 : \(10x-4y=2\). Ajouter à la 2ème : \[ (10x-4y)+(3x+4y)=2+31 \Rightarrow 13x=33 \Rightarrow x=\frac{33}{13}. \] Puis dans \(5x-2y=1\) : \[ 5\cdot\frac{33}{13}-2y=1 \Rightarrow \frac{165}{13}-2y=\frac{13}{13} \Rightarrow -2y=\frac{-152}{13}\Rightarrow y=\frac{76}{13}. \] Vérif dans \(3x+4y\) : \(3\cdot\frac{33}{13}+4\cdot\frac{76}{13}=\frac{99+304}{13}=\frac{403}{13}=31\) OK. Donc \(\boxed{\left(\frac{33}{13};\frac{76}{13}\right)}\).

(b) Addition directe (éliminer \(y\)) : \[ (2x+3y)+(4x-3y)=7+5\Rightarrow 6x=12\Rightarrow x=2. \] Puis \(2\cdot2+3y=7\Rightarrow 4+3y=7\Rightarrow y=1\). \(\boxed{(2;1)}\).

(c) Multiplier la 1ère par 6 : \[ 3x-2y=6. \] On a aussi \(x+2y=0\). Addition : \[ (3x-2y)+(x+2y)=6+0\Rightarrow 4x=6\Rightarrow x=\frac{3}{2}. \] Puis \(\frac{3}{2}+2y=0\Rightarrow 2y=-\frac{3}{2}\Rightarrow y=-\frac{3}{4}\). Vérif dans \(\frac12x-\frac13y\) : \[ \frac12\cdot\frac32-\frac13\cdot\left(-\frac34\right)=\frac34+\frac14=1 \] OK. Donc \(\boxed{\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4}\right)}\).

(d) La 2ème équation est exactement le double de la 1ère : \(14x-10y=2(7x-5y)=2\cdot9=18\). Donc droites confondues → ∞ solutions (tous les points vérifiant \(7x-5y=9\)).

Réponses : (a) \((\frac{33}{13};\frac{76}{13})\) ; (b) \((2;1)\) ; (c) \((\frac{3}{2};-\frac{3}{4})\) ; (d) ∞ solutions.

(a) Point-pente avec \(A(5;-4)\) et \(a=-\frac{3}{2}\) : \[ y-(-4)=-\frac{3}{2}(x-5) \Rightarrow y+4=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2} \Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}-4=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}. \] Donc \(\boxed{y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}}\).

(b) Les points \((8;0)\) et \((0;6)\). Pente : \[ a=\frac{0-6}{8-0}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}. \] Ordonnée à l’origine : \(b=6\) (car \(x=0\Rightarrow y=6\)). Donc \(\boxed{y=-\frac{3}{4}x+6}\).

(c) Parallèle à \(y=\frac14x-3\) donc \(a=\frac14\). Avec \(B(-8;1)\) : \(y=\frac14x+b\), donc \[ 1=\frac14\cdot(-8)+b=-2+b \Rightarrow b=3. \] \(\boxed{y=\frac14x+3}\).

(d) Tester \(P(4;0)\) :

• Sur (a) : \(y=-\frac32\cdot4+\frac72=-6+\frac72=-\frac52\neq 0\) → non.
• Sur (b) : \(y=-\frac34\cdot4+6=-3+6=3\neq 0\) → non.
• Sur (c) : \(y=\frac14\cdot4+3=1+3=4\neq 0\) → non.

Réponses : (a) \(y=-\frac32x+\frac72\) ; (b) \(y=-\frac34x+6\) ; (c) \(y=\frac14x+3\) ; (d) \(P\) n’appartient à aucune des 3 droites.

(a) Pente de \(d_1\) : \[ a_1=\frac{2-(-1)}{6-0}=\frac{3}{6}=\frac12. \] Comme \(A(0;-1)\), on a directement \(b=-1\). Donc \(\boxed{d_1: y=\frac12x-1}\).

(b) \(3x+2y=18\Rightarrow 2y=18-3x\Rightarrow y=9-\frac{3}{2}x\). Donc \(\boxed{d_2: y=-\frac{3}{2}x+9}\) et pente \(a_2=-\frac{3}{2}\).

(c) Remplacer \(y=\frac12x-1\) dans \(3x+2y=18\) : \[ 3x+2\left(\frac12x-1\right)=18 \Rightarrow 3x+x-2=18 \Rightarrow 4x=20 \Rightarrow x=5. \] Puis \(y=\frac12\cdot5-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}\). Intersection \(\boxed{\left(5;\frac{3}{2}\right)}\).

(d) \(a_1=\frac12\) et \(a_2=-\frac{3}{2}\) sont différents. Donc les droites sont sécantes (une seule intersection). Elles ne peuvent être ni parallèles, ni confondues.

Réponses : (a) \(y=\frac12x-1\) ; (b) \(y=-\frac32x+9\) ; (c) \((5;\frac{3}{2})\) ; (d) sécantes (pentes différentes).