1. Fractions et simplifications avancées
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). En Seconde, on doit être capable de simplifier rapidement des fractions, y compris dans des calculs plus longs.
Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
\( \dfrac{84}{126} \). On a \(\text{PGCD}(84,126) = 42\). Donc \[ \frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}. \]
Attention également au signe de la fraction : \[ \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} = \frac{a}{-b}. \] En général, on place le signe « \(-\) » devant la fraction.
2. Calculs avec plusieurs fractions
2.1. Somme et différence
Pour additionner ou soustraire plusieurs fractions, on se ramène à un même dénominateur (souvent le plus petit possible). Ensuite, on additionne (ou soustrait) les numérateurs.
2.2. Produit et quotient
Pour le produit de deux fractions : \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. \] On simplifie souvent avant de multiplier pour rendre les nombres plus petits.
Pour le quotient : \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}. \]
Dans un calcul plus long, on respecte toujours l’ordre des opérations (parenthèses, puissances, produits/quotients, puis sommes/différences).
3. Puissances entières
Pour un réel \(a\) et un entier relatif \(n\), on définit la puissance \(a^n\) :
- \(a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{fois}}\) si \(n \ge 1\) ;
- \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\)) ;
- \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(n \ge 1\).
3.1. Règles de calcul sur les puissances
Pour tout réel \(a\) non nul et pour tous entiers relatifs \(m,n\) :
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ;
- \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (si \(a \neq 0\)) ;
- \((a^m)^n = a^{mn}\).
4. Puissances de 10 et écriture scientifique
Les puissances de 10 permettent d’écrire des nombres très grands ou très petits.
- \(10^3 = 1000\), \(10^6 = 1\,000\,000\), etc.
- \(10^{-1} = \dfrac{1}{10}\), \(10^{-2} = \dfrac{1}{100}\), etc.
L’écriture scientifique d’un nombre non nul est de la forme \[ a \times 10^n \] avec \(1 \le a < 10\) et \(n \in \mathbb{Z}\).
Lorsqu’on multiplie ou divise des nombres en écriture scientifique, on :
- multiplie (ou divise) les coefficients \(a\) ;
- ajoute (ou soustrait) les exposants des puissances de 10 ;
- réajuste éventuellement le coefficient pour qu’il soit entre 1 et 10.
5. Racines carrées et simplifications
Pour un réel \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \[ (\sqrt{a})^2 = a. \]
On utilise souvent les propriétés suivantes (pour \(a,b \ge 0\), \(b>0\)) :
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\) ;
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
On sait également simplifier des expressions avec racines : \[ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3. \]
6. Stratégies de calcul et ordre de grandeur
En Seconde, il est important d’anticiper le résultat d’un calcul et de vérifier sa cohérence par un ordre de grandeur.
- Avant de lancer un calcul compliqué, repérer les simplifications possibles (fractions, puissances, racines…).
- Vérifier que le résultat final est raisonnable (pas 1 milliard si on additionne de petits nombres !).
- En sciences, exprimer les résultats en écriture scientifique pour comparer plus facilement des ordres de grandeur.