Fiche de révision — Calculs numériques (2nde)
Fractions, puissances (entiers positifs et négatifs), racines carrées, puissances de 10 et écriture scientifique.
1. Fractions
- Un nombre rationnel s’écrit \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).
- Simplifier une fraction = diviser numérateur et dénominateur par le PGCD des deux.
- Le signe est, de préférence, placé devant la fraction : \(\dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{-b}\).
-
Opérations :
- Somme/différence : se ramener à un dénominateur commun.
- Produit : \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\).
- Quotient : \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\).
2. Puissances entières
- \(a^n = \underbrace{a\times a\times\dots\times a}_{n\ \text{fois}}\) pour \(n\ge 1\).
- \(a^0 = 1\) pour tout \(a\neq 0\).
- \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(n\ge 1\).
-
Règles de calcul :
- \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
- \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (si \(a\neq 0\)).
- \((a^m)^n = a^{mn}\).
3. Puissances de 10 et écriture scientifique
- \(10^n\) = 1 suivi de \(n\) zéros (si \(n>0\)).
- \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\) (nombres décimaux très petits).
- Écriture scientifique : \[ x = a\times 10^n,\quad 1\le a<10,\ n\in\mathbb{Z}. \]
- Pour multiplier/diviser des écritures scientifiques, on utilise les règles sur les puissances de 10 et on ajuste le coefficient \(a\) si nécessaire.
4. Racines carrées et simplification
- Pour \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif tel que \((\sqrt{a})^2 = a\).
- Propriétés (pour \(a,b\ge 0\), \(b>0\)) :
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\).
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
- Pour simplifier \(\sqrt{n}\), on cherche des facteurs carrés parfaits : \[ n = k^2 \times m \quad\Rightarrow\quad \sqrt{n} = k\sqrt{m}. \]
- On sait aussi manipuler des expressions comme \((2\sqrt{5})(3\sqrt{5}) = 6\times5 = 30\).
5. Méthodes indispensables en 2nde
- Avant le calcul : repérer les simplifications possibles (PGCD dans une fraction, puissances de même base, racines carrées simples…).
- Pendant le calcul : respecter l’ordre des opérations, bien gérer les signes et les parenthèses.
- Après le calcul : vérifier l’ordre de grandeur du résultat (est-ce cohérent avec les données ?), éventuellement à l’aide d’une écriture scientifique.
-
En contrôle ou au Bac, on attend :
- des résultats simplifiés (fraction irréductible, racine simplifiée) ;
- des étapes de calcul claires et justifiées ;
- une bonne maîtrise de la calculatrice mais aussi du calcul à la main.