Fiche — Calcul littéral (Seconde)
Réduire • Développer • Factoriser • Identités remarquables • Transformations.
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Méthode (ultra fiable) : transformer une expression
Objectif : aller vite sans faute (signes, parenthèses, réduction).
| Étape | Ce qu’on fait | À vérifier |
|---|---|---|
| 1. Lire | Repérer “+ / −”, parenthèses, produits, fractions. | Y a-t-il un “−” devant une parenthèse ? |
| 2. Déplier | Si besoin : enlever les parenthèses (gestion des signes). | \(-(A+B)=-A-B\), \(-(A-B)=-A+B\). |
| 3. Développer | Distribuer : \(a(b+c)\), puis \((a+b)(c+d)\). | Chaque terme de la 2ᵉ parenthèse est bien multiplié ? |
| 4. Réduire | Regrouper les termes semblables et additionner les coefficients. | Même lettres + mêmes puissances = “semblables”. |
| 5. Factoriser | Mettre en produit (facteur commun / identité remarquable). | Tester en redéveloppant mentalement. |
Piège n°1 : le signe “−” devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur.
Piège n°2 : après un développement, on doit presque toujours réduire.
Piège n°2 : après un développement, on doit presque toujours réduire.
Mini-exemple (copie modèle) : \(E=3x-2(4-x)+5\)
\[
E=3x-2(4-x)+5
=3x-(8-2x)+5
=3x-8+2x+5
=5x-3
\]
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Réduire : regrouper les termes semblables
Règle
On peut additionner / soustraire seulement des termes semblables :
- \(ax^2+bx^2=(a+b)x^2\)
- \(ax+bx=(a+b)x\)
- \(3x\) et \(3x^2\) ne sont pas semblables.
Enlever une parenthèse
- \(+ (A-B)=A-B\) (rien ne change)
- \(-(A-B)=-A+B\)
- \(-(A+B)=-A-B\)
Exemple — Réduire \(F=2x^2-3x+5-7x^2+4x-1\)
\[
F=(2x^2-7x^2)+(-3x+4x)+(5-1)=-5x^2+x+4
\]
Astuce : entoure mentalement les “familles” : \(x^2\), puis \(x\), puis constantes.
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Développer : distributivité
Distributivité (à savoir)
\[
a(b+c)=ab+ac
\qquad
a(b-c)=ab-ac
\]
\[
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
\]
Méthode anti-erreur
- Écris le produit “ligne par ligne” : multiplie le 1ᵉʳ terme par toute la 2ᵉ parenthèse.
- Fais pareil avec le 2ᵉ terme.
- Additionne puis réduis.
Exemple — Développer \((x-3)(x+5)\)
\[
(x-3)(x+5)=x(x+5)-3(x+5)=x^2+5x-3x-15=x^2+2x-15
\]
Exemple — Développer \(2(3x-5)-4(x+1)\)
\[
2(3x-5)-4(x+1)=(6x-10)-(4x+4)=2x-14
\]
Piège : \((x+3)(x+5)\neq x^2+8\). Il faut les 4 produits (dont \(3\times5\)).
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Factoriser : facteur commun & regroupement
Facteur commun
On “sort” ce qui est commun :
\[
ab+ac=a(b+c)
\qquad
ab-ac=a(b-c)
\]
Exemple — Factoriser \(12x^2-18x\)
\[
12x^2-18x=6x(2x-3)
\]
Regroupement (par paquets)
On crée un facteur commun en regroupant :
\[
ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
\]
Exemple — Factoriser \(x(2x-5)+3(2x-5)\)
\[
x(2x-5)+3(2x-5)=(2x-5)(x+3)
\]
Réflexe : si “tout est négatif”, sortir \(-1\) peut rendre la parenthèse plus simple.
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Identités remarquables (Seconde)
| Forme | Développement | Pour factoriser |
|---|---|---|
| \((a+b)^2\) | \(a^2+2ab+b^2\) | \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) |
| \((a-b)^2\) | \(a^2-2ab+b^2\) | \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) |
| \((a-b)(a+b)\) | \(a^2-b^2\) | \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) |
Exemple — Développer \((2x-3)^2\)
\[
(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9
\]
Exemple — Factoriser \(x^2+6x+9\)
On reconnaît \(a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\), \(b=3\).
\[
x^2+6x+9=(x+3)^2
\]
Anti-piège : \((a+b)^2\) a 3 termes (il y a forcément \(2ab\)).
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Transformations d’expressions (choisir la bonne forme)
Forme développée vs forme factorisée
- Forme développée : pratique pour calculer et réduire.
- Forme factorisée : pratique pour résoudre (équations) et étudier un signe.
\[
x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)
\]
“Mettre sous la forme …” (méthode)
- Repérer ce qu’on veut obtenir (produit ? somme ? carré ? différence de carrés ?).
- Utiliser distributivité / facteur commun / identité remarquable.
- Vérifier en redéveloppant.
Exemple — Mettre en évidence \(x+2\) dans \(x(x+2)-5(x+2)\)
\[
x(x+2)-5(x+2)=(x+2)(x-5)
\]
Exemple — Transformer \(x^2-4x+4\)
On reconnaît un carré : \(a^2-2ab+b^2\) avec \(a=x\), \(b=2\).
\[
x^2-4x+4=(x-2)^2
\]
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Formulaire (Seconde) — à apprendre
Distributivité
\[
a(b+c)=ab+ac
\qquad
a(b-c)=ab-ac
\]
\[
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
\]
Identités remarquables
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\]
\[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]
\[
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
\]
Signe devant parenthèses
\[
+(A\pm B)=A\pm B
\qquad
-(A+B)=-A-B
\qquad
-(A-B)=-A+B
\]
Puissances (rappels utiles)
\[
x^m\cdot x^n=x^{m+n}
\qquad
\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\ (x\neq0)
\qquad
(x^m)^n=x^{mn}
\]
Attention : \((x+y)^2\neq x^2+y^2\).
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Checklist (10 secondes) : “zéro faute”
- J’ai traité les signes : un “−” devant une parenthèse ⇒ je change tous les signes ✅
- J’ai développé en multipliant chaque terme (pas d’oubli) ✅
- J’ai réduit : j’ai regroupé les termes semblables ✅
- Si je factorise : j’ai sorti un facteur commun / reconnu une identité ✅
- Je vérifie en redéveloppant mentalement (contrôle rapide) ✅
Conseil Bac (même en Seconde) : écris une ligne par transformation et garde l’égalité à chaque ligne.
Ça évite 90% des erreurs.