À connaître (réflexes)
- Distribuer : \(a(b+c)=ab+ac\)
- Mettre en facteur : \(ab+ac=a(b+c)\)
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
- Priorité : puissance → ×/÷ → +/−
Pièges fréquents
- \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) (il manque \(2ab\)).
- \(-(a-b)= -a+b\) (le “−” change tout à l’intérieur).
- \((x+3)(x+5)\neq x^2+8\) : il faut développer correctement.
- \(\frac{a+b}{a}\neq 1+\frac{b}{a}\) seulement si \(a\neq 0\) (condition).
1) Réduire une expression
Méthode
- Supprimer les parenthèses si possible (en gérant les signes).
- Regrouper les termes semblables.
- Ajouter les coefficients.
Gérer un “−” devant une parenthèse
\[
-(A+B)= -A-B
\]
\[
-(A-B)= -A+B
\]
🧠 Exemple — Réduire \(E=3x-2(4-x)+5\)
\[
E=3x-2(4-x)+5
=3x-(8-2x)+5\\
=3x-8+2x+5
=5x-3
\]
🧩 Exemple — Réduire \(F=2x^2-3x+5-7x^2+4x-1\)
\[
F=(2x^2-7x^2)+(-3x+4x)+(5-1)\\
=-5x^2+x+4
\]
2) Développer : distributivité
Distributivité simple
\[
a(b+c)=ab+ac
\]
\[
a(b-c)=ab-ac
\]
- On multiplie \(a\) par chaque terme de la parenthèse.
Double distributivité
\[
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
\]
- Méthode “FOIL” : 1er–extérieur–intérieur–dernier (sans oublier les signes).
✅ Exemple — Développer \(2(3x-5)-4(x+1)\)
\[
2(3x-5)-4(x+1)
=(6x-10)-(4x+4)\\
=6x-10-4x-4
=2x-14
\]
✅ Exemple — Développer \((x-3)(x+5)\)
\[
(x-3)(x+5)=x(x+5)-3(x+5)\\
=x^2+5x-3x-15
=x^2+2x-15
\]
Astuce anti-erreur (signes)
- Avant de développer, repère les signes : \((x-3)(x+5)\) contient un “−”.
- Après développement, réduis toujours (regroupe les \(x\)).
3) Factoriser : mettre en produit
Factorisation par facteur commun
\[
ab+ac=a(b+c)
\]
\[
ab-ac=a(b-c)
\]
- On “sort” le plus grand facteur commun (numérique + littéral).
Factoriser quand il y a un “−”
- Parfois, on sort \(-1\) pour simplifier :
\[
-2x+6=-2(x-3)=2(3-x)
\]
🧠 Exemple — Factoriser \(12x^2-18x\)
\[
12x^2-18x=6x(2x-3)
\]
- Facteur commun : \(6x\).
🧩 Exemple — Factoriser \(x(2x-5)+3(2x-5)\)
\[
x(2x-5)+3(2x-5)=(2x-5)(x+3)
\]
- Bloc commun : \((2x-5)\).
4) Identités remarquables (à savoir par cœur)
| Forme | Développement | Reconnaître / Usage |
|---|---|---|
| \((a+b)^2\) | \(a^2+2ab+b^2\) | Carré d’une somme → terme central \(2ab\). |
| \((a-b)^2\) | \(a^2-2ab+b^2\) | Carré d’une différence → “−” au milieu. |
| \((a-b)(a+b)\) | \(a^2-b^2\) | Différence de deux carrés (très utile pour factoriser). |
Exemple — Développer \((2x-3)^2\)
\[
(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot 3+3^2\\
=4x^2-12x+9
\]
Exemple — Développer \((x+5)(x-5)\)
\[
(x+5)(x-5)=x^2-25
\]
Anti-piège
- \((a+b)^2\) contient 3 termes.
- \((a-b)(a+b)\) contient 2 termes (le milieu disparaît).
5) Transformations d’expressions (réécritures utiles)
Changer la forme (somme ↔ produit)
- Développer : produit → somme.
- Factoriser : somme → produit.
- Choisir la forme adaptée à l’objectif.
\[
x^2-9=(x-3)(x+3)
\]
Mettre en évidence / regrouper
- Technique “par paquets” :
\[
ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
\]
- On cherche un facteur commun.
🧠 Exemple guidé — Factoriser \(x^2+6x+9\)
- On reconnaît : \(a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\), \(b=3\).
\[
x^2+6x+9=(x+3)^2
\]
🧩 Exemple guidé — Factoriser \(4x^2-12x+9\)
- On reconnaît \((2x-3)^2\).
\[
4x^2-12x+9=(2x-3)^2
\]
6) Exemples-types (à refaire)
Type A — Réduire vite
\[
5x-3(x-2)+4
=5x-(3x-6)+4\\
=5x-3x+6+4
=2x+10
\]
Type B — Développer (double distributivité)
\[
(2x+1)(x-4)=2x^2-8x+x-4\\
=2x^2-7x-4
\]
Type C — Factoriser (facteur commun)
\[
7x-14=7(x-2)
\]
Type D — Factoriser (identité remarquable)
\[
x^2-16=(x-4)(x+4)
\]
Checklist “zéro faute”
- Parenthèses + signes : un “−” devant une parenthèse change tout.
- Après développement : réduire.
- Après factorisation : vérifier en redéveloppant.
- Identités remarquables : repérer \(2ab\) ou \(a^2-b^2\).
Synthèse (1 minute)
3 actions
- Réduire : regrouper les termes semblables.
- Développer : utiliser la distributivité.
- Factoriser : mettre en évidence (facteur commun / identité).
Formules clés
- \(a(b+c)=ab+ac\)
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)