Exercices corrigés — Calcul littéral (2nde)

1) \(A=3x-2(5-x)-\big(4x-3(2-x)\big)\)

D’abord : \(-2(5-x)=-10+2x\).
Puis : \(3(2-x)=6-3x\) donc \(4x-3(2-x)=4x-(6-3x)=4x-6+3x=7x-6\).
Ainsi : \(-\big(4x-3(2-x)\big)=-(7x-6)=-7x+6\).
Donc : \[ A=3x+(-10+2x)+(-7x+6)=(3x+2x-7x)+(-10+6)=-2x-4. \]

2) \(B=-2(3x-4)+5(2-x)-(-x+7)\)

\(-2(3x-4)=-6x+8\).
\(5(2-x)=10-5x\).
\(-(-x+7)=x-7\).
Donc : \[ B=(-6x+8)+(10-5x)+(x-7)=(-6x-5x+x)+(8+10-7)=-10x+11. \]

3) \(C=4-(2x-(3-5x))-(7x-(2-3x))\)

D’abord : \(2x-(3-5x)=2x-3+5x=7x-3\) donc \(-(2x-(3-5x))=-(7x-3)=-7x+3\).
Ensuite : \(7x-(2-3x)=7x-2+3x=10x-2\) donc \(-(7x-(2-3x))=-(10x-2)=-10x+2\).
Alors : \[ C=4+(-7x+3)+(-10x+2)=-17x+9. \]

1) \((2x-5)(3x+4)\)

\[ (2x-5)(3x+4)=2x\cdot3x+2x\cdot4-5\cdot3x-5\cdot4 =6x^2+8x-15x-20=6x^2-7x-20. \]

2) \((x-7)(x+7)\)

Identité remarquable : \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=x\), \(b=7\).
\[ (x-7)(x+7)=x^2-49. \]

3) \((3-2x)(5+4x)\)

\[ (3-2x)(5+4x)=3\cdot5+3\cdot4x-2x\cdot5-2x\cdot4x =15+12x-10x-8x^2=-8x^2+2x+15. \]

4) \((2x+1)(x-6)-(x-6)(x+2)\)

On repère le facteur commun \((x-6)\) : \[ (2x+1)(x-6)-(x-6)(x+2)=(x-6)\big((2x+1)-(x+2)\big)=(x-6)(x-1). \] Si on développe : \((x-6)(x-1)=x^2-7x+6\).

1) \(6x^2-9x\)

Facteur commun : \(3x\).
\[ 6x^2-9x=3x(2x-3). \]

2) \(-8x+12\)

Facteur commun : \(4\). On peut sortir \(-4\) pour avoir \((2x-3)\) : \[ -8x+12=-4(2x-3). \]

3) \(15x^3-10x^2+5x\)

Facteur commun : \(5x\).
\[ 15x^3-10x^2+5x=5x(3x^2-2x+1). \] (Sur \(\mathbb{R}\), on pourrait factoriser avec les racines, mais pas “proprement” sur \(\mathbb{Z}\).)

4) \(4x(2x-3)-7(2x-3)\)

Bloc commun \((2x-3)\) : \[ 4x(2x-3)-7(2x-3)=(2x-3)(4x-7). \]

1) \((3x+5)^2\)

\[ (3x+5)^2=(3x)^2+2\cdot(3x)\cdot 5+5^2=9x^2+30x+25. \]

2) \((2x-7)^2\)

\[ (2x-7)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot7+7^2=4x^2-28x+49. \]

3) \((4-3x)^2\)

On peut voir \((4-3x)^2=(3x-4)^2\).
\[ (3x-4)^2=(3x)^2-2\cdot(3x)\cdot4+4^2=9x^2-24x+16. \]

4) \((5x-2)(5x+2)\)

Différence de deux carrés : \[ (5x-2)(5x+2)=(5x)^2-2^2=25x^2-4. \]

1) \(x^2+10x+25\)

\(10x=2\cdot x\cdot 5\) et \(25=5^2\), donc : \[ x^2+10x+25=(x+5)^2. \]

2) \(4x^2-12x+9\)

\(4x^2=(2x)^2\), \(9=3^2\) et \(-12x=-2\cdot(2x)\cdot3\), donc : \[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2. \]

3) \(9x^2-16\)

Différence de carrés : \((3x)^2-4^2\) : \[ 9x^2-16=(3x-4)(3x+4). \]

4) \(25x^2+20x+4\)

\(25x^2=(5x)^2\), \(4=2^2\), et \(20x=2\cdot(5x)\cdot 2\) : \[ 25x^2+20x+4=(5x+2)^2. \]

1) \(x^2-4x+3x-12\)

\[ x^2-4x+3x-12=x(x-4)+3(x-4)=(x-4)(x+3). \]

2) \(6x^2-9x+4x-6\)

\[ 6x^2-9x+4x-6=3x(2x-3)+2(2x-3)=(2x-3)(3x+2). \]

3) \(2x^2+8x+3x+12\)

\[ 2x^2+8x+3x+12=2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3). \]

4) \(5x^2-10x+3x-6\)

\[ 5x^2-10x+3x-6=5x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(5x+3). \]

1) \(\dfrac{6x^2-12x}{3x}\)

Condition : \(3x\neq 0\Rightarrow x\neq 0\).
Factoriser le numérateur : \(6x^2-12x=6x(x-2)\).
\[ \frac{6x(x-2)}{3x}=\frac{6}{3}\cdot\frac{x}{x}(x-2)=2(x-2), \] valable pour \(x\neq 0\).

2) \(\dfrac{(x-5)(x+2)}{x-5}\)

Condition : \(x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5\).
\[ \frac{(x-5)(x+2)}{x-5}=x+2 \quad (x\neq 5). \]

3) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\)

Condition : \(x\neq -3\).
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Donc : \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3 \quad (x\neq -3). \]

4) \(\dfrac{4x^2-12x+9}{2x-3}\)

Condition : \(2x-3\neq 0\Rightarrow x\neq \frac{3}{2}\).
Numérateur : \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Donc : \[ \frac{(2x-3)^2}{2x-3}=2x-3 \quad (x\neq \tfrac{3}{2}). \]

1) \(E=(x-2)(x+6)-(x^2-4)\)

\((x-2)(x+6)=x^2+4x-12\).
\[ E=(x^2+4x-12)-(x^2-4)=4x-8=4(x-2). \] Réponse : \(E=4(x-2)\).

2) \(F=(2x-3)^2-(x-1)(4x-6)\)

\((2x-3)^2=4x^2-12x+9\).
\((x-1)(4x-6)=4x^2-10x+6\).
\[ F=(4x^2-12x+9)-(4x^2-10x+6)=-2x+3=-(2x-3). \] Réponse : \(F=-(2x-3)\).

3) \(G=(x+4)^2-(x+4)(2x-1)\)

\[ G=(x+4)\big((x+4)-(2x-1)\big)=(x+4)(5-x). \] (Option : \(G=-(x+4)(x-5)\).)

1) \(x^2-9=0\)

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \] \[ (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3 \text{ ou } x=-3. \]

2) \(4x^2-12x+9=0\)

\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2. \] \[ (2x-3)^2=0\Rightarrow 2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}. \] Solution unique.

3) \((x-2)(3x+1)=0\)

\[ x-2=0\Rightarrow x=2 \quad\text{ou}\quad 3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13. \]

4) \(x^2+6x+9=0\)

\[ x^2+6x+9=(x+3)^2. \] \[ (x+3)^2=0\Rightarrow x=-3. \]

1) \((x-4)(x+1)\ge 0\)

Zéros : \(x=4\) et \(x=-1\). Le produit est positif à l’extérieur des racines.
\[ x\in]-\infty;-1]\cup[4;+\infty[. \]

2) \(x^2-9<0\)

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \] Négatif entre les racines : \[ x\in]-3;3[. \]

3) \((2x-3)^2\le 4\)

\[ (2x-3)^2\le 4 \iff |2x-3|\le 2 \iff -2\le 2x-3\le 2. \] \[ 1\le 2x\le 5 \Rightarrow \frac12\le x\le \frac52. \] Solution : \([\tfrac12;\tfrac52]\).

1) \(H=(x-3)(x+3)+6x\)

\((x-3)(x+3)=x^2-9\). Donc : \[ H=x^2-9+6x=x^2+6x-9. \] Sur \(\mathbb{Z}\) : pas de factorisation simple.
On peut écrire : \[ H=(x+3)^2-18. \] (Et sur \(\mathbb{R}\) : \(H=(x+3-3\sqrt2)(x+3+3\sqrt2)\).)

2) \(I=(2x-1)(x+4)-(x+4)\)

\[ I=(x+4)\big((2x-1)-1\big)=(x+4)(2x-2)=2(x+4)(x-1). \]

3) \(J=3x(x-2)-2(x-2)\)

\[ J=(x-2)(3x-2). \]

1) \(K=7-7x\)

\[ K=7(1-x)=-7(x-1). \]

2) \(L=x-2x^2\)

\[ L=x(1-2x)=-x(2x-1). \]

3) \(M=9x-6\)

\[ M=3(3x-2). \]

4) \(N=2x^2-8\)

\[ N=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2). \]

1) \(Q=(x+1)(x+5)-(x+1)(2x-3)\)

\[ Q=(x+1)\big((x+5)-(2x-3)\big)=(x+1)(8-x). \] (Donc \(Q=-(x+1)(x-8)\).)

2) \(R=(3x-2)^2-(3x-2)(x+4)\)

\[ R=(3x-2)\big((3x-2)-(x+4)\big)=(3x-2)(2x-6)=2(3x-2)(x-3). \]

1) \(S=x^2-14x+49\)

\[ S=(x-7)^2. \]

2) \(T=4x^2+12x+9\)

\[ T=(2x+3)^2. \]

3) \(U=9x^2+12x+4\)

\[ U=(3x+2)^2. \]

4) \(V=x^2+8x+12\)

Ce n’est pas un carré remarquable “simple” (identités). Donc pas un carré parfait dans ce cadre.

1) Aire

\[ \mathcal{A}(x)=(x+3)(2x-1)=2x^2+5x-3. \]

2) Forme factorisée

\[ \mathcal{A}(x)=(x+3)(2x-1). \]

3) \(\mathcal{A}(2)\)

\[ \mathcal{A}(2)=15. \]

1) Vrai pour tout \(x\) : \((x+2)(x-2)=x^2-4\).

2) \((x+3)^2=x^2+6x+9\). Donc égal à \(x^2+9\) seulement si \(6x=0\Rightarrow x=0\).

3) Vrai pour tout \(x\) : \((2x-1)(2x+1)=4x^2-1\).

Étape 0 — Conditions

\(x\neq 3\), \(x\neq \tfrac32\), \(x\neq -3\).
Donc \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-3;\tfrac32;3\}\).

Étape 1 — Simplifier

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,\quad \frac{(2x-3)^2}{2x-3}=2x-3,\quad \frac{x^2-9}{x+3}=x-3. \]

Étape 2 — Réduire

\[ Z=(x+3)-(2x-3)+(x-3)=3. \] Réponse : \(Z=3\) pour \(x\neq -3,\tfrac32,3\).

1) Factoriser

\[ Y=(x+5)\Big((x-2)-(x+5)+(2x-1)\Big)=(x+5)(2x-8)=2(x+5)(x-4). \]

2) Forme développée

\[ 2(x+5)(x-4)=2x^2+2x-40. \]

3) Résoudre \(Y=0\)

\[ 2(x+5)(x-4)=0 \Rightarrow x=-5 \text{ ou } x=4. \] Solutions : \(\{-5;4\}\).