Exercice 1 — Factorisations cachées — facteur opposé et facteur commun

2nde **

Factoriser complètement : \(A=2(x-2)(3x-4)+(7x-1)(2-x)\).
Mettre sous forme factorisée par \(x-2\) : \(B=3(x-2)(x^2+1)-(6x^2-5)(x-2)\).
Factoriser complètement : \(C=x^2-2x+1-7(x-1)+(3x+2)(1-x)\).
En déduire les solutions de \(C=0\).

Indice

Repérer que \(2-x=-(x-2)\) avant de développer.
Le facteur \(x-2\) est déjà présent dans les deux termes.
Reconnaître \((x-1)^2\) et remplacer \(1-x\) par \(-(x-1)\).

Solution / explication détaillée

1) Comme \(2-x=-(x-2)\), on obtient \(A=(x-2)[2(3x-4)-(7x-1)]\). Le crochet vaut \(-x-7\), donc \(A=-(x-2)(x+7)=(2-x)(x+7)\).

2) On met \(x-2\) en facteur : \(B=(x-2)[3(x^2+1)-(6x^2-5)]\). Ainsi \(B=(x-2)(8-3x^2)\).

3) On écrit \(x^2-2x+1=(x-1)^2\) et \(1-x=-(x-1)\). Alors \(C=(x-1)[(x-1)-7-(3x+2)]=-2(x-1)(x+5)\).

4) Le produit \(-2(x-1)(x+5)\) est nul si \(x=1\) ou \(x=-5\). Donc \(S=\{-5;1\}\).

Exercice 2 — Différences de carrés composées — factoriser sans développer

2nde **

Factoriser : \(A=4(3x-5)^2-(7-2x)^2\).
Factoriser complètement : \(B=(4x^2-3x-18)^2-(4x^2+3x)^2\).
Résoudre \(B=0\).
Factoriser puis résoudre \(4(x-3)^2-25=0\).

Indice

Écrire \(4(3x-5)^2=[2(3x-5)]^2\) et utiliser \(U^2-V^2\).
Pour \(B\), calculer séparément \(U-V\) et \(U+V\).
Une fois la factorisation obtenue, appliquer le produit nul.

Solution / explication détaillée

1) Avec \(U=2(3x-5)=6x-10\) et \(V=7-2x\), \(A=(U-V)(U+V)=(8x-17)(4x-3)\).

2) Ici \(U-V=-6x-18=-6(x+3)\) et \(U+V=8x^2-18=2(2x-3)(2x+3)\). Donc \(B=-12(x+3)(2x-3)(2x+3)\).

3) Le produit est nul pour \(x=-3\), \(2x-3=0\) ou \(2x+3=0\). Ainsi \(S=\left\{-3;-\dfrac32;\dfrac32\right\}\).

4) On a \([2(x-3)]^2-5^2=[2x-11][2x-1]\). Donc \(x=\dfrac{11}{2}\) ou \(x=\dfrac12\).

Exercice 3 — Identité remarquable cachée — reconnaître une structure

2nde **

Sans tout développer, montrer que \(E=4x^2+12x+9+(4x+6)(5x+7)+25x^2+70x+49\) est un carré parfait.
Donner la forme factorisée de \(E\), puis résoudre \(E=0\).
On pose \(H=(2x-3)^2+2(2x-3)(x+4)+(x+4)^2\). Factoriser \(H\).
Résoudre \(H=16\).

Indice

Chercher une forme \(U^2+2UV+V^2\).
Pour \(H=16\), utiliser l’égalité de deux carrés : \((3x+1)^2=4^2\).

Solution / explication détaillée

1) On reconnaît \((2x+3)^2+2(2x+3)(5x+7)+(5x+7)^2\), car \(4x+6=2(2x+3)\).

2) Donc \(E=[(2x+3)+(5x+7)]^2=(7x+10)^2\). Ainsi \(E=0\iff 7x+10=0\), donc \(x=-\dfrac{10}{7}\).

3) C’est encore \(U^2+2UV+V^2\) : \(H=[(2x-3)+(x+4)]^2=(3x+1)^2\).

4) \((3x+1)^2=16\iff 3x+1=4\) ou \(3x+1=-4\). Donc \(S=\left\{1;-\dfrac53\right\}\).

Exercice 4 — Regroupement — équation cubique factorisable

2nde **

Factoriser \(P=x^3+x^2-18x-18\) par regroupement.
Factoriser complètement sur \(\mathbb{R}\).
Résoudre \(P=0\).
Résoudre l’inéquation \(P\ge 0\).

Indice

Regrouper \(x^3+x^2\) puis \(-18x-18\).
Après \((x+1)(x^2-18)\), utiliser \(18=(3\sqrt2)^2\).
Pour le signe, ordonner \(-3\sqrt2<-1<3\sqrt2\).

Solution / explication détaillée

1) \(P=x^2(x+1)-18(x+1)=(x+1)(x^2-18)\).

2) Comme \(x^2-18=(x-3\sqrt2)(x+3\sqrt2)\), \(P=(x+1)(x-3\sqrt2)(x+3\sqrt2)\).

3) Le produit nul donne \(S=\{-3\sqrt2;-1;3\sqrt2\}\).

4) Le signe alterne aux trois racines simples et le coefficient dominant est positif. Ainsi \(P\ge0\) sur \([-3\sqrt2;-1]\cup[3\sqrt2;+\infty[\).

Exercice 5 — Deux expressions, un facteur commun — choisir la bonne forme

2nde **

On pose \(F(x)=(4x-14)(3x+1)+2x^2-7x\). Factoriser \(F\).
On pose \(G(x)=16x^2-(3x+2)^2\). Factoriser \(G\).
Résoudre \(F(x)+G(x)=0\).
Résoudre \(F(x)=G(x)\).

Indice

Pour \(F\), factoriser d’abord \(4x-14=2(2x-7)\) et \(2x^2-7x=x(2x-7)\).
Pour \(G\), utiliser une différence de carrés.
Les deux expressions possèdent le facteur \(7x+2\).

Solution / explication détaillée

1) \(F=(2x-7)[2(3x+1)+x]=(2x-7)(7x+2)\).

2) \(G=[4x-(3x+2)][4x+(3x+2)]=(x-2)(7x+2)\).

3) \(F+G=(7x+2)[(2x-7)+(x-2)]=3(7x+2)(x-3)\). Donc \(S=\left\{-\dfrac27;3\right\}\).

4) \(F-G=(7x+2)[(2x-7)-(x-2)]=(7x+2)(x-5)\). Donc \(S=\left\{-\dfrac27;5\right\}\).

Exercice 6 — Une expression, plusieurs formes — développer ou factoriser au bon moment

2nde **

On pose \(A=x^2-25-3(5-x)(x+1)+2(x-5)^2\). Développer et réduire \(A\).
Factoriser \(A\).
Résoudre \(A=0\) en choisissant la forme la plus adaptée.
Résoudre \(A=10\) en choisissant cette fois une autre forme adaptée.

Indice

Pour factoriser, chercher le facteur \(x-5\) dans l’expression initiale ou dans la forme réduite.
Pour \(A=10\), la forme développée est particulièrement efficace : les constantes disparaissent.

Solution / explication détaillée

1) Après développement, \(A=6x^2-32x+10\).

2) On vérifie \(6x^2-32x+10=2(3x^2-16x+5)=2(x-5)(3x-1)\).

3) La forme factorisée donne \(2(x-5)(3x-1)=0\), donc \(S=\left\{\dfrac13;5\right\}\).

4) Avec la forme développée, \(A=10\iff 6x^2-32x=0\iff 2x(3x-16)=0\). Donc \(S=\left\{0;\dfrac{16}{3}\right\}\).

Exercice 7 — Réductions à forte annulation — garder le contrôle des signes

2nde **

Factoriser \(C=4x^2-25-2(2x-5)^2\).
Résoudre \(C=0\).
Factoriser \(D=2(3-x)^2+(3x-9)(x+1)-9+x^2\).
Résoudre \(D=0\).

Indice

Pour \(C\), développer seulement ce qui est nécessaire, puis factoriser le trinôme obtenu.
Pour \(D\), utiliser \((3-x)^2=(x-3)^2\) et \(3x-9=3(x-3)\).

Solution / explication détaillée

1) \(C=4x^2-25-2(4x^2-20x+25)=-4x^2+40x-75=-(2x-5)(2x-15)\).

2) Donc \(C=0\iff 2x-5=0\) ou \(2x-15=0\), soit \(S=\left\{\dfrac52;\dfrac{15}{2}\right\}\).

3) Après réduction, \(D=6x^2-18x=6x(x-3)\).

4) Ainsi \(D=0\iff x=0\) ou \(x=3\), donc \(S=\{0;3\}\).

Exercice 8 — Équations factorisables — ne pas développer inutilement

2nde **

Résoudre \((2x-5)^2=(7x-3)(4x-10)\).
Résoudre \((2x+7)(3x-1)=8x^2-98\).
Résoudre \((2x-3)^2-(x+7)^2=(x-2)(x-10)\).

Indice

Dans 1), \(4x-10=2(2x-5)\).
Dans 2), factoriser \(8x^2-98=2(2x-7)(2x+7)\).
Dans 3), utiliser d’abord une différence de carrés.

Solution / explication détaillée

1) On ramène tout d’un côté : \((2x-5)[(2x-5)-2(7x-3)]=(2x-5)(1-12x)=0\). Donc \(S=\left\{\dfrac1{12};\dfrac52\right\}\).

2) Le membre droit vaut \(2(2x-7)(2x+7)\). Après factorisation par \(2x+7\), on obtient \((2x+7)(13-x)=0\). Donc \(S=\left\{-\dfrac72;13\right\}\).

3) Le membre gauche vaut \((x-10)(3x+4)\). On obtient \((x-10)[(3x+4)-(x-2)]=(x-10)(2x+6)=0\). Donc \(S=\{-3;10\}\).

Exercice 9 — Équations avec identités remarquables — conserver les facteurs

2nde **

Résoudre \(25x^2-9=(5x-3)(2x+1)\).
Résoudre \((4x-5)^2=4x^2\).
Résoudre \((x^2-9)(x+5)=(x^2+10x+25)(3-x)\).

Indice

Factoriser le membre qui est une différence de carrés avant de soustraire.
Dans 2), reconnaître \(4x^2=(2x)^2\).
Dans 3), factoriser \(x^2-9\), \(x^2+10x+25\) et écrire \(3-x=-(x-3)\).

Solution / explication détaillée

1) \((5x-3)(5x+3)=(5x-3)(2x+1)\). Donc \((5x-3)(3x+2)=0\), d’où \(S=\left\{-\dfrac23;\dfrac35\right\}\).

2) \((4x-5)^2=(2x)^2\iff 4x-5=2x\) ou \(4x-5=-2x\). Donc \(S=\left\{\dfrac56;\dfrac52\right\}\).

3) On obtient \(2(x-3)(x+5)(x+4)=0\). Ainsi \(S=\{-5;-4;3\}\).

Exercice 10 — Équations où les termes quadratiques s’annulent

2nde **

Résoudre \(2x-(4-x)^2=14-x(x-1)\).
Résoudre \(16x^2+49=(2x-5)(8x+1)\).
Résoudre \((2x-3)^2-4x+5=4x^2-3\).

Indice

Développer proprement les deux membres : le degré 2 disparaît.
Ne conclure à une équation du second degré qu’après réduction complète.

Solution / explication détaillée

1) Le membre gauche vaut \(-x^2+10x-16\) et le droit \(-x^2+x+14\). Donc \(9x=30\), d’où \(x=\dfrac{10}{3}\).

2) Le produit vaut \(16x^2-38x-5\). Ainsi \(49=-38x-5\), donc \(x=-\dfrac{27}{19}\).

3) Le membre gauche vaut \(4x^2-16x+14\). Après simplification avec le membre droit : \(-16x+14=-3\), donc \(x=\dfrac{17}{16}\).

Exercice 11 — Fractions algébriques à deux variables — conditions indispensables

2nde **

Pour \(a\neq0\), \(b\neq0\) et \(a+b\neq0\), simplifier \(A=\dfrac{\dfrac1a+\dfrac1b}{1+\dfrac ab}\).
Pour \(a+b\neq0\) et \(a-b\neq0\), réduire \(B=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a-b}\).
Pour \(a\neq0\) et \(b\neq0\), réduire \(C=\dfrac{1}{a^2b}-\dfrac{1}{ab^2}+\dfrac{2}{a^2b^2}\).

Indice

Réduire séparément le numérateur et le dénominateur de \(A\).
Pour \(B\), le produit \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) est le dénominateur commun naturel.
Pour \(C\), choisir \(a^2b^2\) comme dénominateur commun.

Solution / explication détaillée

1) Le numérateur vaut \(\dfrac{a+b}{ab}\) et le dénominateur \(\dfrac{a+b}{b}\). Leur quotient vaut \(\boxed{\dfrac1a}\).

2) Le numérateur commun vaut \(a(a-b)+b(a+b)=a^2+b^2\). Donc \(B=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\).

3) Au dénominateur \(a^2b^2\), le numérateur est \(b-a+2\). Donc \(C=\dfrac{b-a+2}{a^2b^2}\).

Exercice 12 — Écritures fractionnaires — mettre sous un seul quotient

2nde **

Pour \(x\neq2\), réduire \(A=\dfrac{2x+3}{x-2}+5x-\dfrac2{x-2}\).
Pour \(x\neq0\) et \(x\neq-3\), réduire \(B=\dfrac1{x+3}-\dfrac1x\).
Pour \(x\neq1\), simplifier \(C=\dfrac{x^2}{x-1}-x\).
Résoudre \(C=2\) dans son domaine.

Indice

Dans \(A\), écrire aussi \(5x\) avec le dénominateur \(x-2\).
Dans \(C\), écrire \(x=\dfrac{x(x-1)}{x-1}\).

Solution / explication détaillée

1) \(A=\dfrac{2x+3+5x(x-2)-2}{x-2}=\dfrac{5x^2-8x+1}{x-2}\).

2) \(B=\dfrac{x-(x+3)}{x(x+3)}=-\dfrac3{x(x+3)}\).

3) \(C=\dfrac{x^2-x(x-1)}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}\).

4) \(\dfrac{x}{x-1}=2\iff x=2x-2\iff x=2\), valeur autorisée. Donc \(S=\{2\}\).

Exercice 13 — Équation rationnelle symétrique — domaine, réduction, résolution

2nde **

On pose \(R(x)=\dfrac{x-1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x-1}\). Déterminer son domaine.
Écrire \(R(x)\) sous la forme d’un seul quotient.
Résoudre \(R(x)=\dfrac52\).
Montrer que l’équation \(R(x)=2\) n’a aucune solution.

Indice

Les valeurs interdites proviennent des deux dénominateurs.
Pour résoudre, multiplier seulement après avoir écrit le domaine.

Solution / explication détaillée

1) Le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\).

2) \(R(x)=\dfrac{(x-1)^2+(x+2)^2}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{2x^2+2x+5}{(x+2)(x-1)}\).

3) Après multiplication par \(2(x+2)(x-1)\), l’équation se réduit à \((x-4)(x+5)=0\). Les deux valeurs sont autorisées : \(S=\{-5;4\}\).

4) On calcule \(R(x)-2=\dfrac9{(x-1)(x+2)}\), qui ne peut jamais être nul dans le domaine. Donc aucune solution.

Exercice 14 — Équations quotient — pièges de domaine

2nde **

Résoudre dans son domaine : \(\dfrac{x-3}{x+1}=2-\dfrac4{x+1}\).
Résoudre dans son domaine : \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=6\).
Résoudre dans son domaine : \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\).

Indice

Écrire la valeur interdite avant toute simplification.
Une simplification peut produire une équation dont la seule solution est précisément interdite.
Deux expressions peuvent être égales pour tout réel de leur domaine sans avoir le même domaine.

Solution / explication détaillée

1) Le domaine exclut \(-1\). L’équation donne \(x-3=2x-2\), donc \(x=-1\), interdit. Ainsi \(S=\varnothing\).

2) Le domaine exclut \(3\). Pour \(x\neq3\), le quotient vaut \(x+3\). L’équation impose \(x=3\), interdit. Donc \(S=\varnothing\).

3) Le domaine exclut \(2\). Pour tout \(x\neq2\), \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\). L’égalité est donc vraie pour tout \(x\neq2\) : \(S=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Exercice 15 — Signe d’un quotient — tableau complet

2nde **

On pose \(Q(x)=\dfrac{(x-2)(2x+3)}{x+1}\). Donner le domaine de \(Q\).
Construire le tableau de signes de \(Q\).
Résoudre \(Q(x)\le0\).
Résoudre \(Q(x)>0\).

Indice

Les trois valeurs critiques sont \(-\dfrac32\), \(-1\) et \(2\).
La valeur \(-1\) est interdite ; les deux autres sont des zéros et peuvent être incluses pour \(\le0\).

Solution / explication détaillée

1) \(D_Q=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

2) En ordonnant \(-\dfrac32<-1<2\), le signe de \(Q\) est : négatif sur \(]-\infty;-\dfrac32[\), positif sur \(]-\dfrac32;-1[\), négatif sur \(]-1;2[\), positif sur \(]2;+\infty[\).

3) Donc \(Q\le0\) sur \(]-\infty;-\dfrac32]\cup]-1;2]\).

4) Et \(Q>0\) sur \(]-\dfrac32;-1[\cup]2;+\infty[\).

Exercice 16 — Racines carrées — quatre écritures d’un même nombre

2nde ***

Réduire \(A=\sqrt{72}-2\sqrt{50}+2\sqrt{18}+\sqrt9\).
Réduire \(B=(\sqrt2+2)\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+1\right)\).
Réduire \(C=(2\sqrt2+1)^2+(1-\sqrt2)^2-9\).
Réduire \(D=(\sqrt2+1)^2\), puis vérifier que \(A=B=C=D\).

Indice

Extraire d’abord les carrés parfaits : \(72=36\times2\), \(50=25\times2\), \(18=9\times2\).
Pour \(B\), remarquer que \(\dfrac{\sqrt2}{2}+1=\dfrac{\sqrt2+2}{2}\).

Solution / explication détaillée

1) \(A=6\sqrt2-10\sqrt2+6\sqrt2+3=3+2\sqrt2\).

2) \(B=\dfrac{(\sqrt2+2)^2}{2}=\dfrac{6+4\sqrt2}{2}=3+2\sqrt2\).

3) \(C=(9+4\sqrt2)+(3-2\sqrt2)-9=3+2\sqrt2\).

4) \(D=2+2\sqrt2+1=3+2\sqrt2\). Les quatre expressions ont donc la même valeur.

Exercice 17 — Calcul exact avec radicaux — réduction puis produit

2nde ***

Réduire \(S=\sqrt{54}-5\sqrt{12}+3\sqrt{75}-\sqrt6\).
Réduire \(R=\dfrac{4\sqrt{27}-\sqrt{54}}{3\sqrt2}\).
Calculer exactement \(P=S\times R\).

Indice

Réduire \(S\) et \(R\) séparément avant de multiplier.
Pour \(R\), on peut vérifier le résultat en le remultipliant par \(3\sqrt2\).

Solution / explication détaillée

1) \(S=3\sqrt6-10\sqrt3+15\sqrt3-\sqrt6=2\sqrt6+5\sqrt3\).

2) On obtient \(R=2\sqrt6-\sqrt3\), car \((2\sqrt6-\sqrt3)3\sqrt2=12\sqrt3-3\sqrt6\).

3) \(P=(2\sqrt6+5\sqrt3)(2\sqrt6-\sqrt3)=24-6\sqrt2+30\sqrt2-15=9+24\sqrt2\).

Exercice 18 — Calcul exact complet — fractions, racines et conjugués

2nde ***

Calculer \(A=\dfrac{3+\dfrac53-\dfrac12}{1-\dfrac16}\).
Calculer \(B=4\sqrt{\dfrac{26}{5}}\sqrt{\dfrac{65}{8}}\).
Calculer \(C=(2\sqrt5-3)^2+(2\sqrt5+3)^2\).
Calculer \(D=\dfrac1{5-2\sqrt6}+\dfrac1{5+2\sqrt6}\), puis donner \(A+B+C+D\).

Indice

Pour \(C\), utiliser \((u-v)^2+(u+v)^2=2u^2+2v^2\).
Pour \(D\), les deux dénominateurs sont conjugués et leur produit vaut \(1\).

Solution / explication détaillée

1) Le numérateur de \(A\) vaut \(\dfrac{25}{6}\) et le dénominateur \(\dfrac56\). Donc \(A=5\).

2) \(B=4\sqrt{\dfrac{26\times65}{40}}=4\sqrt{\dfrac{169}{4}}=26\).

3) \(C=2(20)+2(9)=58\).

4) En mettant \(D\) au même dénominateur, \(D=\dfrac{10}{25-24}=10\). Ainsi \(A+B+C+D=5+26+58+10=99\).

Exercice 19 — Identité sur les fractions — démonstration puis application

2nde ***

Pour \(n\neq0\), démontrer \(\dfrac1n+\dfrac1{2n}+\dfrac1{3n}+\dfrac1{6n}=\dfrac2n\).
En déduire une écriture de \(\dfrac2{101}\) comme somme de quatre fractions de numérateur \(1\).
Vérifier directement l’égalité obtenue avec le dénominateur commun \(606\).

Indice

Le dénominateur commun naturel est \(6n\).
Pour l’application, prendre simplement \(n=101\).

Solution / explication détaillée

1) Au dénominateur \(6n\), la somme vaut \(\dfrac{6+3+2+1}{6n}=\dfrac{12}{6n}=\dfrac2n\).

2) Avec \(n=101\), \(\dfrac2{101}=\dfrac1{101}+\dfrac1{202}+\dfrac1{303}+\dfrac1{606}\).

3) Au dénominateur \(606\), les numérateurs sont \(6+3+2+1=12\), donc la somme vaut \(\dfrac{12}{606}=\dfrac2{101}\).

Exercice 20 — Racines imbriquées — retrouver un carré caché

2nde ***

Simplifier exactement \(A=\sqrt{59+30\sqrt2}\).
Simplifier exactement \(B=\sqrt{6+2\sqrt5}\).
Simplifier exactement \(C=\sqrt{17-12\sqrt2}\).
Expliquer pourquoi le signe de l’expression trouvée doit être contrôlé avant de supprimer la racine carrée.

Indice

Chercher un nombre de la forme \(a+b\sqrt d\) dont le carré reproduit le radicande.
Une racine carrée désigne toujours la valeur positive ou nulle.

Solution / explication détaillée

1) \((3+5\sqrt2)^2=9+50+30\sqrt2=59+30\sqrt2\), et \(3+5\sqrt2>0\). Donc \(A=3+5\sqrt2\).

2) \((1+\sqrt5)^2=6+2\sqrt5\) et \(1+\sqrt5>0\). Donc \(B=1+\sqrt5\).

3) \((3-2\sqrt2)^2=17-12\sqrt2\) et \(3-2\sqrt2>0\). Donc \(C=3-2\sqrt2\).

4) De \(u^2=v\), on déduit \(\sqrt v=|u|\), pas automatiquement \(u\). Il faut donc vérifier \(u\ge0\).

Exercice 21 — Conjugués et équations avec radicaux

2nde ***

Rationaliser et simplifier \(A=\dfrac4{\sqrt3-1}\).
Résoudre \(\dfrac{x}{\sqrt2}=3-(x-\sqrt2)\).
Résoudre \(\sqrt3(x\sqrt2-1)=x\sqrt6-\sqrt6\).

Indice

Pour \(A\), multiplier par le conjugué \(\sqrt3+1\).
Dans la deuxième équation, regrouper les termes en \(x\), puis rationaliser le quotient final.
Dans la troisième, développer : les termes en \(x\sqrt6\) s’annulent.

Solution / explication détaillée

1) \(A=\dfrac{4(\sqrt3+1)}{3-1}=2(\sqrt3+1)\).

2) Après multiplication par \(\sqrt2\), \(x(1+\sqrt2)=2+3\sqrt2\). Ainsi \(x=\dfrac{2+3\sqrt2}{1+\sqrt2}=4-\sqrt2\).

3) Le membre gauche vaut \(x\sqrt6-\sqrt3\). L’équation imposerait \(\sqrt3=\sqrt6\), ce qui est faux. Donc \(S=\varnothing\).

Exercice 22 — Équations à paramètre — zéro, impossible ou infinité de solutions

2nde ***

Selon \(m\in\mathbb{R}\), résoudre \((m-2)x=m+1\).
Selon \(m\in\mathbb{R}\), résoudre \((m-1)x=m-1\).
Selon \(m\in\mathbb{R}\), résoudre \((2m+1)x=4m+2\).

Indice

Toujours isoler la valeur du paramètre qui annule le coefficient de \(x\).
Quand ce coefficient est nul, regarder si le second membre devient lui aussi nul.

Solution / explication détaillée

1) Si \(m\neq2\), \(x=\dfrac{m+1}{m-2}\). Si \(m=2\), l’équation devient \(0=3\), donc aucune solution.

2) Si \(m\neq1\), \(x=1\). Si \(m=1\), l’équation devient \(0=0\), donc tout réel est solution.

3) Si \(2m+1\neq0\), alors \(4m+2=2(2m+1)\) et \(x=2\). Si \(m=-\dfrac12\), l’équation devient \(0=0\), donc tout réel est solution.

Exercice 23 — Relation entre variables — éliminer une inconnue

2nde ***

L’aire d’une couronne circulaire est \(A=\pi(R^2-r^2)\) avec \(R>r\ge0\). Factoriser l’expression \(R^2-r^2\).
Exprimer \(R\) en fonction de \(A\) et \(r\).
Calculer \(R\) lorsque \(A=48\pi\) et \(r=4\).
Vérifier le résultat en recalculant l’aire.

Indice

Isoler d’abord \(R^2\), puis utiliser la condition \(R>0\).
Pour la vérification, remplacer dans \(\pi(R^2-r^2)\).

Solution / explication détaillée

1) \(R^2-r^2=(R-r)(R+r)\).

2) \(\dfrac{A}{\pi}=R^2-r^2\), donc \(R^2=r^2+\dfrac{A}{\pi}\). Comme \(R>0\), \(R=\sqrt{r^2+\dfrac{A}{\pi}}\).

3) \(R=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8\).

4) \(\pi(8^2-4^2)=\pi(64-16)=48\pi\), ce qui confirme le résultat.

Exercice 24 — Modélisation — boîte sans couvercle

2nde ***

Une boîte sans couvercle a une base carrée de côté \(x>0\) et une hauteur de \(3\). Exprimer l’aire totale de carton \(A(x)\).
On impose \(A(x)=80\). Écrire l’équation correspondante puis la factoriser.
Déterminer la valeur géométriquement admissible de \(x\).
Calculer alors le volume de la boîte.

Indice

Il y a une base carrée et quatre rectangles latéraux de dimensions \(x\) et \(3\).
Après passage à zéro : \(x^2+12x-80\) se factorise avec deux entiers dont le produit vaut \(-80\).

Solution / explication détaillée

1) \(A(x)=x^2+4\times3x=x^2+12x\).

2) \(x^2+12x=80\iff x^2+12x-80=0\iff (x-4)(x+20)=0\).

3) Les solutions algébriques sont \(4\) et \(-20\), mais \(x>0\). Donc \(x=4\).

4) Le volume vaut \(V=x^2\times3=16\times3=48\).

Exercice 25 — Modélisation géométrique — contrainte et solution admissible

2nde ***

Un rectangle a pour côtés \(x-2\) et \(x+2\), avec \(x>2\). Exprimer son aire sous deux formes.
Son aire vaut \(32\). Résoudre l’équation obtenue.
Justifier pourquoi une seule solution est géométriquement admissible.
Calculer le périmètre et la longueur de la diagonale du rectangle obtenu.

Indice

Utiliser la différence de deux carrés pour l’aire.
La condition \(x>2\) doit être appliquée à la fin.

Solution / explication détaillée

1) \(A=(x-2)(x+2)=x^2-4\).

2) \(x^2-4=32\iff x^2=36\), donc \(x=-6\) ou \(x=6\).

3) Comme \(x>2\), seule la valeur \(x=6\) convient. Les côtés sont alors \(4\) et \(8\).

4) Le périmètre vaut \(2(4+8)=24\). La diagonale vaut \(\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\).

Exercice 26 — Inéquation de modélisation — comparer deux offres

2nde ***

Pour \(n\ge0\), deux offres coûtent \(A(n)=18+\dfrac6{25}n\) euros et \(B(n)=9+\dfrac9{25}n\) euros. Calculer \(A(n)-B(n)\).
Résoudre \(A(n)\le B(n)\).
Interpréter le seuil obtenu si \(n\) est un nombre entier d’unités consommées.
Comparer les deux offres pour \(n=50\) puis \(n=100\).

Indice

La comparaison additive consiste à étudier le signe de \(A-B\).
Garder les fractions exactes : \(\dfrac6{25}-\dfrac9{25}=-\dfrac3{25}\).

Solution / explication détaillée

1) \(A-B=9-\dfrac3{25}n\).

2) \(A\le B\iff 9-\dfrac3{25}n\le0\iff 225-3n\le0\iff n\ge75\).

3) Pour un nombre entier d’unités, l’offre A devient au moins aussi avantageuse que B à partir de \(75\) unités.

4) Pour \(n=50\), \(A=30\) et \(B=27\), donc B est moins chère. Pour \(n=100\), \(A=42\) et \(B=45\), donc A est moins chère.

Exercice 27 — Formules de physique — isoler puis éliminer une variable

2nde ***

Pour un cylindre, \(V=\pi r^2h\) et l’aire latérale vaut \(L=2\pi rh\), avec \(r>0\). Exprimer \(h\) en fonction de \(V\) et \(r\).
Éliminer \(h\) et exprimer \(L\) uniquement en fonction de \(V\) et \(r\).
En déduire \(r\) en fonction de \(V\) et \(L\), lorsque \(L>0\).
Vérifier pour \(V=24\pi\) et \(r=2\) la valeur de \(L\).

Indice

Remplacer \(h\) dans la formule de \(L\) par l’expression obtenue avec \(V\).
Simplifier les facteurs \(\pi\) et les puissances de \(r\).

Solution / explication détaillée

1) \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\).

2) \(L=2\pi r\times\dfrac{V}{\pi r^2}=\dfrac{2V}{r}\).

3) \(L=\dfrac{2V}{r}\iff Lr=2V\), donc \(r=\dfrac{2V}{L}\).

4) Avec \(V=24\pi\) et \(r=2\), \(L=\dfrac{48\pi}{2}=24\pi\).

Exercice 28 — Signe d’un produit puis d’un quotient — synthèse

2nde ***

Résoudre \((3x-1)(x+2)\le0\).
On pose \(T(x)=\dfrac{(3x-1)(x+2)}{2-x}\). Donner son domaine.
Résoudre \(T(x)\ge0\).
Comparer la solution de 1) avec celle de 3) et expliquer le rôle du dénominateur.

Indice

Pour le produit, ordonner les zéros \(-2\) et \(\dfrac13\).
Pour le quotient, ajouter la valeur interdite \(2\) au tableau de signes.

Solution / explication détaillée

1) Le produit est négatif ou nul entre ses racines : \(S_1=[-2;\dfrac13]\).

2) Le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

3) Avec \(-2<\dfrac13<2\), le quotient est positif ou nul sur \(]-\infty;-2]\cup[\dfrac13;2[\).

4) Le dénominateur \(2-x\) change de signe en \(2\) et inverse donc le signe du quotient au-delà de cette valeur ; \(2\) reste exclu.

Exercice 29 — Grande équation factorisée — trois solutions sans discriminant

2nde ***

Résoudre \((x^2-9)(x+5)=(x^2+10x+25)(3-x)\) sans développer les deux membres.
Détailler la factorisation qui conduit à un produit de trois facteurs du premier degré.
Vérifier directement chacune des trois solutions dans l’équation initiale.

Indice

Utiliser \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2+10x+25=(x+5)^2\) et \(3-x=-(x-3)\).
Après mise en facteur de \((x-3)(x+5)\), il reste une somme très simple.

Solution / explication détaillée

1) Le membre gauche vaut \((x-3)(x+3)(x+5)\), le membre droit \(-(x+5)^2(x-3)\).

2) En ramenant tout à gauche : \((x-3)(x+5)[(x+3)+(x+5)]=2(x-3)(x+5)(x+4)\).

3) Le produit nul donne \(S=\{-5;-4;3\}\). Une substitution directe montre que les deux membres sont égaux pour chacune de ces trois valeurs.

Exercice 30 — Bilan final — domaine, simplification, équation et signe

2nde ***

On pose \(H(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\times\dfrac{4x^2-25}{2x+5}\). Déterminer le domaine de \(H\).
Simplifier \(H(x)\) sur son domaine sans oublier les valeurs interdites.
Résoudre \(H(x)=0\).
Résoudre \(H(x)\le0\) dans le domaine initial.

Indice

Factoriser les deux numérateurs avant toute simplification.
Les facteurs simplifiés restent des valeurs interdites dans l’expression initiale.
Pour le signe, travailler avec la forme simplifiée mais retirer les trous du domaine.

Solution / explication détaillée

1) Les dénominateurs imposent \(x\neq3\) et \(x\neq-\dfrac52\). Donc \(D_H=\mathbb{R}\setminus\left\{3;-\dfrac52\right\}\).

2) Sur ce domaine, \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) et \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). Ainsi \(H(x)=(x+3)(2x-5)\), avec les deux exclusions précédentes conservées.

3) Le produit est nul pour \(x=-3\) ou \(x=\dfrac52\), deux valeurs autorisées. Donc \(S=\left\{-3;\dfrac52\right\}\).

4) Le produit \((x+3)(2x-5)\) est \(\le0\) sur \([-3;\dfrac52]\). Mais \(-\dfrac52\) est interdit dans l’expression initiale. Ainsi \(S=\left[-3;-\dfrac52\right[\cup\left]-\dfrac52;\dfrac52\right]\).

Exercices corrigés — Calcul littéral (2nde)

✏️ Exercices — Calcul littéral

Exercice 1 — Factorisations cachées — facteur opposé et facteur commun

Exercice 2 — Différences de carrés composées — factoriser sans développer

Exercice 3 — Identité remarquable cachée — reconnaître une structure

Exercice 4 — Regroupement — équation cubique factorisable

Exercice 5 — Deux expressions, un facteur commun — choisir la bonne forme

Exercice 6 — Une expression, plusieurs formes — développer ou factoriser au bon moment

Exercice 7 — Réductions à forte annulation — garder le contrôle des signes

Exercice 8 — Équations factorisables — ne pas développer inutilement

Exercice 9 — Équations avec identités remarquables — conserver les facteurs

Exercice 10 — Équations où les termes quadratiques s’annulent

Exercice 11 — Fractions algébriques à deux variables — conditions indispensables

Exercice 12 — Écritures fractionnaires — mettre sous un seul quotient

Exercice 13 — Équation rationnelle symétrique — domaine, réduction, résolution

Exercice 14 — Équations quotient — pièges de domaine

Exercice 15 — Signe d’un quotient — tableau complet

Exercice 16 — Racines carrées — quatre écritures d’un même nombre

Exercice 17 — Calcul exact avec radicaux — réduction puis produit

Exercice 18 — Calcul exact complet — fractions, racines et conjugués

Exercice 19 — Identité sur les fractions — démonstration puis application

Exercice 20 — Racines imbriquées — retrouver un carré caché

Exercice 21 — Conjugués et équations avec radicaux

Exercice 22 — Équations à paramètre — zéro, impossible ou infinité de solutions

Exercice 23 — Relation entre variables — éliminer une inconnue

Exercice 24 — Modélisation — boîte sans couvercle

Exercice 25 — Modélisation géométrique — contrainte et solution admissible

Exercice 26 — Inéquation de modélisation — comparer deux offres

Exercice 27 — Formules de physique — isoler puis éliminer une variable

Exercice 28 — Signe d’un produit puis d’un quotient — synthèse

Exercice 29 — Grande équation factorisée — trois solutions sans discriminant

Exercice 30 — Bilan final — domaine, simplification, équation et signe

Seconde

Première

Terminale

Exercices corrigés — Calcul littéral (2nde)

✏️ Exercices — Calcul littéral

Exercice 1 — Factorisations cachées — facteur opposé et facteur commun

Exercice 2 — Différences de carrés composées — factoriser sans développer

Exercice 3 — Identité remarquable cachée — reconnaître une structure

Exercice 4 — Regroupement — équation cubique factorisable

Exercice 5 — Deux expressions, un facteur commun — choisir la bonne forme

Exercice 6 — Une expression, plusieurs formes — développer ou factoriser au bon moment

Exercice 7 — Réductions à forte annulation — garder le contrôle des signes

Exercice 8 — Équations factorisables — ne pas développer inutilement

Exercice 9 — Équations avec identités remarquables — conserver les facteurs

Exercice 10 — Équations où les termes quadratiques s’annulent

Exercice 11 — Fractions algébriques à deux variables — conditions indispensables

Exercice 12 — Écritures fractionnaires — mettre sous un seul quotient

Exercice 13 — Équation rationnelle symétrique — domaine, réduction, résolution

Exercice 14 — Équations quotient — pièges de domaine

Exercice 15 — Signe d’un quotient — tableau complet

Exercice 16 — Racines carrées — quatre écritures d’un même nombre

Exercice 17 — Calcul exact avec radicaux — réduction puis produit

Exercice 18 — Calcul exact complet — fractions, racines et conjugués

Exercice 19 — Identité sur les fractions — démonstration puis application

Exercice 20 — Racines imbriquées — retrouver un carré caché

Exercice 21 — Conjugués et équations avec radicaux

Exercice 22 — Équations à paramètre — zéro, impossible ou infinité de solutions

Exercice 23 — Relation entre variables — éliminer une inconnue

Exercice 24 — Modélisation — boîte sans couvercle

Exercice 25 — Modélisation géométrique — contrainte et solution admissible

Exercice 26 — Inéquation de modélisation — comparer deux offres

Exercice 27 — Formules de physique — isoler puis éliminer une variable

Exercice 28 — Signe d’un produit puis d’un quotient — synthèse

Exercice 29 — Grande équation factorisée — trois solutions sans discriminant

Exercice 30 — Bilan final — domaine, simplification, équation et signe

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