1) Rappels : calcul littéral

En calcul littéral, on utilise des lettres (comme \(x, y, a, b\)) pour représenter des nombres. Une expression littérale contient des nombres, des lettres et des opérations.

2) Manipulations algébriques

2.1. Réduire une expression

Réduire une expression, c’est supprimer les parenthèses (quand c’est possible) et regrouper les termes semblables (même partie littérale).

2.2. Développer une expression

Développer, c’est enlever les parenthèses en utilisant la distributivité.

Distributivité simple :

Produits remarquables (initiation) :

2.3. Factoriser une expression

Factoriser, c’est écrire l’expression sous forme de produit (opération inverse de développer).

a) Mise en évidence :

b) Avec identités remarquables :

3) Équations : définitions et exemples

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée \(x\)). Une solution est un nombre qui rend l’égalité vraie lorsqu’on le remplace à la place de \(x\).

3.1. Règles de base

On peut :

• ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres ;
• multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

4) Résolution d’équations du 1^er degré

4.1. Équations de la forme \(ax + b = c\)

Pour résoudre \(ax + b = c\) avec \(a \neq 0\) :

1. isoler le terme en \(x\) : \(ax = c - b\) ;
2. diviser par \(a\) : \(x = \dfrac{c-b}{a}\).

4.2. Équations avec parenthèses

On commence par développer puis on résout.

4.3. Équations avec fractions

On se débarrasse des dénominateurs en multipliant par un nombre non nul adapté.

5) Équations-produit : \((A \times B = 0)\)

Si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul : \[ A \times B = 0 \Longleftrightarrow A = 0 \ \text{ou}\ B = 0. \]

6) Vérifier une solution

On remplace la valeur trouvée dans l’équation de départ et on vérifie que les deux membres sont égaux.