Probabilites Conditionnelles
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle • produit • arbre pondéré • probabilités totales • indépendance
Essentiel
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) se note :
\[
P_A(B)
\]
Si \(P(A)\neq 0\), alors :
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\]
Formule du produit
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités de ses branches.
Probabilités totales
\[
P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)
\]
Cette formule est très utile quand l’arbre se sépare d’abord selon \(A\) et \(\overline{A}\).
Indépendance
Critère 1
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\]
Critère 2
\[
P_A(B)=P(B)
\]
Mini-tests corrigés
Test 1
Si \(P(A)=0{,}4\) et \(P_A(B)=0{,}5\), alors :
\[
P(A\cap B)=0{,}2
\]
Test 2
Si \(P(A\cap B)=0{,}12\) et \(P(A)=0{,}3\), alors :
\[
P_A(B)=0{,}4
\]
Test 3
Si \(P(A)=0{,}2\), \(P_A(B)=0{,}8\), \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}1\), alors :
\[
P(B)=0{,}24
\]
Test 4
Si \(P_A(B)=P(B)\), on peut conclure à l’indépendance de \(A\) et \(B\).