Probabilites Conditionnelles
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle • intersection • arbre pondéré • probabilités totales • indépendance simple
1) Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), notée \(P_A(B)\), est la probabilité que \(B\) se réalise lorsque l’on sait déjà que \(A\) est réalisé.
On l’utilise lorsque l’information « \(A\) est réalisé » modifie l’univers observé.
Si \(P(A)\neq 0\), alors :
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\]
Interprétation simple
Si \(A\) désigne « l’élève est une fille » et \(B\) désigne « l’élève pratique un sport », alors \(P_A(B)\) est la probabilité qu’un élève pratique un sport sachant que cet élève est une fille.
2) Probabilité d’une intersection
La formule précédente se réécrit :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).
\]
Dans l’ordre \(A\) puis \(B\)
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]
Dans l’ordre \(B\) puis \(A\)
\[
P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)
\]
L’intersection \(A\cap B\) signifie : « \(A\) et \(B\) se réalisent en même temps ».
Exemple
Si
\[
P(A)=0{,}4 \quad \text{et} \quad P_A(B)=0{,}7,
\]
alors :
\[
P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28.
\]
3) Arbre pondéré
Un arbre pondéré permet de représenter une expérience aléatoire en plusieurs étapes.
Règles à retenir
- la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 ;
- la probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités le long de ce chemin ;
- on peut additionner plusieurs chemins pour obtenir une probabilité globale.
Sur un arbre comportant \(A\) puis \(B\),
le chemin « \(A\) puis \(B\) » a pour probabilité :
\[
P(A)\times P_A(B).
\]
Exemple de structure
Premier niveau :
\[
A \quad \text{ou} \quad \overline{A}
\]
Deuxième niveau :
\[
B \quad \text{ou} \quad \overline{B}
\]
On place alors sur l’arbre :
\[
P(A),\ P(\overline{A}),\ P_A(B),\ P_A(\overline{B}),\ P_{\overline{A}}(B),\ P_{\overline{A}}(\overline{B}).
\]
4) Formule des probabilités totales
Lorsque \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers, on peut calculer \(P(B)\) grâce à :
\[
P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).
\]
En utilisant les probabilités conditionnelles :
\[
P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B).
\]
Exemple numérique
Si
\[
P(A)=0{,}3,\qquad P_A(B)=0{,}75,\qquad P_{\overline{A}}(B)=0{,}2,
\]
alors :
\[
P(B)=0{,}3\times 0{,}75+0{,}7\times 0{,}2=0{,}225+0{,}14=0{,}365.
\]
5) Indépendance simple
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
On peut traduire cela par :
\[
P_A(B)=P(B)
\]
lorsque \(P(A)\neq 0\).
Formule équivalente
Deux événements sont indépendants si :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
\]
Ne pas confondre :
- événements incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble ;
- événements indépendants : l’un n’influence pas l’autre.
6) Méthode type
Pour résoudre un exercice sur les probabilités conditionnelles :
- identifier les événements \(A\) et \(B\),
- repérer si l’on dispose de \(P(A)\), \(P(B)\), \(P_A(B)\), \(P_{\overline{A}}(B)\),
- tracer un arbre pondéré si nécessaire,
- calculer les intersections avec un produit,
- utiliser la formule des probabilités totales si besoin,
- conclure clairement avec une phrase interprétative.
Réflexe utile
Dès qu’un énoncé contient « sachant que », il faut penser à une probabilité conditionnelle.
7) Formulaire
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \qquad \text{si } P(A)\neq 0
\]
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]
\[
P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)
\]
\[
P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)
\]
\[
A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\]
\[
A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P_A(B)=P(B)
\]