Calculs Automatismes
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Calculs et automatismes numériques
Calcul numérique • fractions • puissances • proportions • pourcentages • calcul littéral • automatismes utiles en 1ère STMG
1) Objectifs du chapitre
Savoir-faire attendus
- Calculer avec des fractions.
- Utiliser correctement les règles sur les puissances.
- Résoudre des calculs de proportions et de pourcentages.
- Développer et réduire des expressions algébriques simples.
- Gagner en rapidité et en fiabilité dans les calculs usuels.
Pourquoi ce chapitre est important
Les automatismes numériques servent dans tout le programme :
statistiques, probabilités, fonctions, gestion, coûts, recettes, calculs commerciaux et modélisation.
2) Calculs avec les fractions
Une fraction représente un quotient :
\[
\frac{a}{b}
\qquad \text{avec } b\neq 0.
\]
Addition et soustraction
Si les dénominateurs sont les mêmes :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\qquad\text{et}\qquad
\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}.
\]
Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord les mettre au même dénominateur.
Multiplication et division
\[
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\]
\[
\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}
\qquad \text{si } c\neq 0.
\]
Exemple
\[
\frac{3}{4}+\frac{1}{8}
\]
On met au même dénominateur :
\[
\frac{3}{4}=\frac{6}{8}
\]
donc :
\[
\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.
\]
Piège classique : on n’additionne jamais directement les dénominateurs.
3) Règles sur les puissances
Même base
\[
a^n\times a^m=a^{n+m}
\]
\[
\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
\qquad \text{si } a\neq 0.
\]
Autres règles utiles
\[
(a^n)^m=a^{nm}
\]
\[
a^0=1 \qquad \text{si } a\neq 0
\]
\[
a^{-n}=\frac{1}{a^n} \qquad \text{si } a\neq 0.
\]
Exemple
\[
2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7=128
\]
et
\[
\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4=625.
\]
4) Proportions et proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre \(k\).
\[
y=kx
\]
Coefficient de proportionnalité
Le nombre \(k\) est appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple
Si 4 objets coûtent 10 €, alors 1 objet coûte :
\[
\frac{10}{4}=2{,}5
\]
donc 8 objets coûtent :
\[
8\times 2{,}5=20.
\]
5) Pourcentages
Prendre \(t\%\) d’une valeur
\[
t\%\text{ de }V=\frac{t}{100}\times V
\]
Coefficient multiplicateur
Hausse de \(t\%\) :
\[
\times \left(1+\frac{t}{100}\right)
\]
Baisse de \(t\%\) :
\[
\times \left(1-\frac{t}{100}\right)
\]
Exemple — augmentation
Un prix de 80 € augmente de 15 %.
\[
80\times 1{,}15=92
\]
Le nouveau prix est donc :
\[
\boxed{92\text{ €}}
\]
Exemple — réduction
Un article de 50 € subit une réduction de 20 %.
\[
50\times 0{,}8=40
\]
Le nouveau prix est :
\[
\boxed{40\text{ €}}
\]
Piège classique : une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne ramène pas à la valeur initiale.
6) Opérations sur les expressions algébriques
Réduire une expression
On regroupe les termes semblables :
\[
3x+5x-2+7=8x+5.
\]
Développer
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\]
\[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]
Exemple
\[
(x+4)^2=x^2+2\times x\times 4+4^2=x^2+8x+16
\]
\[
(x-3)^2=x^2-6x+9.
\]
7) Méthodes et réflexes
Avant de calculer
- Repérer la nature du calcul : fraction, pourcentage, puissance, expression algébrique.
- Choisir la bonne règle.
- Vérifier les signes et les parenthèses.
Après le calcul
- Simplifier si possible.
- Vérifier si le résultat est cohérent.
- Donner une valeur exacte quand c’est possible.
8) Formulaire
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\]
\[
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\]
\[
a^n\times a^m=a^{n+m}
\]
\[
\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
\]
\[
y=kx
\]
\[
\text{hausse de }t\% \Rightarrow \times \left(1+\frac{t}{100}\right)
\]
\[
\text{baisse de }t\% \Rightarrow \times \left(1-\frac{t}{100}\right)
\]
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\]
\[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]