Fonctions Polynomes
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Fonctions polynômes
Polynôme du second degré • forme développée • forme factorisée • racines • parabole • résolution graphique
1) Définition d’une fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme :
\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]
avec \(a\neq 0\).
Le terme en \(x^2\) est le terme de degré 2.
C’est lui qui donne l’allure générale de la courbe.
Exemple
\[
f(x)=2x^2-3x+1
\]
est une fonction polynôme du second degré.
Non-exemple
\[
g(x)=4x+1
\]
n’est pas du second degré : c’est une fonction affine.
2) Formes usuelles
Forme développée
\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]
Elle est utile pour identifier les coefficients.
Forme factorisée
\[
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
Elle est utile quand on connaît les racines.
Intérêt des formes
- la forme développée sert à calculer facilement des images ;
- la forme factorisée permet de résoudre \(f(x)=0\) plus facilement ;
- chaque forme donne des informations différentes.
3) Courbe représentative
La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.
Si \(a>0\)
La parabole est tournée vers le haut.
Si \(a<0\)
La parabole est tournée vers le bas.
Une parabole peut couper l’axe des abscisses en 0, 1 ou 2 points.
4) Racines d’un polynôme
Les racines de \(f\) sont les solutions de l’équation :
\[
f(x)=0
\]
Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.
Exemple
Si
\[
f(x)=(x-2)(x+3)
\]
alors
\[
f(x)=0 \iff (x-2)(x+3)=0
\]
donc :
\[
x=2 \quad \text{ou} \quad x=-3
\]
5) Factorisation
Factoriser un polynôme, c’est l’écrire sous forme d’un produit.
Exemple simple
\[
x^2-5x=x(x-5)
\]
Cas avec racines connues
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines, on peut écrire :
\[
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
Une bonne factorisation aide directement à résoudre une équation ou à étudier le signe.
6) Signe d’un polynôme factorisé
Lorsque le polynôme est factorisé, on peut étudier son signe à l’aide du signe de chaque facteur.
Exemple
Pour
\[
f(x)=(x-1)(x-4)
\]
les changements de signe se produisent en \(x=1\) et \(x=4\).
Connaître le signe d’un polynôme permet de résoudre des inéquations comme :
\[
f(x)\ge 0 \quad \text{ou} \quad f(x)<0
\]
7) Résolution graphique
On peut résoudre graphiquement :
- \(f(x)=0\) en cherchant les points d’intersection avec l’axe des abscisses ;
- \(f(x)=k\) en traçant la droite horizontale \(y=k\) ;
- \(f(x)\ge 0\) ou \(f(x)\le 0\) en observant la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.
La résolution graphique donne souvent une lecture approchée, sauf si les points sont parfaitement repérés.
8) Formulaire
\[
f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a\neq 0)
\]
\[
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
\[
f(x)=0 \iff \text{on cherche les racines}
\]
\[
\text{Racines graphiques = intersections avec l’axe des abscisses}
\]
\[
a>0 \Rightarrow \text{parabole tournée vers le haut}
\]
\[
a<0 \Rightarrow \text{parabole tournée vers le bas}
\]