Derivation Etude Fonctions
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Dérivation et étude de fonctions
Nombre dérivé • tangente • fonction dérivée • sens de variation • extremum • optimisation
1) Nombre dérivé
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), mesure la variation instantanée de la fonction au point d’abscisse \(a\).
Il permet de connaître la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\).
Interprétation graphique
\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
Interprétation pratique
Si \(f'(a)\) est positif, la fonction monte localement.
Si \(f'(a)\) est négatif, la fonction descend localement.
2) Tangente à une courbe
La tangente à la courbe en un point est la droite qui “suit” au mieux la courbe au voisinage de ce point.
Son coefficient directeur est précisément le nombre dérivé :
\[
f'(a)
\]
Cas particuliers
- si \(f'(a)>0\), la tangente monte ;
- si \(f'(a)<0\), la tangente descend ;
- si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale.
3) Fonction dérivée
À chaque fonction \(f\), on peut associer une nouvelle fonction notée \(f'\), appelée fonction dérivée.
Cette fonction donne, pour chaque valeur de \(x\), le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).
La dérivée sert principalement à étudier les variations de la fonction.
4) Formules de dérivation usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(f(x)=k\) | \(f'(x)=0\) |
| \(f(x)=x\) | \(f'(x)=1\) |
| \(f(x)=ax+b\) | \(f'(x)=a\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(f'(x)=2x\) |
| \(f(x)=x^3\) | \(f'(x)=3x^2\) |
Exemple
Si
\[
f(x)=x^2+3x+1
\]
alors
\[
f'(x)=2x+3
\]
5) Dérivée et sens de variation
Le signe de \(f'(x)\) permet de connaître le sens de variation de \(f\).
Si \(f'(x)>0\)
La fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle considéré.
Si \(f'(x)<0\)
La fonction \(f\) est décroissante sur l’intervalle considéré.
Si \(f'(x)=0\)
On repère souvent un point critique, qui peut être un maximum local, un minimum local ou un point particulier à étudier.
6) Extremum d’une fonction
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Maximum
La fonction atteint une plus grande valeur sur l’intervalle étudié.
Minimum
La fonction atteint une plus petite valeur sur l’intervalle étudié.
En pratique, un extremum apparaît souvent pour une valeur où \(f'(x)=0\).
7) Optimisation
La dérivation est très utile pour résoudre des problèmes d’optimisation :
- maximiser un bénéfice ;
- minimiser un coût ;
- chercher un rendement optimal ;
- déterminer une meilleure dimension ou une meilleure durée.
Méthode générale :
- modéliser la situation par une fonction ;
- calculer la dérivée ;
- étudier son signe ;
- conclure avec le tableau de variation.
8) Formulaire
\[
f'(a) = \text{coefficient directeur de la tangente en } a
\]
\[
(k)'=0
\]
\[
(x)'=1
\]
\[
(ax+b)'=a
\]
\[
(x^2)'=2x
\]
\[
(x^3)'=3x^2
\]
\[
f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ croissante}
\]
\[
f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ décroissante}
\]
\[
f'(x)=0 \Rightarrow \text{point critique à étudier}
\]