Applications Revisions Transversales | Cours — 1ère STI2D Maths | Learna

Cours — Applications diverses et révisions transversales

Problèmes interdisciplinaires • lecture de données • modélisation • fonctions • trigonométrie • statistiques • probabilités • algorithmique.

Objectifs Démarche Grandeurs Fonctions Trigonométrie Stats / Probabilités Algorithmique Stratégie examen Formulaire

1) Objectifs du chapitre

Ce qu’on doit savoir faire

Lire une situation concrète et identifier les grandeurs utiles.
Choisir un modèle mathématique : proportionnel, affine, quadratique, trigonométrique, statistique.
Passer d’un tableau, d’un graphique ou d’un texte à une expression mathématique.
Interpréter un résultat dans le contexte technique : vitesse, puissance, rendement, angle, coût, consommation.
Contrôler l’ordre de grandeur, l’unité, le sens physique et la cohérence de la réponse.

Réflexes STI2D

En STI2D, les mathématiques servent à comprendre, prévoir et optimiser. On ne calcule pas « pour calculer » : on calcule pour prendre une décision.

Pièges classiques : oublier les unités, arrondir trop tôt, lire trop vite une pente, confondre fréquence et probabilité, utiliser degrés/radians sans vérifier le mode.

2) Démarche type pour résoudre un problème transversal

Étape	Question à se poser	Exemple
1. Lire	Quelles sont les données ? Qu’est-ce qu’on cherche ?	On connaît une distance, une durée, un coût, un angle, une fréquence.
2. Modéliser	Quelle relation relie les grandeurs ?	Proportionnalité, formule affine, Pythagore, sinus, moyenne pondérée, loi binomiale.
3. Calculer	Quel calcul exact ou approché effectuer ?	Résoudre une équation, calculer une image, une fréquence, un angle.
4. Interpréter	Que signifie le résultat ? Est-il réaliste ?	Une pente de 12 % signifie 12 m de dénivelé pour 100 m horizontaux.
5. Vérifier	Unité, signe, ordre de grandeur, phrase finale.	« La consommation estimée est d’environ 6,4 L/100 km. »

Méthode courte : Données → Modèle → Calcul → Conclusion.

3) Grandeurs, unités et pourcentages

Conversions à maîtriser

Vitesse : \(1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h}\).
Énergie : \(1\ \text{kWh}=3{,}6\times10^6\ \text{J}\).
Pourcentage : \(p\% = \dfrac{p}{100}\).
Taux d’évolution : \(t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}\).
Coefficient multiplicateur : \(CM=1+t\).

Évolutions successives

Deux évolutions successives de taux \(t_1\) et \(t_2\) ne s’additionnent pas directement : \ CM_{\text{global}}=(1+t_1)(1+t_2). \

Exemple : +10 % puis −5 % donne \((1{,}10)(0{,}95)=1{,}045\), soit +4,5 % au total.

Exemple — consommation et coût énergétique

Une machine consomme \(2{,}4\ \text{kWh}\) par jour pendant \(22\) jours. Le prix est \(0{,}23\ €\) par kWh. \[ E=2{,}4\times 22=52{,}8\ \text{kWh} \] \[ C=52{,}8\times 0{,}23=12{,}144 \] Le coût est donc d’environ \(\boxed{12{,}14\ €}\) au centime près.

4) Fonctions utiles en situation concrète

Modèle affine

\(f(x)=ax+b\)

\(a\) : taux de variation
\(b\) : valeur initiale
Graphiquement, \(a\) est la pente

Modèle quadratique

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

utile pour une trajectoire, une aire, une optimisation
forme canonique : \(a(x-\alpha)^2+\beta\)
sommet : optimum si \(a>0\) ou \(a<0\)

Modèle exponentiel

\(f(x)=Cq^x\)

croissance / décroissance répétée
population, autonomie, décharge, intérêts
\(q>1\) croissance, \(0<q<1\) décroissance

Lecture graphique

Image : on part de \(x\), on lit \(f(x)\).
Antécédent : on part d’une ordonnée, on retrouve l’abscisse.
Variation : croissante, décroissante, extremum.
Interprétation : coût minimal, rendement maximal, seuil de sécurité…

Choisir le bon modèle

Situation	Modèle probable
Abonnement + prix unitaire	Affine
Coût proportionnel	Linéaire \(f(x)=ax\)
Trajectoire / parabole	Quadratique
Décharge de batterie / croissance répétée	Exponentiel

Exemple — modéliser un coût total

Une entreprise facture un forfait de \(18\ €\) puis \(0{,}35\ €\) par unité produite. Le coût total pour \(x\) unités est : \[ C(x)=0{,}35x+18. \] Pour \(40\) unités : \[ C(40)=0{,}35\times40+18=14+18=32. \] Donc le coût total est \(\boxed{32\ €}\).

5) Trigonométrie dans les applications techniques

Rappels

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \]

Utiliser \(\tan\) pour une pente ou un angle d’inclinaison.
Utiliser \(\sin\) ou \(\cos\) pour une projection ou une composante.

Pente et angle

Si une rampe monte de \(h\) mètres sur une distance horizontale \(d\), alors \[ \tan(\theta)=\frac{h}{d}. \] La pente en pourcentage vaut \[ p=100\times\frac{h}{d}. \]

Exemple — angle d’une rampe

Une rampe gagne \(0{,}72\ \text{m}\) de hauteur sur \(6\ \text{m}\) horizontalement. \[ \tan(\theta)=\frac{0{,}72}{6}=0{,}12 \] donc \[ \theta=\arctan(0{,}12)\approx 6{,}84^\circ. \] Pente : \(12\%\). Conclusion : la rampe a un angle d’environ \(\boxed{6{,}8^\circ}\).

6) Statistiques et probabilités pour décider

Statistiques

Moyenne : \(\overline{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{\sum n_i}\)
Étendue : \(\max-\min\)
Médiane : valeur qui partage la série en deux
Fréquence : \(f=\dfrac{\text{effectif}}{\text{total}}\)

Probabilités

\(0\le P(A)\le 1\)
\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
Pour événements incompatibles : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Arbre pondéré : on multiplie sur une branche, on additionne des chemins.

Interpréter une moyenne

Une moyenne seule ne suffit pas toujours. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais une dispersion très différente.

Interpréter une probabilité

Une probabilité de \(0{,}92\) signifie que le phénomène est très probable, mais pas certain.

Exemple — taux de pièces conformes

Sur \(250\) pièces, \(235\) sont conformes. \[ f=\frac{235}{250}=0{,}94 \] soit \(\boxed{94\%}\) de conformité. Si on choisit une pièce au hasard, la probabilité qu’elle soit conforme est \(0{,}94\).

7) Algorithmique : tester, simuler, automatiser

Idées clés

Entrées : données fournies à l’algorithme.
Traitement : calculs, tests, boucles.
Sortie : résultat affiché ou renvoyé.
Variable : mémoire temporaire.
Condition : if, else.

Quand utiliser une boucle ?

Quand un calcul est répété plusieurs fois : évolution de température, baisse d’autonomie, capitalisation, recherche d’un seuil.

Exemple Python — coût total avec remise

prix = 48 quantite = 15 cout = prix * quantite if quantite >= 10: cout = 0.92 * cout print(cout)

Cet algorithme teste si la quantité atteint le seuil de remise, puis applique un coefficient multiplicateur de \(0{,}92\).

8) Stratégie pour les exercices et évaluations

1 Repérer

Souligner les données utiles, entourer la question, repérer les unités.

2 Choisir

Quelle notion ? Pourcentage ? Fonction ? Trigonométrie ? Statistique ?

3 Vérifier

Le résultat est-il plausible ? Positif ? Trop grand ? Trop petit ?

Ne pas faire : lancer un calcul sans modèle, recopier une formule au hasard, oublier la phrase de conclusion.

9) Formulaire express

Pourcentages / fonctions

\[ t=\frac{V_f-V_i}{V_i} \qquad CM=1+t \] \[ f(x)=ax+b \qquad f(x)=ax^2+bx+c \]

Trigonométrie / statistiques

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \qquad \overline{x}=\frac{\sum n_ix_i}{\sum n_i} \] \[ f=\frac{\text{effectif}}{\text{total}} \qquad P(\overline{A})=1-P(A) \]

Conclusion : ce chapitre est une synthèse. La bonne question n’est pas seulement « quel calcul faire ? », mais surtout « quelle notion choisir pour modéliser correctement la situation ? ».