Variable Aleatoire Reelles
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Variables aléatoires réelles (1ère Spé)
Loi • espérance • variance • écart-type • transformation \(aX+b\).
Objectif : zéro faute + méthode Bac rapide et propre.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Variable aléatoire et loi
Une variable aléatoire réelle discrète \(X\) prend des valeurs
\(x_1, x_2, \dots, x_n\) avec des probabilités \(p_1, p_2, \dots, p_n\).
Conditions obligatoires :
\[
p_i \ge 0
\qquad \text{et} \qquad
\sum p_i = 1
\]
Piège : une loi est fausse si la somme des probabilités n’est pas égale à \(1\).
2 Espérance
\[
E(X)=\sum x_i p_i
\]
C’est la moyenne théorique des valeurs prises par \(X\).
Exemple :
si \(X\) prend \(0\), \(1\), \(2\) avec \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\), alors
\[
E(X)=0\times 0{,}2 + 1\times 0{,}5 + 2\times 0{,}3 = 1{,}1
\]
\(E(X)\) n’est pas forcément une valeur de la loi.
3 Variance
| Formule | Remarque |
|---|---|
| \(E(X^2)=\sum x_i^2 p_i\) | on élève bien les valeurs au carré |
| \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2\) | formule pratique à utiliser |
Faux : \(E(X^2)=(E(X))^2\).
4 Écart-type
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Plus \(\sigma(X)\) est grand, plus les valeurs sont dispersées.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Calculer une espérance
- Écrire les valeurs \(x_i\).
- Écrire les probabilités \(p_i\).
- Calculer chaque produit \(x_i p_i\).
- Faire la somme.
\[
E(X)=\sum x_i p_i
\]
B Calculer une variance
- Calculer d’abord \(E(X)\).
- Calculer ensuite \(E(X^2)\).
- Utiliser \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\).
\[
E(X^2)=\sum x_i^2 p_i
\]
\[
V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2
\]
C Calculer l’écart-type
- Calculer la variance \(V(X)\).
- Prendre la racine carrée positive.
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
D Transformation \(aX+b\)
Si \(Y=aX+b\), alors :
\[
E(Y)=aE(X)+b
\]
\[
V(Y)=a^2V(X)
\]
\[
\sigma(Y)=|a|\sigma(X)
\]
Ajouter \(b\) change la moyenne, mais ne change pas la dispersion.
Pièges classiques (à éviter)
1 Somme des probabilités
Une loi doit toujours vérifier :
\[
\sum p_i = 1
\]
2 Variance
Ne pas oublier le carré dans
\[
E(X^2)=\sum x_i^2 p_i
\]
3 Transformation
Faux :
\[
V(aX+b)=aV(X)+b
\]
La bonne formule est
\[
V(aX+b)=a^2V(X)
\]
Autre piège : si plusieurs valeurs de \(X\) donnent la même valeur pour \(g(X)\),
il faut additionner les probabilités correspondantes.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Vérification
La loi \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}4\) est-elle correcte ?
Corrigé : non, car \(0{,}2+0{,}3+0{,}4=0{,}9\neq 1\).
Q2 Espérance
Calculer \(E(X)\) si \(X\) prend \(1\), \(3\) avec probabilités \(0{,}6\), \(0{,}4\).
Corrigé : \(E(X)=1\times 0{,}6 + 3\times 0{,}4 = 1{,}8\).
Q3 \(E(X^2)\)
Avec la question précédente, calculer \(E(X^2)\).
Corrigé : \(E(X^2)=1^2\times 0{,}6 + 3^2\times 0{,}4 = 0{,}6+3{,}6=4{,}2\).
Q4 Variance
Toujours avec \(E(X)=1{,}8\) et \(E(X^2)=4{,}2\), calculer \(V(X)\).
Corrigé : \(V(X)=4{,}2-(1{,}8)^2=4{,}2-3{,}24=0{,}96\).
Q5 Écart-type
Si \(V(X)=0{,}96\), donner \(\sigma(X)\).
Corrigé : \(\sigma(X)=\sqrt{0{,}96}\approx 0{,}98\).
Q6 Transformation
Si \(E(X)=2\) et \(V(X)=5\), calculer \(E(3X-1)\) et \(V(3X-1)\).
Corrigé : \(E(3X-1)=3\times 2-1=5\) et \(V(3X-1)=3^2\times 5=45\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Lire ou construire une loi de probabilité.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut \(1\).
- Calculer \(E(X)\).
- Calculer \(E(X^2)\).
- En déduire \(V(X)\) puis \(\sigma(X)\).
- Utiliser les formules de \(aX+b\).
Réflexes 20/20
1) Loi bien présentée dans un tableau.
2) Calculer dans l’ordre : \(E(X)\), puis \(E(X^2)\), puis \(V(X)\), puis \(\sigma(X)\).
3) Encadrer les résultats finaux dans la rédaction.
2) Calculer dans l’ordre : \(E(X)\), puis \(E(X^2)\), puis \(V(X)\), puis \(\sigma(X)\).
3) Encadrer les résultats finaux dans la rédaction.
À bannir : oublier un carré, oublier la somme \(=1\), confondre \(E(X^2)\) et \((E(X))^2\),
et inventer une mauvaise formule pour \(V(aX+b)\).