Variable Aleatoire Reelles
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Exercices — Variables aléatoires réelles (1ère Spé)
20 exercices progressifs et solides : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, transformation \(aX+b\), lecture de contexte, rédaction type Bac.
Série A — Bases Série B — Calculs Série C — Avancé Série D — Bac Voir le PDF
Série A — Comprendre et lire une loi
Objectif : identifier une variable aléatoire, vérifier une loi, lire des probabilités.
1 Identifier la variable
On lance un dé équilibré à six faces. On note \(X\) le numéro obtenu.
  1. Quelles sont les valeurs possibles de \(X\) ?
  2. Donner la loi de \(X\).
  3. Vérifier que la somme des probabilités vaut \(1\).
Indication / Corrigé
\(X\) prend les valeurs \(1,2,3,4,5,6\). Comme le dé est équilibré : \[ P(X=k)=\frac16 \quad \text{pour } k\in\{1,2,3,4,5,6\}. \] Vérification : \[ 6\times \frac16=1. \]
2 Gain sur un jeu simple
On lance une pièce équilibrée. Si on obtient Face, on gagne \(4\) euros. Si on obtient Pile, on perd \(1\) euro. On note \(X\) le gain algébrique.
  1. Quelles sont les valeurs prises par \(X\) ?
  2. Écrire la loi de \(X\) dans un tableau.
Indication / Corrigé
\(x\)\(-1\)\(4\)
\(P(X=x)\)\(\frac12\)\(\frac12\)
3 Loi à compléter
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(0\), \(1\), \(3\) avec probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\) et \(p\).
  1. Déterminer \(p\).
  2. La loi est-elle valide ?
Indication / Corrigé
On doit avoir : \[ 0{,}2+0{,}5+p=1 \] donc \[ p=0{,}3. \] La loi est bien valide.
4 Loi impossible ?
Une variable aléatoire \(Y\) prend les valeurs \(2\), \(5\), \(8\) avec probabilités \(0{,}4\), \(0{,}35\), \(0{,}3\).
  1. Cette loi est-elle correcte ?
  2. Justifier.
Corrigé
On calcule : \[ 0{,}4+0{,}35+0{,}3=1{,}05. \] La somme dépasse \(1\), donc cette loi est impossible.
Série B — Espérance, variance, écart-type
Objectif : calculer proprement \(E(X)\), \(E(X^2)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).
5 Espérance directe
Soit \(X\) telle que :
\(x\)\(0\)\(2\)\(5\)
\(P(X=x)\)\(0{,}1\)\(0{,}6\)\(0{,}3\)
Calculer \(E(X)\).
Corrigé détaillé
\[ E(X)=0\times 0{,}1 + 2\times 0{,}6 + 5\times 0{,}3 \] \[ E(X)=0+1{,}2+1{,}5=2{,}7. \] Donc \(\boxed{E(X)=2{,}7}\).
6 Espérance sur un dé
On lance un dé équilibré. On note \(X\) le nombre obtenu.
  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer \(E(X)\).
Corrigé détaillé
\[ E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5. \] Donc \(\boxed{E(X)=3{,}5}\).
7 Calcul complet
Soit \(X\) telle que :
\(x\)\(1\)\(3\)
\(P(X=x)\)\(0{,}6\)\(0{,}4\)
  1. Calculer \(E(X)\).
  2. Calculer \(E(X^2)\).
  3. En déduire \(V(X)\) puis \(\sigma(X)\).
Corrigé détaillé
\[ E(X)=1\times 0{,}6 + 3\times 0{,}4 = 0{,}6+1{,}2=1{,}8 \] \[ E(X^2)=1^2\times 0{,}6 + 3^2\times 0{,}4 = 0{,}6+3{,}6=4{,}2 \] \[ V(X)=4{,}2-(1{,}8)^2=4{,}2-3{,}24=0{,}96 \] \[ \sigma(X)=\sqrt{0{,}96}\approx 0{,}98 \] Réponse : \[ \boxed{E(X)=1{,}8},\quad \boxed{V(X)=0{,}96},\quad \boxed{\sigma(X)\approx 0{,}98} \]
8 Loi à trois valeurs
Soit \(X\) telle que :
\(x\)\(-1\)\(0\)\(4\)
\(P(X=x)\)\(0{,}2\)\(0{,}5\)\(0{,}3\)
Calculer \(E(X)\).
Corrigé
\[ E(X)=(-1)\times 0{,}2 + 0\times 0{,}5 + 4\times 0{,}3 \] \[ E(X)=-0{,}2+0+1{,}2=1. \] Donc \(\boxed{E(X)=1}\).
9 Variance guidée
On reprend l’exercice précédent. Calculer \(E(X^2)\), puis \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Corrigé détaillé
\[ E(X^2)=(-1)^2\times 0{,}2 + 0^2\times 0{,}5 + 4^2\times 0{,}3 \] \[ E(X^2)=0{,}2+0+4{,}8=5. \] Comme \(E(X)=1\), on obtient : \[ V(X)=5-1^2=4 \] \[ \sigma(X)=\sqrt4=2. \] Donc : \[ \boxed{E(X^2)=5},\quad \boxed{V(X)=4},\quad \boxed{\sigma(X)=2} \]
10 Comparer deux lois
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) :
\(0\)\(2\)
\(P(X=\cdot)\)\(0{,}5\)\(0{,}5\)
\(P(Y=\cdot)\)\(0{,}1\)\(0{,}9\)
  1. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
  2. Comparer les deux espérances.
Corrigé
\[ E(X)=0\times 0{,}5 + 2\times 0{,}5 = 1 \] \[ E(Y)=0\times 0{,}1 + 2\times 0{,}9 = 1{,}8 \] Donc \(Y\) a une moyenne théorique plus grande que \(X\).
Série C — Transformations et questions avancées
Objectif : utiliser les formules de \(aX+b\) et raisonner sur des situations un peu plus riches.
11 Transformation simple
On sait que \(E(X)=2\), \(V(X)=5\), \(\sigma(X)=\sqrt5\). On pose \(Y=3X-1\).
  1. Calculer \(E(Y)\).
  2. Calculer \(V(Y)\).
  3. Calculer \(\sigma(Y)\).
Corrigé
\[ E(Y)=3E(X)-1=3\times 2-1=5 \] \[ V(Y)=3^2V(X)=9\times 5=45 \] \[ \sigma(Y)=|3|\sigma(X)=3\sqrt5 \]
12 Bonus et malus
Une note aléatoire \(X\) a pour espérance \(11\) et variance \(4\). On applique un bonus de \(2\) points à tous les élèves : \(Y=X+2\).
  1. Déterminer \(E(Y)\).
  2. Déterminer \(V(Y)\).
  3. Interpréter.
Corrigé détaillé
\[ E(Y)=E(X)+2=13 \] \[ V(Y)=V(X)=4 \] Ajouter une constante augmente la moyenne mais ne change pas la dispersion.
13 Changement d’unité
Une variable \(X\) représente une distance en kilomètres, avec : \[ E(X)=12,\qquad V(X)=9. \] On note \(Y=1000X\), distance en mètres.
  1. Calculer \(E(Y)\).
  2. Calculer \(V(Y)\).
  3. Calculer \(\sigma(Y)\).
Corrigé
\[ E(Y)=1000E(X)=12000 \] \[ V(Y)=1000^2\times 9=9\,000\,000 \] \[ \sigma(Y)=1000\sqrt9=3000 \]
14 Loi d’un gain net
Dans un jeu, le gain brut \(X\) a pour loi :
\(x\)\(0\)\(5\)\(10\)
\(P(X=x)\)\(0{,}5\)\(0{,}3\)\(0{,}2\)
Le joueur paie \(2\) euros pour jouer. On note \(Y=X-2\) le gain net.
  1. Déterminer les valeurs de \(Y\).
  2. Calculer \(E(Y)\).
Corrigé détaillé
Les valeurs de \(Y\) sont \(-2\), \(3\), \(8\). D’abord : \[ E(X)=0\times 0{,}5+5\times 0{,}3+10\times 0{,}2=3{,}5 \] Donc : \[ E(Y)=E(X)-2=1{,}5. \] Le gain net moyen est de \(1{,}5\) euro.
15 Loi de \(X^2\)
Soit \(X\) telle que :
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(1\)\(2\)
\(P(X=x)\)\(0{,}2\)\(0{,}3\)\(0{,}1\)\(0{,}4\)
  1. On pose \(Y=X^2\). Quelles sont les valeurs prises par \(Y\) ?
  2. Déterminer la loi de \(Y\).
Corrigé détaillé
\[ (-2)^2=4,\quad (-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4. \] Donc \(Y\) prend les valeurs \(1\) et \(4\). \[ P(Y=1)=0{,}3+0{,}1=0{,}4 \] \[ P(Y=4)=0{,}2+0{,}4=0{,}6 \]
Série D — Exercices type Bac / rédaction
Objectif : lire un contexte, modéliser, construire la loi, calculer et conclure.
16 Contrôle de qualité
Une machine produit des pièces. Une pièce a \(85\%\) de chances d’être conforme. On définit la variable aléatoire \(X\) par :
  • \(X=5\) si la pièce est conforme ;
  • \(X=-8\) si la pièce n’est pas conforme.
  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer \(E(X)\).
  3. Interpréter le résultat.
Corrigé détaillé
\(x\)\(-8\)\(5\)
\(P(X=x)\)\(0{,}15\)\(0{,}85\)
\[ E(X)=-8\times 0{,}15 + 5\times 0{,}85 \] \[ E(X)=-1{,}2+4{,}25=3{,}05 \] En moyenne, la production rapporte \(3{,}05\) unités de gain par pièce.
17 Tirage d’une carte
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On note \(X\) le gain associé :
  • \(X=10\) si on tire un as ;
  • \(X=3\) si on tire une figure (roi, dame, valet) ;
  • \(X=-2\) sinon.
  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer \(E(X)\).
  3. Le jeu semble-t-il favorable ?
Corrigé détaillé
Dans 32 cartes :
  • 4 as ;
  • 12 figures ;
  • 16 autres cartes.
Donc : \[ P(X=10)=\frac4{32}=\frac18,\quad P(X=3)=\frac{12}{32}=\frac38,\quad P(X=-2)=\frac{16}{32}=\frac12. \] Puis : \[ E(X)=10\times \frac18 + 3\times \frac38 -2\times \frac12 \] \[ E(X)=1{,}25+1{,}125-1=1{,}375. \] Le jeu est favorable au joueur.
18 QCM noté
Un QCM comporte une seule bonne réponse sur \(4\). Un élève répond au hasard à une question. On note \(X\) la note obtenue :
  • \(X=2\) si la réponse est correcte ;
  • \(X=-0{,}5\) sinon.
  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer \(E(X)\).
  3. Interpréter.
Corrigé
\[ P(X=2)=\frac14,\qquad P(X=-0{,}5)=\frac34 \] \[ E(X)=2\times \frac14 -0{,}5\times \frac34 \] \[ E(X)=0{,}5-0{,}375=0{,}125 \] La note moyenne théorique est légèrement positive.
19 Rédaction complète
Une variable aléatoire \(X\) admet la loi suivante :
\(x\)\(0\)\(1\)\(4\)
\(P(X=x)\)\(0{,}3\)\(0{,}4\)\(0{,}3\)
Calculer \(E(X)\), \(E(X^2)\), \(V(X)\), puis \(\sigma(X)\).
Corrigé complet type Bac
On calcule d’abord l’espérance : \[ E(X)=0\times 0{,}3 + 1\times 0{,}4 + 4\times 0{,}3 \] \[ E(X)=0+0{,}4+1{,}2=1{,}6. \] Puis : \[ E(X^2)=0^2\times 0{,}3 + 1^2\times 0{,}4 + 4^2\times 0{,}3 \] \[ E(X^2)=0+0{,}4+4{,}8=5{,}2. \] Alors : \[ V(X)=5{,}2-(1{,}6)^2=5{,}2-2{,}56=2{,}64. \] Enfin : \[ \sigma(X)=\sqrt{2{,}64}\approx 1{,}62. \] Conclusion : \[ \boxed{E(X)=1{,}6},\quad \boxed{E(X^2)=5{,}2},\quad \boxed{V(X)=2{,}64},\quad \boxed{\sigma(X)\approx 1{,}62} \]
20 Exercice de synthèse
Une entreprise offre une prime aléatoire \(X\) en centaines d’euros selon les résultats d’un projet :
\(x\)\(0\)\(2\)\(5\)
\(P(X=x)\)\(0{,}25\)\(0{,}5\)\(0{,}25\)
  1. Calculer \(E(X)\).
  2. Calculer \(V(X)\).
  3. L’entreprise décide ensuite d’ajouter \(100\) euros fixes à chaque prime. On note \(Y=X+1\). Calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
  4. Interpréter les résultats.
Corrigé complet
\[ E(X)=0\times 0{,}25 + 2\times 0{,}5 + 5\times 0{,}25 \] \[ E(X)=0+1+1{,}25=2{,}25 \] \[ E(X^2)=0^2\times 0{,}25 + 2^2\times 0{,}5 + 5^2\times 0{,}25 \] \[ E(X^2)=0+2+6{,}25=8{,}25 \] \[ V(X)=8{,}25-(2{,}25)^2=8{,}25-5{,}0625=3{,}1875 \] Puis : \[ E(Y)=E(X)+1=3{,}25 \] \[ V(Y)=V(X)=3{,}1875 \] Ajouter une constante augmente la moyenne mais ne change pas la dispersion.
Méthode express à retenir
Pour un exercice classique sur une variable aléatoire discrète :
  • je présente la loi dans un tableau ;
  • je vérifie que la somme des probabilités vaut \(1\) ;
  • je calcule \(E(X)\) ;
  • je calcule \(E(X^2)\) ;
  • j’en déduis \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\) ;
  • je calcule \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\) ;
  • si besoin, j’utilise les formules de \(aX+b\).
Pièges à éviter : oublier la somme \(=1\), confondre \(E(X^2)\) et \((E(X))^2\), oublier le carré dans \(x_i^2\), mal utiliser la formule de \(V(aX+b)\).