Variable Aleatoire Reelles
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Cours — Variables aléatoires réelles
Loi de probabilité • espérance • variance • écart-type • transformation \(aX+b\) • méthode Bac.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues (1ère Spé)
- Comprendre ce qu’est une variable aléatoire réelle discrète.
- Déterminer et présenter sa loi de probabilité.
- Calculer l’espérance \(E(X)\).
- Calculer la variance \(V(X)\) et l’écart-type \(\sigma(X)\).
- Utiliser les formules liées à une transformation \(aX+b\).
- Rédiger proprement un exercice type Bac sur les variables aléatoires.
Pièges fréquents
- Oublier que la somme des probabilités doit valoir 1.
- Confondre \(E(X^2)\) et \((E(X))^2\).
- Oublier de mettre le carré sur les valeurs dans \(E(X^2)\).
- Penser que l’espérance est forcément une valeur prise par \(X\).
- Écrire à tort \(V(aX+b)=aV(X)+b\).
Réflexe “copie propre” : je présente la loi dans un tableau, je vérifie la somme des probabilités,
puis je calcule successivement \(E(X)\), \(E(X^2)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
2) Définition d’une variable aléatoire réelle discrète
Définition
Une variable aléatoire réelle discrète \(X\) associe à chaque issue \(\omega\) d’une expérience aléatoire
un nombre réel \(X(\omega)\), et prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs.
Interprétation
Elle modélise souvent un gain, une perte, un score, un nombre de succès,
ou un résultat numérique obtenu au hasard.
Attention : la variable aléatoire n’est pas l’expérience elle-même : c’est la valeur numérique
qu’on associe aux issues.
3) Loi de probabilité
Présentation de la loi
Si \(X\) prend les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\), sa loi est donnée par :
\[
P(X=x_i)=p_i
\qquad \text{avec} \qquad
p_i\ge 0
\quad \text{et} \quad
\sum_{i=1}^{n} p_i = 1.
\]
Tableau de loi
| Valeurs de \(X\) | Probabilités |
|---|---|
| \(x_1\) | \(p_1=P(X=x_1)\) |
| \(x_2\) | \(p_2=P(X=x_2)\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_n\) | \(p_n=P(X=x_n)\) |
Exemple 1 — Lire une loi
Soit \(X\) prenant les valeurs \(0\), \(1\), \(2\) avec probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\).
- \(P(X=0)=0{,}2\)
- \(P(X=1)=0{,}5\)
- \(P(X=2)=0{,}3\)
La loi est correcte.
4) Espérance
Définition
\[
E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i p_i
\]
L’espérance est la moyenne théorique des valeurs prises par \(X\).
Méthode
- Écrire les valeurs \(x_i\).
- Écrire les probabilités \(p_i\).
- Calculer les produits \(x_i p_i\).
- Faire la somme.
Exemple 2 — Calculer une espérance
Soit \(X\) prenant \(0\), \(1\), \(2\) avec probabilités \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\).
\[
E(X)=0\times 0{,}2 + 1\times 0{,}5 + 2\times 0{,}3
\]
\[
E(X)=0 + 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1.
\]
Résultat : \(\boxed{E(X)=1{,}1}\)
Attention : \(E(X)\) peut être un nombre qui n’apparaît pas dans la loi.
5) Variance et écart-type
Variance
\[
V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2
\]
avec
\[
E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i.
\]
Écart-type
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Exemple 3 — Calculer variance et écart-type
On reprend \(X\) telle que :
\[
P(X=0)=0{,}2,\quad P(X=1)=0{,}5,\quad P(X=2)=0{,}3
\]
et on sait déjà que \(E(X)=1{,}1\).
\[
E(X^2)=0^2\times 0{,}2 + 1^2\times 0{,}5 + 2^2\times 0{,}3
\]
\[
E(X^2)=0 + 0{,}5 + 1{,}2 = 1{,}7
\]
\[
V(X)=1{,}7-(1{,}1)^2 = 1{,}7-1{,}21 = 0{,}49
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{0{,}49}=0{,}7
\]
Résultats :
\[
\boxed{V(X)=0{,}49}
\qquad \text{et} \qquad
\boxed{\sigma(X)=0{,}7}
\]
Erreur classique : oublier le carré dans \(x_i^2\) lorsqu’on calcule \(E(X^2)\).
6) Transformation d’une variable : \(Y=aX+b\)
Formules à connaître
\[
E(aX+b)=aE(X)+b
\]
\[
V(aX+b)=a^2V(X)
\]
\[
\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)
\]
Interprétation
- Ajouter \(b\) déplace les valeurs.
- La moyenne change avec \(b\).
- La variance ne dépend pas de \(b\).
- Multiplier par \(a\) change la dispersion.
Exemple 4 — Avec \(Y=2X+3\)
Si \(E(X)=1{,}1\), \(V(X)=0{,}49\) et \(\sigma(X)=0{,}7\), alors :
\[
E(Y)=2\times 1{,}1 + 3 = 5{,}2
\]
\[
V(Y)=2^2\times 0{,}49 = 1{,}96
\]
\[
\sigma(Y)=|2|\times 0{,}7=1{,}4
\]
\[
\boxed{E(Y)=5{,}2},\qquad
\boxed{V(Y)=1{,}96},\qquad
\boxed{\sigma(Y)=1{,}4}
\]
7) Méthode Bac
Schéma de rédaction
Dans un exercice standard :
- je présente la loi dans un tableau ;
- je vérifie que la somme des probabilités vaut \(1\) ;
- je calcule \(E(X)\) ;
- je calcule \(E(X^2)\) ;
- j’en déduis \(V(X)\) ;
- je calcule \(\sigma(X)\) ;
- si besoin, j’utilise les formules pour \(aX+b\).
Conseil de rédaction
Chaque calcul doit être écrit sur une ligne claire, avec une conclusion finale encadrée.
8) Mini-formulaire (à connaître)
Formules principales
\[
E(X)=\sum x_i p_i
\]
\[
E(X^2)=\sum x_i^2 p_i
\]
\[
V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
\]
Transformation
\[
E(aX+b)=aE(X)+b
\]
\[
V(aX+b)=a^2V(X)
\]
\[
\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je sais reconnaître une variable aléatoire réelle discrète.
- Je sais présenter sa loi dans un tableau.
- Je vérifie toujours que \(\sum p_i = 1\).
- Je sais calculer \(E(X)\), \(E(X^2)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
- Je connais les formules pour \(aX+b\).
- Je rédige proprement, étape par étape.
Dernier rappel : ne jamais confondre \(\boxed{E(X^2)}\) et \(\boxed{(E(X))^2}\).