📘 Cours — Variables aléatoires réelles (discrètes)
On étudie une variable aléatoire réelle discrète \(X\) : sa loi,
son espérance \(E(X)\), sa variance \(V(X)\),
son écart-type \(\sigma(X)\) et les transformations \(aX+b\).
Loi
Tableau
Espérance
Variance
\(\sigma\)
\(aX+b\)
1) Variable aléatoire discrète — loi
Définition : une variable aléatoire réelle discrète \(X\) associe à chaque issue
\(\omega\in\Omega\) un nombre réel \(X(\omega)\) et ne prend qu’un nombre fini
(ou dénombrable) de valeurs.
Loi de \(X\) : si \(X\) prend les valeurs \(x_1,\dots,x_n\) avec
\[
P(X=x_i)=p_i,
\qquad p_i\ge 0,\qquad \sum_{i=1}^n p_i = 1.
\]
On présente souvent la loi dans un tableau.
| Valeurs | Probabilités |
|---|---|
| \(x_1\) | \(p_1=P(X=x_1)\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_n\) | \(p_n=P(X=x_n)\) |
⚠️ Vérification obligatoire : la somme des probabilités vaut 1.
2) Espérance \(E(X)\)
Si \(X\) prend \(x_1,\dots,x_n\) avec probabilités \(p_1,\dots,p_n\), alors
\[
E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i\,p_i.
\]
Interprétation : valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Méthode Bac (tableau)
- Écrire la loi : valeurs \(x_i\) et probabilités \(p_i\).
- Calculer \(x_i p_i\) pour chaque ligne.
- Sommer : \(E(X)=\sum x_i p_i\).
3) Variance \(V(X)\) et écart-type \(\sigma(X)\)
Définition (variance)
\[
V(X)=E\big((X-E(X))^2\big).
\]
Mesure de la dispersion autour de la moyenne.
Écart-type
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
\]
Même unité que \(X\).
Formule pratique (à utiliser)
\[
V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2
\]
avec
\[
E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} x_i^2\,p_i.
\]
⚠️ Beaucoup d’erreurs viennent d’un oubli de \(x_i^2\) dans \(E(X^2)\).
4) Transformations : \(Y=aX+b\)
Si \(Y=aX+b\) (avec \(a,b\in\mathbb{R}\)), alors :
\[
E(Y)=aE(X)+b
\]
\[
V(Y)=a^2V(X)
\]
\[
\sigma(Y)=|a|\sigma(X).
\]
Astuce : ajouter \(b\) déplace la moyenne mais ne change pas la dispersion ;
multiplier par \(a\) étire la dispersion (au carré pour la variance).
5) Loi de \(g(X)\) (tableau)
Pour construire la loi de \(Y=g(X)\) :
- Lister les valeurs possibles \(x_i\) de \(X\).
- Calculer \(y_i=g(x_i)\).
- Regrouper les mêmes valeurs \(y\) en additionnant les probabilités correspondantes.
⚠️ Si plusieurs \(x_i\) donnent le même \(y\), on doit additionner les probabilités.
6) Exemples rapides (type Bac)
Exemple 1 — Espérance
Méthode
\(X\) prend \(0,1,2\) avec \(0{,}2;0{,}5;0{,}3\).
\[
E(X)=0\times0{,}2+1\times0{,}5+2\times0{,}3=1{,}1.
\]
Exemple 2 — Variance
Formule pratique
\[
E(X^2)=0^2(0{,}2)+1^2(0{,}5)+2^2(0{,}3)=1{,}7
\]
\[
V(X)=1{,}7-(1{,}1)^2=1{,}7-1{,}21=0{,}49
\Rightarrow \sigma(X)=0{,}7.
\]
✅ À retenir (mini-résumé)
- Loi : \(P(X=x_i)=p_i\), \(p_i\ge 0\), \(\sum p_i=1\).
- \(E(X)=\sum x_i p_i\).
- \(E(X^2)=\sum x_i^2 p_i\).
- \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\), \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).
- Si \(Y=aX+b\) : \(E(Y)=aE(X)+b\), \(V(Y)=a^2V(X)\), \(\sigma(Y)=|a|\sigma(X)\).