Quiz — Variables aléatoires réelles
20 questions solides / niveau bac blanc : loi, espérance, variance, écart-type, transformation \(aX+b\), loi de \(g(X)\), lecture de contexte, interprétation.
Q1. Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(0\), \(2\), \(5\) avec probabilités \(0{,}1\), \(0{,}6\), \(0{,}3\). Quelle est son espérance ?
Non vérifié
Indice
Utiliser \(E(X)=\sum x_i p_i\).
Correction
\[
E(X)=0\times 0{,}1 + 2\times 0{,}6 + 5\times 0{,}3
\]
\[
E(X)=0+1{,}2+1{,}5=2{,}7
\]
Donc \(\boxed{E(X)=2{,}7}\).
Q2. Soit \(X\) telle que \(P(X=1)=0{,}6\) et \(P(X=3)=0{,}4\). Quelle est la valeur de \(E(X^2)\) ?
Non vérifié
Indice
Ne pas oublier de mettre les valeurs au carré.
Correction
\[
E(X^2)=1^2\times 0{,}6 + 3^2\times 0{,}4
\]
\[
E(X^2)=0{,}6+3{,}6=4{,}2
\]
Donc \(\boxed{E(X^2)=4{,}2}\).
Q3. On sait que \(E(X)=1{,}8\) et \(E(X^2)=4{,}2\). Quelle est la variance de \(X\) ?
Non vérifié
Indice
Utiliser \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\).
Correction
\[
V(X)=4{,}2-(1{,}8)^2
\]
\[
V(X)=4{,}2-3{,}24=0{,}96
\]
Donc \(\boxed{V(X)=0{,}96}\).
Q4. Si \(V(X)=0{,}96\), alors \(\sigma(X)\) vaut environ :
Non vérifié
Indice
L’écart-type est la racine carrée de la variance.
Correction
\[
\sigma(X)=\sqrt{0{,}96}\approx 0{,}98
\]
Donc \(\boxed{\sigma(X)\approx 0{,}98}\).
Q5. Si \(E(X)=2\), alors \(E(4X-3)\) vaut :
Non vérifié
Indice
Utiliser \(E(aX+b)=aE(X)+b\).
Correction
\[
E(4X-3)=4E(X)-3=4\times 2-3=5
\]
Donc \(\boxed{E(4X-3)=5}\).
Q6. Si \(V(X)=5\), alors \(V(2X-1)\) vaut :
Non vérifié
Indice
La constante ne change pas la variance.
Correction
\[
V(2X-1)=2^2V(X)=4\times 5=20
\]
Donc \(\boxed{V(2X-1)=20}\).
Q7. Une loi de probabilité discrète est correcte si :
Non vérifié
Indice
Revenir à la définition d’une loi.
Correction
Pour qu’une loi soit correcte, il faut que toutes les probabilités soient positives ou nulles et que leur somme soit égale à \(1\).
Q8. Si \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\), alors \(Y=X^2\) prend les valeurs :
Non vérifié
Indice
Il faut élever chaque valeur au carré.
Correction
\[
(-2)^2=4,\quad (-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4
\]
Donc \(Y\) prend seulement les valeurs \(1\) et \(4\).
Q9. Soit \(X\) telle que \(P(X=0)=0{,}3\), \(P(X=1)=0{,}4\), \(P(X=4)=0{,}3\). Quelle est la valeur de \(E(X)\) ?
Non vérifié
Indice
Faire la somme des produits \(x_i p_i\).
Correction
\[
E(X)=0\times 0{,}3 + 1\times 0{,}4 + 4\times 0{,}3
\]
\[
E(X)=0+0{,}4+1{,}2=1{,}6
\]
Donc \(\boxed{E(X)=1{,}6}\).
Q10. Avec la même loi, quelle est la valeur de \(E(X^2)\) ?
Non vérifié
Indice
Ne pas oublier le carré sur \(4\).
Correction
\[
E(X^2)=0^2\times 0{,}3 + 1^2\times 0{,}4 + 4^2\times 0{,}3
\]
\[
E(X^2)=0+0{,}4+4{,}8=5{,}2
\]
Donc \(\boxed{E(X^2)=5{,}2}\).
Q11. Avec cette même loi, la variance vaut :
Non vérifié
Indice
Utiliser \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\).
Correction
\[
V(X)=5{,}2-(1{,}6)^2=5{,}2-2{,}56=2{,}64
\]
Donc \(\boxed{V(X)=2{,}64}\).
Q12. Une pièce est conforme avec probabilité \(0{,}85\). On définit \(X=5\) si elle est conforme, et \(X=-8\) sinon. Quelle est l’espérance de \(X\) ?
Non vérifié
Indice
Il y a deux valeurs possibles, pondérées par leurs probabilités.
Correction
\[
E(X)=5\times 0{,}85 + (-8)\times 0{,}15
\]
\[
E(X)=4{,}25-1{,}2=3{,}05
\]
Donc \(\boxed{E(X)=3{,}05}\).
Q13. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies ?
Non vérifié
Indice
Une seule proposition est fausse.
Correction
Les trois premières affirmations sont vraies. En revanche, en général :
\[
E(X^2)\neq (E(X))^2
\]
sauf cas particuliers.
Q14. Pour construire la loi de \(Y=g(X)\), quelles étapes sont correctes ?
Non vérifié
Indice
Si deux antécédents donnent la même image, il faut regrouper.
Correction
Pour construire la loi de \(g(X)\), on calcule d’abord les images des valeurs de \(X\), puis on regroupe les valeurs égales et on additionne les probabilités correspondantes.
Q15. Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1\), \(3\) avec probabilités \(0{,}6\), \(0{,}4\). Calculer \(E(X)\).
Non vérifié
Indice
Faire \(1\times 0{,}6 + 3\times 0{,}4\).
Correction
\[
E(X)=1\times 0{,}6 + 3\times 0{,}4=0{,}6+1{,}2=1{,}8
\]
Donc \(\boxed{1{,}8}\).
Q16. Avec cette même loi, calculer \(E(X^2)\).
Non vérifié
Indice
Penser au carré de \(3\).
Correction
\[
E(X^2)=1^2\times 0{,}6 + 3^2\times 0{,}4=0{,}6+3{,}6=4{,}2
\]
Donc \(\boxed{4{,}2}\).
Q17. Avec \(E(X)=1{,}8\) et \(E(X^2)=4{,}2\), calculer \(V(X)\).
Non vérifié
Indice
Appliquer directement la formule de variance.
Correction
\[
V(X)=4{,}2-(1{,}8)^2=4{,}2-3{,}24=0{,}96
\]
Donc \(\boxed{0{,}96}\).
Q18. Si \(V(X)=2{,}64\), calculer \(\sigma(X)\) au centième près.
Non vérifié
Indice
Prendre la racine carrée puis arrondir.
Correction
\[
\sigma(X)=\sqrt{2{,}64}\approx 1{,}6248
\]
donc au centième près :
\[
\boxed{1{,}62}
\]
Q19. Si \(E(X)=11\), calculer \(E(X+2)\).
Non vérifié
Indice
Ajouter une constante ajoute la même constante à l’espérance.
Correction
\[
E(X+2)=E(X)+2=11+2=13
\]
Donc \(\boxed{13}\).
Q20. Si \(V(X)=4\), calculer \(V(3X)\).
Non vérifié
Indice
Multiplier par 3 multiplie la variance par \(3^2\).
Correction
\[
V(3X)=3^2V(X)=9\times 4=36
\]
Donc \(\boxed{36}\).
Q21. Soit \(X\) telle que \(P(X=-1)=0{,}2\), \(P(X=0)=0{,}5\), \(P(X=4)=0{,}3\). Calculer \(E(X)\).
Non vérifié
Indice
Faire la somme des produits \(x_i p_i\).
Correction
\[
E(X)=(-1)\times 0{,}2 + 0\times 0{,}5 + 4\times 0{,}3
\]
\[
E(X)=-0{,}2+0+1{,}2=1
\]
Donc \(\boxed{1}\).
Q22. Si \(E(X)=2\) et \(V(X)=5\), calculer \(\sigma(3X-1)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)\).
Correction
On a :
\[
\sigma(X)=\sqrt{5}
\]
donc
\[
\sigma(3X-1)=|3|\sigma(X)=3\sqrt{5}
\]
Ainsi la réponse est \(\boxed{3\sqrt5}\).