Suites numériques | Fiches de révision — 1ère Spé Maths | Learna

Fiche méthode — Suites numériques (arithmétiques, géométriques et suites affines)

À maîtriser pour le Bac : définitions, reconnaissance, terme général, variations, sommes, limites usuelles, suites de la forme \(u_{n+1}=a u_n+b\) et recherche de seuil.

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Formules Méthodes Sommes Variations Seuil

1) Définition et notations

Une suite \((u_n)\) est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) ou sur \(\{n\ge n_0\}\), qui à chaque entier \(n\) associe un réel \(u_n\).
\(u_n\) est le terme de rang \(n\).
On peut représenter la suite par les points \(M_n(n\,;\,u_n)\) dans un repère.

Forme explicite

\[ u_n=f(n) \]

Le terme se calcule directement à partir du rang \(n\).

Forme par récurrence

\[ u_{n+1}=g(u_n) \]

Il faut un terme initial : \(u_0\) ou \(u_1\).

Attention

Toujours vérifier le rang de départ : \(u_0\) ou \(u_1\). Les formules changent selon le premier terme donné.

2) Suite arithmétique

Définition

\[ \boxed{\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r} \]

\(r\) est la raison. La différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante.

Reconnaître

\[ \boxed{u_{n+1}-u_n=r\ \text{constante}} \]

Si la différence dépend de \(n\), la suite n’est pas arithmétique.

Terme général

\[ \boxed{u_n=u_0+nr} \qquad \boxed{u_n=u_p+(n-p)r} \]

Si la suite commence à \(u_1\) : \[ \boxed{u_n=u_1+(n-1)r} \]

Variations

Raison \(r\)	Comportement
\(r>0\)	strictement croissante
\(r=0\)	constante
\(r<0\)	strictement décroissante

Somme des termes

Pour \(u_p,\dots,u_n\), le nombre de termes vaut \(n-p+1\).

\[ \boxed{\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}} \]

Idée : nombre de termes \(\times\) moyenne du premier et du dernier.

3) Suite géométrique

Définition

\[ \boxed{\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n} \]

\(q\) est la raison. Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant si \(u_n\neq 0\).

Reconnaître

\[ \boxed{\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\ \text{constante}} \qquad (u_n\neq 0) \]

Si le quotient dépend de \(n\), la suite n’est pas géométrique.

Terme général

\[ \boxed{u_n=u_0\,q^n} \qquad \boxed{u_n=u_p\,q^{n-p}} \]

Si la suite commence à \(u_1\) : \[ \boxed{u_n=u_1\,q^{n-1}} \]

Variations (cas usuels)

Conditions	Comportement
\(u_0>0,\ q>1\)	croissante
\(u_0>0,\ 0	décroissante
\(q=1\)	constante
\(q<0\)	alternance de signes

Somme géométrique

Pour \(q\neq 1\) :

\[ \boxed{1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}} \] \[ \boxed{\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}} \]

4) Étudier les variations : méthodes à connaître

Méthode 1 — Signe de \(u_{n+1}-u_n\)

\[ u_{n+1}-u_n\ge 0 \Rightarrow \text{suite croissante} \] \[ u_{n+1}-u_n\le 0 \Rightarrow \text{suite décroissante} \]

Méthode 2 — Comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\)

Méthode valable si tous les termes sont strictement positifs.

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1 \Rightarrow u_{n+1}\ge u_n \]

Méthode 3 — Cas explicite \(u_n=f(n)\)

Si \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), alors la suite \((u_n)\) est croissante. Même idée si \(f\) est décroissante.

Piège

Si \(q<0\), une suite géométrique alterne souvent de signe : on ne peut pas conclure directement “croissante” ou “décroissante”.

5) Suites affines : \(u_{n+1}=a u_n+b\)

C’est une méthode très importante. Si \(a=1\), on retrouve une suite arithmétique : \[ u_{n+1}=u_n+b. \] On suppose donc ici \(a\neq 1\).

Étape 1 — Chercher le point fixe

\[ \ell=a\ell+b \quad\Longleftrightarrow\quad (1-a)\ell=b \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ell=\frac{b}{1-a}} \]

Étape 2 — Translation

\[ v_n=u_n-\ell \] alors \[ v_{n+1}=a v_n \] donc \((v_n)\) est géométrique.

Formule finale

\[ \boxed{v_n=v_0a^n} \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n} \]

Limite

\[ |a|<1 \Rightarrow a^n\to 0 \] donc \[ \boxed{u_n\to \ell} \]

Astuce variation

Si \(0

si \(u_0>\ell\), la suite décroît vers \(\ell\) ;
si \(u_0<\ell\), la suite croît vers \(\ell\).

6) Limites usuelles à retenir

Type de suite	Condition	Limite / comportement
Arithmétique	\(u_n=u_0+nr\)	\(r>0 \Rightarrow u_n\to +\infty\) \(r<0 \Rightarrow u_n\to -\infty\)
Géométrique	\(u_n=u_0q^n\)	\(\|q\|<1 \Rightarrow u_n\to 0\) \(q>1\) et \(u_0>0 \Rightarrow u_n\to +\infty\)
Affine	\(u_{n+1}=a u_n+b\)	si \(\|a\|<1\), alors \(u_n\to \dfrac{b}{1-a}\)

7) Recherche de seuil

Principe

Chercher un seuil consiste à déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \[ u_n\ge A \quad \text{ou} \quad u_n\le A. \] On commence par exprimer \(u_n\), puis on résout l’inéquation.

Cas fréquent en géométrique

Si \(u_n=u_0q^n\), on résout : \[ u_0q^n\ge A \] ce qui conduit souvent à utiliser les logarithmes.

Exemple : \(u_n=2\times 1{,}1^n\). Chercher le plus petit \(n\) tel que \(u_n\ge 5\). \[ 2\times 1{,}1^n\ge 5 \quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}1^n\ge 2{,}5 \] \[ n\ln(1{,}1)\ge \ln(2{,}5) \quad\Longleftrightarrow\quad n\ge \frac{\ln(2{,}5)}{\ln(1{,}1)} \] On calcule puis on prend le plus petit entier convenable.

8) Formulaire express

\[ \boxed{u_{n+1}=u_n+r} \qquad \boxed{u_n=u_0+nr} \] \[ \boxed{u_{n+1}=q u_n} \qquad \boxed{u_n=u_0q^n} \] \[ \boxed{\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}} \] \[ \boxed{\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}} \qquad (q\neq 1) \] \[ \boxed{\ell=\frac{b}{1-a}} \qquad \boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n} \]

9) Erreurs fréquentes

À éviter

confondre \(r\) et \(q\) ;
oublier le rang de départ ;
oublier le nombre de termes dans une somme ;
affirmer “croissante” pour une suite géométrique avec \(q<0\).

Très fréquent en suites affines

oublier le point fixe \(\ell\) ;
poser \(v_n=u_n+\ell\) au lieu de \(u_n-\ell\) ;
écrire une mauvaise formule finale pour \(u_n\).

10) Checklist Bac ultra rapide

Question	Méthode
Montrer arithmétique	Calculer \(u_{n+1}-u_n\) et montrer que c’est constant.
Montrer géométrique	Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrer que c’est constant.
Exprimer \(u_n\)	Formule explicite ou méthode du point fixe pour \(u_{n+1}=a u_n+b\).
Étudier les variations	Étudier \(u_{n+1}-u_n\), ou le quotient, ou la fonction \(f\).
Calculer une somme	Utiliser la formule arithmétique ou géométrique adaptée.
Trouver un seuil	Exprimer \(u_n\), résoudre l’inéquation, puis prendre le plus petit entier convenable.