Fiche Méthode — Suites numériques (arithmétiques & géométriques)
À connaître pour le Bac : définitions, reconnaissance, terme général, variations, sommes, suites affines \(u_{n+1}=a u_n+b\),
résolution de seuils.
Formules
Méthodes
Sommes
Variations
Définition & notations
- Une suite \((u_n)\) est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou \(\{n\ge n_0\}\)) qui associe à chaque entier \(n\) un réel \(u_n\).
- \(u_n\) est le terme de rang \(n\). Représentation : points \(M_n(n;u_n)\).
- Deux formes usuelles :
- Explicite : \(u_n=f(n)\)
- Récurrence : \(u_{n+1}=g(u_n)\) + terme initial
⚠️ Toujours vérifier le rang de départ : \(u_0\) ou \(u_1\). Les formules changent.
Suite arithmétique
Définition
\[
\boxed{\forall n,\; u_{n+1}=u_n+r}
\]
\(r\) est la raison. La différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante.
Formules (terme général)
\[
\boxed{u_n=u_0+nr}
\qquad
\boxed{u_n=u_p+(n-p)r}
\]
Si la suite commence à \(u_1\) : \(u_n=u_1+(n-1)r\).
Variations
| Raison \(r\) | Variation |
|---|---|
| \(r>0\) | croissante |
| \(r=0\) | constante |
| \(r<0\) | décroissante |
Somme
Pour \(u_p,\dots,u_n\) (nombre de termes \(=n-p+1\)) :
\[
\boxed{\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}}
\]
Idée : « nombre de termes × moyenne du 1er et du dernier ».
Suite géométrique
Définition
\[
\boxed{\forall n,\; u_{n+1}=q\,u_n \quad (q\neq 0)}
\]
\(q\) est la raison. Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant si \(u_n\neq 0\).
Formules (terme général)
\[
\boxed{u_n=u_0\,q^n}
\qquad
\boxed{u_n=u_p\,q^{n-p}}
\]
Si la suite commence à \(u_1\) : \(u_n=u_1\,q^{n-1}\).
Variations (cas usuels)
| Conditions | Variation |
|---|---|
| \(u_0>0,\; q>1\) | croissante |
\(u_0>0,\; 0| décroissante | |
| \(q=1\) | constante |
| \(q<0\) | signes alternés (attention) |
Somme géométrique
Pour \(q\neq 1\) :
\[
\boxed{1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}
\]
\[
\boxed{\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}
\]
Méthodes essentielles (Bac)
Reconnaître arithmétique
\[
u_{n+1}-u_n = r \quad \text{(constante)}
\]
On calcule la différence et on vérifie qu’elle ne dépend pas de \(n\).
Reconnaître géométrique
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = q \quad \text{(constante)} \quad (u_n\neq 0)
\]
On calcule le rapport et on vérifie qu’il ne dépend pas de \(n\).
Étudier les variations
- Méthode 1 : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
- Méthode 2 : si \(u_n>0\), comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
- Méthode 3 : si \(u_n=f(n)\), étudier \(f\) sur \([0,+\infty[\).
Erreurs fréquentes
- Confondre \(r\) (arithmétique) et \(q\) (géométrique).
- Oublier le rang de départ (suite définie à partir de \(u_1\)).
- Mauvais nombre de termes dans une somme.
- Pour \(q<0\) : parler de « croissante » sans justification (alternance de signes).
Suites affines : \(u_{n+1}=a u_n+b\)
Méthode standard (Bac). Si \(a=1\), c’est arithmétique (\(u_{n+1}=u_n+b\)). On suppose ici \(a\neq 1\).
1) Point fixe
\[
\ell=a\ell+b
\quad\Longleftrightarrow\quad
(1-a)\ell=b
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\ell=\frac{b}{1-a}}
\]
2) Translation
\[
v_n=u_n-\ell
\quad\Rightarrow\quad
v_{n+1}=a v_n
\]
\[
\boxed{v_n=v_0 a^n}
\qquad\Rightarrow\qquad
\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n}
\]
Limite
- Si \(|a|<1\), alors \(a^n\to 0\) et \(u_n\to \ell\).
- Si \(|a|>1\), divergence sauf si \(u_0=\ell\).
Astuce variation
Si \(|a|<1\), comparer \(u_n\) à \(\ell\) :
\[
u_{n+1}-\ell=a(u_n-\ell)
\]
Le signe de \(u_n-\ell\) se conserve (si \(a>0\)), donc on déduit facilement si la suite “descend vers \(\ell\)” ou “monte vers \(\ell\)”.
Checklist Bac (ultra rapide)
| Question | Méthode |
|---|---|
| Montrer arithmétique / géométrique | Calculer \(u_{n+1}-u_n\) (arithm.) ou \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (géom.) et prouver que c’est constant. |
| Exprimer \(u_n\) | Formules \(u_n=u_0+nr\), \(u_n=u_0q^n\) ou point fixe/translation pour \(u_{n+1}=au_n+b\). |
| Variation | Signe de \(u_{n+1}-u_n\) (ou rapport si \(u_n>0\)). |
| Somme | Arithm. : \(\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}2\). Géom. : \(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). |
| Seuil | Exprimer \(u_n\) puis résoudre \(u_n\ge A\) ou \(u_n\le A\) (inégalité + logarithmes si géométrique). |