Suites Numeriques
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Cours — Suites arithmétiques, géométriques et suites affines
Vocabulaire des suites • définition explicite et par récurrence • variations • suites arithmétiques • suites géométriques • sommes • suites de la forme \(u_{n+1}=au_n+b\) • point fixe • comportement à long terme.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues (1ère spé)
- Comprendre qu’une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\).
- Distinguer une définition explicite et une définition par récurrence.
- Étudier les variations d’une suite.
- Reconnaître et exploiter une suite arithmétique.
- Reconnaître et exploiter une suite géométrique.
- Calculer des sommes de termes consécutifs.
- Transformer une suite \(u_{n+1}=au_n+b\) grâce au point fixe.
Pièges fréquents
- Confondre \(u_n\) et \(u_{n+1}\).
- Oublier le rang initial : certaines suites commencent à \(n=0\), d’autres à \(n=1\).
- Dire qu’une suite est arithmétique ou géométrique après avoir seulement calculé 2 ou 3 termes.
- Se tromper dans le nombre de termes d’une somme : de \(u_p\) à \(u_n\), il y a \(n-p+1\) termes.
Réflexe “copie parfaite” : je précise le type de suite, j’écris la formule utile, puis je remplace soigneusement avant de conclure.
2) Notion de suite numérique
Définition
Une suite numérique \((u_n)\) est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) ou à partir d’un certain rang.
À chaque entier \(n\), elle associe un nombre réel \(u_n\).
Vocabulaire
- \(u_n\) : terme de rang \(n\).
- \(u_0\), \(u_1\) : terme initial selon l’énoncé.
- \((u_n)\) : notation de la suite entière.
Représentation graphique
Une suite peut être représentée par les points
\[
M_n(n ; u_n).
\]
On obtient un ensemble de points discrets, et non une courbe continue.
3) Comment définir une suite ?
| Mode | Écriture | Interprétation |
|---|---|---|
| Définition explicite | \(u_n=f(n)\) | On calcule directement le terme de rang \(n\). |
| Définition par récurrence | \(u_{n+1}=g(u_n)\) | Chaque terme dépend du précédent. |
| Algorithme / tableur | Boucle | Permet de générer les premiers termes et de conjecturer. |
Exemple explicite
Si
\[
u_n=3n+2,
\]
alors
\[
u_0=2,\qquad u_1=5,\qquad u_4=14.
\]
Exemple par récurrence
Si
\[
u_0=1,\qquad u_{n+1}=2u_n+3,
\]
alors
\[
u_1=5,\qquad u_2=13.
\]
4) Variations d’une suite
Définitions
- \((u_n)\) est croissante si \(\forall n,\ u_n\le u_{n+1}\).
- \((u_n)\) est décroissante si \(\forall n,\ u_n\ge u_{n+1}\).
- \((u_n)\) est strictement croissante si \(\forall n,\ u_n<u_{n+1}\).
- \((u_n)\) est strictement décroissante si \(\forall n,\ u_n>u_{n+1}\).
Méthodes
- Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
- Si \(u_n>0\), étudier \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\).
- Si \(u_n=f(n)\), utiliser les variations de la fonction \(f\).
Exemple 1 — Étudier la monotonie de \(u_n=n^2-3n\)
On calcule :
\[
u_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)=n^2-n-2.
\]
Donc :
\[
u_{n+1}-u_n=(n^2-n-2)-(n^2-3n)=2n-2.
\]
- si \(n=0\), \(2n-2=-2<0\) ;
- si \(n\ge 1\), \(2n-2\ge 0\).
5) Suites arithmétiques
Définition
Une suite est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que
\[
u_{n+1}=u_n+r.
\]
Le réel \(r\) s’appelle la raison.
Reconnaissance
Une suite est arithmétique si et seulement si
\[
u_{n+1}-u_n
\]
est constant.
Formule du terme général
\[
u_n=u_0+nr
\]
\[
u_n=u_p+(n-p)r
\]
Variation
- si \(r>0\), la suite est strictement croissante ;
- si \(r<0\), la suite est strictement décroissante ;
- si \(r=0\), la suite est constante.
Exemple
Si \(u_0=5\) et \(r=3\), alors
\[
u_n=5+3n.
\]
En particulier :
\[
u_7=5+3\times 7=26.
\]
6) Suites géométriques
Définition
Une suite est géométrique s’il existe un réel \(q\) tel que
\[
u_{n+1}=q\,u_n.
\]
Le réel \(q\) est la raison.
Reconnaissance
Si \(u_n\neq 0\), une suite est géométrique si
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}
\]
est constant.
Formule du terme général
\[
u_n=u_0q^n
\]
\[
u_n=u_pq^{n-p}
\]
Cas usuels
- si \(u_0>0\) et \(q>1\), la suite est croissante ;
- si \(u_0>0\) et \(0<q<1\), la suite est décroissante ;
- si \(q=1\), la suite est constante ;
- si \(q<0\), les signes alternent en général.
Exemple
Si \(u_0=2\) et \(q=3\), alors
\[
u_n=2\cdot 3^n.
\]
Donc
\[
u_4=2\cdot 3^4=2\cdot 81=162.
\]
7) Sommes de termes consécutifs
Somme arithmétique
Pour une suite arithmétique :
\[
\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}.
\]
Somme géométrique
Si \(q\neq 1\),
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
Donc
\[
\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
Exemple 2 — Somme d’une suite arithmétique
Soit \(u_n=4+2n\). Alors
\[
u_0=4,\qquad u_5=14.
\]
La somme
\[
S=u_0+u_1+\cdots+u_5
\]
contient \(6\) termes, donc
\[
S=\frac{6(4+14)}{2}=54.
\]
Résultat : \(\boxed{S=54}\).
Exemple 3 — Somme d’une suite géométrique
Si \(u_n=3\cdot 2^n\), alors
\[
\sum_{k=0}^{4}u_k=3(1+2+2^2+2^3+2^4).
\]
Donc
\[
\sum_{k=0}^{4}u_k=3\cdot \frac{1-2^5}{1-2}=3\cdot 31=93.
\]
Résultat : \(\boxed{93}\).
8) Suites affines : \(u_{n+1}=au_n+b\)
Principe
Une suite définie par
\[
u_{n+1}=au_n+b
\]
n’est pas forcément arithmétique ni géométrique.
On la traite souvent en introduisant le point fixe.
Point fixe
On cherche \(\ell\) tel que
\[
\ell=a\ell+b.
\]
Si \(a\neq 1\), alors
\[
\ell=\frac{b}{1-a}.
\]
Translation utile
On pose
\[
v_n=u_n-\ell.
\]
Alors
\[
v_{n+1}=av_n.
\]
La suite \((v_n)\) devient géométrique.
Formule à connaître
\[
u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n
\]
avec
\[
\ell=\frac{b}{1-a}\qquad (a\neq 1).
\]
Exemple 4 — Étude de \(u_{n+1}=0{,}5u_n+4\)
On cherche le point fixe :
\[
\ell=0{,}5\ell+4
\Rightarrow 0{,}5\ell=4
\Rightarrow \ell=8.
\]
On pose
\[
v_n=u_n-8.
\]
Alors
\[
v_{n+1}=0{,}5v_n.
\]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\), donc
\[
v_n=(u_0-8)(0{,}5)^n.
\]
Finalement :
\[
\boxed{u_n=8+(u_0-8)(0{,}5)^n}.
\]
9) Comportement à long terme — limites
| Type | Forme | Comportement |
|---|---|---|
| Suite arithmétique | \(u_n=u_0+nr\) |
Si \(r>0\), alors \(u_n\to +\infty\). Si \(r<0\), alors \(u_n\to -\infty\). Si \(r=0\), la suite est constante. |
| Suite géométrique | \(u_n=u_0q^n\) |
Si \(|q|<1\), alors \(u_n\to 0\). Si \(q>1\) et \(u_0>0\), alors \(u_n\to +\infty\). Si \(q<-1\), pas de convergence en général. |
| Suite affine | \(u_{n+1}=au_n+b\) | Si \(|a|<1\), alors \(u_n\to \dfrac{b}{1-a}\). |
Attention : si la raison d’une suite géométrique est négative, la suite change de signe et n’est généralement pas monotone.
10) Erreurs fréquentes à éviter
Erreurs classiques
- Confondre suite arithmétique et suite géométrique.
- Écrire \(u_n=u_0+r^n\) pour une suite arithmétique : c’est faux.
- Oublier que la somme de \(u_p\) à \(u_n\) contient \(n-p+1\) termes.
- Utiliser le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) alors que certains termes peuvent être nuls.
Très fréquent sur \(u_{n+1}=au_n+b\)
- Oublier de chercher le point fixe \(\ell\).
- Poser \(v_n=u_n+\ell\) au lieu de \(v_n=u_n-\ell\).
- Conclure trop vite sans réécrire proprement \(u_n\).
11) Formulaire à connaître
Suite arithmétique
\[
u_{n+1}=u_n+r
\]
\[
u_n=u_0+nr
\]
\[
\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}
\]
Suite géométrique
\[
u_{n+1}=qu_n
\]
\[
u_n=u_0q^n
\]
\[
1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad (q\neq 1)
\]
Suite affine
\[
u_{n+1}=au_n+b
\]
\[
\ell=\frac{b}{1-a}\qquad (a\neq 1)
\]
\[
u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je sais distinguer une définition explicite et une définition par récurrence.
- Je sais reconnaître une suite arithmétique et une suite géométrique.
- Je connais les formules de \(u_n\) dans les deux cas.
- Je sais étudier les variations avec \(u_{n+1}-u_n\).
- Je sais calculer une somme de termes consécutifs.
- Je sais transformer une suite affine grâce au point fixe.
- Je vérifie toujours le rang de départ et le nombre de termes.
Dernier rappel : notation FR : \([a ; b]\) et écriture claire des étapes.