Suites numériques — Arithmétiques & Géométriques
Objectifs : définir une suite, étudier ses variations, reconnaître arithmétique/géométrique,
calculer un terme, calculer une somme, traiter les suites affines \(u_{n+1}=a u_n+b\) (point fixe / translation).
Définitions
Récurrence
Variations
Sommes
Point fixe
1) Notion de suite — notations et représentations
- Une suite \((u_n)\) est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou \(\{n\ge n_0\}\)) qui associe à chaque entier \(n\) un réel \(u_n\).
- \(u_n\) est le terme de rang \(n\). On note parfois \(u(n)\).
- On peut représenter la suite par les points \(M_n(n\,;\,u_n)\) dans un repère.
Exemple — Suite explicite
Si \(u_n=3n-2\) alors \(u_0=-2\), \(u_1=1\), \(u_5=13\).
Exemple — Suite par récurrence
Si \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=1{,}5u_n+1\), alors \(u_1=4\), \(u_2=7\), etc.
2) Comment définir une suite ?
| Type | Définition | Utilité |
|---|---|---|
| Explicite | \(u_n=f(n)\) (formule directe) | Calcul rapide de \(u_{100}\), étude via une fonction |
| Récurrence | \(u_{n+1}=g(u_n)\) + terme initial | Modélisation (économie, population), convergence |
| Algorithme / tableur | Calcul automatique des termes successifs | Recherche de seuil, simulation |
Attention
On ne conclut pas “arithmétique / géométrique” uniquement avec les premiers termes : il faut le prouver pour tout \(n\).
3) Variations d’une suite
- \((u_n)\) est croissante si \(\forall n,\ u_n \le u_{n+1}\).
- \((u_n)\) est décroissante si \(\forall n,\ u_n \ge u_{n+1}\).
- \((u_n)\) est strictement croissante si \(\forall n,\ u_n < u_{n+1}\) (idem décroissante).
Méthode 1 — Étudier \(u_{n+1}-u_n\)
Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) donne la monotonie.
\[
\boxed{u_{n+1}-u_n \ge 0 \Rightarrow (u_n)\ \text{croissante}}
\]
\[
\boxed{u_{n+1}-u_n \le 0 \Rightarrow (u_n)\ \text{décroissante}}
\]
Méthode 2 — Étudier \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (si \(u_n>0\))
Valable si tous les termes sont positifs.
\[
\boxed{\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1 \Rightarrow u_{n+1}\ge u_n}
\]
\[
\boxed{\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1 \Rightarrow u_{n+1}\le u_n}
\]
Méthode 3 — Si \(u_n=f(n)\) (suite explicite)
Étudier \(f\) sur \([0,+\infty[\) : si \(f\) est croissante alors \((u_n)\) est croissante (idem décroissante).
4) Suites arithmétiques
Définition — raison \(r\)
\[
\boxed{\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r}
\]
Le nombre \(r\) est la raison.
Reconnaître
\[
\boxed{u_{n+1}-u_n=r\ \text{(constante)}}
\]
Si \(u_{n+1}-u_n\) dépend de \(n\), ce n’est pas arithmétique.
Terme général
\[
\boxed{u_n=u_0+nr}
\qquad
\boxed{u_n=u_p+(n-p)r}
\]
Variations
- Si \(r>0\) : croissante.
- Si \(r<0\) : décroissante.
- Si \(r=0\) : constante.
Exemple
\(u_3=7\) et \(r=4\) :
\[
u_{10}=u_3+(10-3)r=7+7\times 4=35.
\]
5) Suites géométriques
Définition — raison \(q\neq 0\)
\[
\boxed{\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n}
\]
Le nombre \(q\) est la raison.
Reconnaître (si \(u_n\neq 0\))
\[
\boxed{\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\ \text{(constante)}}
\]
Terme général
\[
\boxed{u_n=u_0\,q^n}
\qquad
\boxed{u_n=u_p\,q^{n-p}}
\]
Variations (cas usuels)
- Si \(u_0>0\) et \(q>1\) : croissante.
- Si \(u_0>0\) et \(0
- Si \(q=1\) : constante.
- Si \(q<0\) : alternance de signes.
Exemple
\(u_2=18\) et \(q=3\) :
\[
u_6=u_2\cdot 3^{6-2}=18\cdot 81=1458.
\]
6) Sommes — formules à connaître
Somme arithmétique
De \(u_p\) à \(u_n\) : nombre de termes \(=n-p+1\).
\[
\boxed{\displaystyle \sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}}
\]
Somme géométrique (\(q\neq 1\))
\[
\boxed{\displaystyle 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}
\]
\[
\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}
\]
Classique
\[
\boxed{\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}}
\]
7) Suites affines : \(u_{n+1}=a u_n+b\)
Étape 1 — Point fixe
\[
\ell=a\ell+b \iff (1-a)\ell=b \quad\Rightarrow\quad \boxed{\ell=\frac{b}{1-a}}\ (a\neq 1)
\]
Étape 2 — Translation
On pose \(\boxed{v_n=u_n-\ell}\). Alors \(v_{n+1}=a v_n\), donc
\[
\boxed{v_n=v_0a^n}
\qquad\Rightarrow\qquad
\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n}
\]
Cas importants
- Si \(|a|<1\) : \(u_n\to \ell\).
- Si \(a=1\) : arithmétique \(u_{n+1}=u_n+b\).
- Si \(|a|>1\) : divergence sauf \(u_0=\ell\).
Exemple : \(u_{n+1}=0{,}5u_n+4\)
\(\ell=8\) puis \(\boxed{u_n=8+(u_0-8)\left(\frac12\right)^n}\) et \(u_n\to 8\).
8) Méthodes Bac — check-list
| Question | Méthode |
|---|---|
| Montrer arithmétique / géométrique | Calculer \(u_{n+1}-u_n\) ou \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrer que c’est constant. |
| Exprimer \(u_n\) | Formules \(u_n=u_0+nr\), \(u_n=u_0q^n\), ou point fixe si \(u_{n+1}=a u_n+b\). |
| Somme | Arith : \(\frac{(nb\ termes)(1er+dernier)}2\). Géo : \(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). |
| Limite / seuil | \(|a|<1\Rightarrow u_n\to \ell\). Seuil : résoudre \(u_n\ge A\) après expression explicite. |
Erreurs fréquentes
- Mauvais rang de départ (\(u_0\) vs \(u_1\)).
- Mauvais nombre de termes dans une somme.
- Confusion raison \(r\) / \(q\).
- Oublier la translation \(v_n=u_n-\ell\).