Exercices corrigés — Suites numériques (1ère spé)

1. \(u_0=4\), \(u_1=0\), \(u_4=0\) et \(u_{10}=54\).

2. \[u_{n+1}=(n+1)^2-5(n+1)+4=n^2-3n.\]

3. \(u_n=40\) équivaut à \(n^2-5n-36=0\), soit \((n-9)(n+4)=0\). Dans \(\mathbb N\), on obtient \(n=9\).

4. \(u_n=41\) équivaut à \(n^2-5n-37=0\). Son discriminant vaut \(173\), qui n’est pas un carré parfait ; aucune racine n’est un entier naturel. Donc \(41\) n’est pas un terme de la suite.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)+1=2n^2+n\).

2. \(u_{n-1}=2(n-1)^2-3(n-1)+1=2n^2-7n+6\).

3. \(u_{n+2}=2n^2+5n+3\) et \(u_{2n}=8n^2-6n+1\).

4. \(u_{n+1}-u_n=(2n^2+n)-(2n^2-3n+1)=4n-1\).

5. \(u_{2n}-4u_n=(8n^2-6n+1)-(8n^2-12n+4)=6n-3\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. On obtient : \((P_1,C_1)=(1,8)\), \((P_2,C_2)=(4,12)\), \((P_3,C_3)=(9,16)\), \((P_4,C_4)=(16,20)\).

2. Le carré intérieur comporte \(n\) lignes de \(n\) pommiers : \(P_n=n^2\).

3. \(C_n=(n+2)^2-n^2=4n+4\).

4. \(P_n=C_n\) donne \(n^2-4n-4=0\). Les solutions réelles sont \(2\pm2\sqrt2\), aucune n’est entière : il n’existe donc pas de rang entier donnant l’égalité.

5. \(P_n\gt C_n\) équivaut à \(n^2-4n-4\gt 0\). Pour les entiers positifs, cela commence à \(n=5\) car \(P_4=16\lt C_4=20\) et \(P_5=25\gt C_5=24\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=-3\), \(u_2=-1\), \(u_3=4\), \(u_4=12\).

N = ...
u = -2
for n in range(0, N):
    u = u + 3*n - 1
print(u)

3. Pour \(N=5\), on obtient \(u_5=23\).

4. Le calcul de \(u_{n+1}\) utilise le terme précédent \(u_n\) : la suite est donc définie par récurrence.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_0=2\), \(u_1=6\), \(u_2=17\).

2. La formule traduit \[u_{n+1}=2u_n+3n+2.\]

3. \(u_3=2 imes17+3 imes2+2=42\) puis \(u_4=2 imes42+3 imes3+2=95\).

4. En B4 : =2*B3+3*A3+2.

5. Les écarts valent \(4,11,25,53,\ldots\) et ne sont pas constants : la suite n’est pas arithmétique.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_3=8\), \(u_4=13\), \(u_5=2\), \(u_6=-35\).

2. La relation utilise simultanément \(u_n\) et \(u_{n+1}\) : il faut donc mémoriser deux valeurs.

a = -2
b = 1
for n in range(1, N-1):
    c = 2*b - 3*a
    a = b
    b = c
print(b)

4. La suite donne successivement \(u_7=-76\), \(u_8=-47\), \(u_9=134\), \(u_{10}=409\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Le nuage suggère une décroissance jusqu’au rang \(3\) puis une croissance.

2. \[u_{n+1}-u_n=2n-5.\]

3. Cette différence est négative pour \(n=0,1,2\) et positive pour \(n\ge3\).

4. La suite est strictement décroissante de \(u_0\) à \(u_3\), puis strictement croissante à partir du rang \(3\).

5. \(u_3=9-18+5=-4\). Le minimum est donc \(-4\), atteint au rang \(3\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_0=\dfrac12\), \(u_1=1\), \(u_4=\dfrac32\).

2. \[u_{n+1}-u_n=\dfrac{3}{(n+3)(n+2)}\gt 0.\]

3. La suite est strictement croissante.

4. \(u_n-2=\dfrac{2n+1-2n-4}{n+2}=-\dfrac3{n+2}\lt 0\), donc \(u_n\lt 2\).

5. \(\dfrac{2n+1}{n+2}\ge\dfrac32\) équivaut à \(4n+2\ge3n+6\), donc \(n\ge4\). Le premier rang est \(4\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Le numérateur \(n+1\) et le dénominateur \(3^n\) sont positifs : \(u_n\gt 0\).

2. \[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}.\]

3. \(n+2\lt 3n+3\) pour tout \(n\ge0\), donc le quotient est strictement inférieur à \(1\).

4. La suite est strictement décroissante.

5. \(u_0=1\), \(u_1=\dfrac23\), \(u_2=\dfrac13\), \(u_3=\dfrac4{27}\), ce qui confirme la décroissance.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=6\), \(u_2=6\), \(u_3=4\), \(u_4=2\), \(u_5=2\), \(u_6=6\).

2. \[u_{n+1}-u_n=n^2-5n+4=(n-1)(n-4).\]

3. La différence est positive pour \(n=0\) et \(n\ge5\), nulle pour \(n=1,4\), négative pour \(n=2,3\).

4. La suite croît de \(u_0\) à \(u_1\), reste constante entre \(u_1\) et \(u_2\), décroît jusqu’à \(u_4\), reste constante entre \(u_4\) et \(u_5\), puis croît à partir de \(u_5\).

5. La valeur minimale est \(2\), atteinte aux rangs \(4\) et \(5\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_8=\dfrac32+8 imes\dfrac54=\dfrac{23}{2}\) et \(u_{20}=\dfrac{53}{2}\).

2. \(-16-11=9r\), donc \(r=-3\). Puis \(11=u_0+4(-3)\), donc \(u_0=23\).

3. \(u_{15}=-4+15r\) et \(296=\dfrac{16}{2}(-4+u_{15})=8(-8+15r)\). Donc \(296=-64+120r\) et \(r=3\).

4. \(41-5=18r\), donc \(r=2\). Alors \(u_0=5-24=-19\). Enfin \(S_{30}=\dfrac{31(-19+41)}2=341\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[u_n=\dfrac52+(n-1)\dfrac32=\dfrac{3n+2}{2}.\]

2. \(u_{40}=61\).

3. \(\dfrac{3n+2}{2}=100\) donne \(3n=198\), donc \(n=66\).

4. \(\dfrac{3n+2}{2}=101\) donne \(3n=200\), qui n’a pas de solution entière : \(101\) n’est pas un terme.

5. \(S=\dfrac{40}{2}(u_1+u_{40})=20(\dfrac52+61)=1270\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_0=u_1-r\) et \(u_2=u_1+r\).

2. \(3u_1=60\), donc \(u_1=20\).

3. \(20(20^2-r^2)=7280\), donc \(400-r^2=364\) et \(r^2=36\).

4. La raison étant négative, \(r=-6\). Ainsi \((u_0,u_1,u_2)=(26,20,14)\).

5. \(u_n=26-6n\) et \(u_{20}=-94\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(3m=42\), donc \(m=14\).

2. \((m-r)^2+m^2+(m+r)^2=3m^2+2r^2\).

3. \(660=3 imes14^2+2r^2=588+2r^2\), donc \(r^2=36\). Comme \(r\gt 0\), \(r=6\).

4. Les termes sont \(8,14,20\).

5. Si \(u_5=14\) et \(r=6\), alors \(u_0=u_5-5r=14-30=-16\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Chaque passage à la rangée suivante ajoute \(3\) places : raison \(r=3\).

2. \(u_n=18+3(n-1)=3n+15\).

3. \(u_{25}=90\).

4. \(S_n=\dfrac n2(18+3n+15)=\dfrac{3n(n+11)}2\).

5. \(\dfrac{3n(n+11)}2=648\) donne \(n(n+11)=432\), soit \(n^2+11n-432=0=(n-16)(n+27)\). Donc il y a \(16\) rangées.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_5=\dfrac{3}{8}\) et \(S_5=12\dfrac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=\dfrac{189}{8}\).

2. \(27=3q^2\), donc \(q^2=9\). La positivité permet de retenir \(q=3\). Ainsi \(u_5=729\).

3. \(q=6/(-2)=-3\). Donc \(u_4=-2(-3)^4=-162\) et \(S_4=-2\dfrac{1-(-3)^5}{1+3}=-122\).

4. Dans le cas \(u_n=3 imes3^n=3^{n+1}\), on a \(u_7=6561\lt 10000\) et \(u_8=19683\gt 10000\). Le premier rang est \(8\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(p_{n+1}=1{,}04p_n\).

2. Suite géométrique de raison \(1{,}04\) : \(p_n=250 imes1{,}04^n\).

3. \(p_8\approx342{,}14\) €.

4. \(\sum_{k=0}^{5}p_k=250\dfrac{1-1{,}04^6}{1-1{,}04}\approx1658{,}24\) €.

5. \(p_8\approx342{,}14\lt 350\) et \(p_9\approx355{,}83\gt 350\). Le premier rang est \(9\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(qS_n=q+q^2+\cdots+q^{n+1}\).

2. \(S_n-qS_n=1-q^{n+1}\), donc \((1-q)S_n=1-q^{n+1}\).

3. Comme \(q eq1\), on divise par \(1-q\) et on obtient la formule annoncée.

4. \(S_9=\dfrac{1-(1/2)^{10}}{1/2}=2\left(1-\dfrac1{1024} ight)=\dfrac{1023}{512}\).

5. La somme demandée vaut \(2S_9=\dfrac{1023}{256}\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=-8\), \(u_2=4\), \(u_3=-2\), \(u_4=1\), \(u_5=-\dfrac12\).

2. Les signes alternent : la suite globale n’est pas monotone.

3. \(u_{2n}=16(1/4)^n\) et \(u_{2n+1}=-8(1/4)^n\).

4. La sous-suite paire est positive et strictement décroissante. La sous-suite impaire est négative et strictement croissante.

5. \(\sum_{k=0}^{7}u_k=16\dfrac{1-(-1/2)^8}{1+1/2}=\dfrac{85}{8}\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_{n+1}=u_n+r\).

2. \(v_{n+1}=3^{u_n+r}=3^r v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(3^r\).

3. \(u_n=1+2n\) et \(v_n=3^{1+2n}=3 imes9^n\).

4. \(\sum_{k=0}^{5}v_k=3\dfrac{1-9^6}{1-9}=199290\).

5. Si \(r\gt 0\), alors \(3^r\gt 1\) et \((v_n)\) est croissante. Si \(r\lt 0\), alors \(0\lt 3^r\lt 1\) et elle est décroissante (les termes étant positifs).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(-5+pr=43\), donc \(pr=48\).

2. \(u_{p-1}=-5+(p-1)r\).

3. \(204=\dfrac p2\left(-10+(p-1)r ight)\).

4. Avec \(r=48/p\), on obtient \(204=\dfrac p2(38-48/p)=19p-24\). Donc \(p=12\).

5. \(r=4\) et \(u_n=-5+4n\). Vérification : \(u_{12}=43\) et \(\sum_{k=0}^{11}u_k=\dfrac{12(-5+39)}2=204\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(-\dfrac34 q^p=-24\) donne \(q^p=32\).

2. Les possibilités entières sont \((q,p)=(32,1)\) ou \((2,5)\).

3. Pour \((32,1)\), \(S_1=-\dfrac34(1+32)=-\dfrac{99}{4}\), ce qui ne convient pas. Pour \((2,5)\), \(S_5=-\dfrac34(1+2+4+8+16+32)=-\dfrac{189}{4}\). Donc \(q=2\) et \(p=5\).

4. \(u_n=-\dfrac34\,2^n\).

5. \(|u_n|\gt 1000\) équivaut à \(\dfrac34 2^n\gt 1000\). Or \(|u_{10}|=768\lt 1000\) et \(|u_{11}|=1536\gt 1000\). Le premier rang est \(11\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=5{,}2\), \(u_2=7{,}12\), \(u_3=8{,}272\).

2. \(v_{n+1}=0{,}6v_n+4+0{,}4a\). Pour obtenir une suite géométrique, il faut \(4+0{,}4a=0\), donc \(a=-10\).

3. Ainsi \(v_n=u_n-10\), \(v_0=-8\) et la raison vaut \(0{,}6\).

4. \(v_n=-8 imes0{,}6^n\) puis \(u_n=10-8 imes0{,}6^n\).

5. \(0{,}6^n\) décroît, donc \(-8 imes0{,}6^n\) croît : \((u_n)\) est strictement croissante.

6. \(S_n=10(n+1)-8\dfrac{1-0{,}6^{n+1}}{1-0{,}6}=10n-10+20 imes0{,}6^{n+1}\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=\dfrac4{13}\), \(u_2=\dfrac4{25}\), \(u_3=\dfrac4{37}\).

2. Si \(u_n\gt 0\), alors \(3u_n+1\gt 0\) et donc \(u_{n+1}\gt 0\). Comme \(u_0\gt 0\), la propriété est vraie pour tout \(n\).

3. \[v_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{u_n}=3+v_n.\] Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(3\).

4. \(v_0=\dfrac14\), donc \(v_n=\dfrac14+3n=\dfrac{12n+1}{4}\) et \(u_n=\dfrac4{12n+1}\).

5. Le dénominateur augmente strictement : \((u_n)\) est strictement décroissante.

6. \(\dfrac4{12n+1}\lt 0{,}05=\dfrac1{20}\) donne \(80\lt 12n+1\), donc \(n\gt 79/12\). Le premier rang est \(7\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=\dfrac85\), \(u_2=\dfrac{13}{7}\), \(u_3=\dfrac{80}{41}\).

2. \[v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{4(u_n+1)}{u_n+4}-2}{\dfrac{4(u_n+1)}{u_n+4}+2}=\dfrac13\,\dfrac{u_n-2}{u_n+2}=\dfrac13v_n.\]

3. \(v_0=-\dfrac13\), donc \(v_n=-\dfrac1{3^{n+1}}\).

4. De \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\), on obtient \(u_n=2\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\), donc \[u_n=2\dfrac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}+1}.\]

5. La formule donne \(u_0=1\) et, pour \(n\ge0\), le quotient \(\dfrac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}+1}\) est compris entre \(1/2\) et \(1\). Ainsi \(1\le u_n\lt 2\).

6. Comme \(v_n\lt 0\) et \(v_n\) augmente vers \(0\) (sa valeur absolue est divisée par \(3\)), et que \(2(1+v)/(1-v)\) est croissante en \(v\) sur cet intervalle, \((u_n)\) est strictement croissante.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_2=\dfrac{23}{3}\) et \(v_2=\dfrac{27}{4}\).

2. \[w_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{u_n+2v_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{12}=\dfrac1{12}w_n.\] Or \(w_1=-11\), donc \(w_n=-11(1/12)^{n-1}\).

3. Un calcul donne \(x_{n+1}=3u_{n+1}+8v_{n+1}=3u_n+8v_n=x_n\). Comme \(x_1=77\), \(x_n=77\).

4. Avec \(v_n=u_n+w_n\), on a \(11u_n+8w_n=77\). Donc \(u_n=7+8(1/12)^{n-1}\) et \(v_n=7-3(1/12)^{n-1}\).

5. \(w_n=v_n-u_n\lt 0\), donc \(v_n\lt u_n\) pour tout \(n\).

6. Le facteur \((1/12)^{n-1}\) devient très petit : les deux suites se rapprochent de \(7\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=5\), \(u_2=12\), \(u_3=23\), \(u_4=38\). On conjecture \(u_n=2n^2+n+2\).

def terme(N):
    u = 2
    for n in range(N):
        u = u + 4*n + 3
    return u

3. Initialisation : \(u_0=2\). Hérédité : si \(u_n=2n^2+n+2\), alors \(u_{n+1}=2n^2+n+2+4n+3=2n^2+5n+5=2(n+1)^2+(n+1)+2\).

4. \(u_{n+1}-u_n=4n+3\gt 0\), donc la suite est strictement croissante.

5. \(u_5=57\) et \(S_5=2+5+12+23+38+57=137\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_2=1\), \(u_3=\dfrac34\), \(u_4=\dfrac12\), \(u_5=\dfrac5{16}\). Les différences et quotients ne sont pas constants.

2. \(v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac12u_{n+1}=\dfrac12u_{n+1}-\dfrac14u_n=\dfrac12v_n\). Comme \(v_0=1\), \(v_n=2^{-n}\).

3. Comme \(u_{n+1}=v_n+\dfrac12u_n\) et \(v_{n+1}=\dfrac12v_n\), \(w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}=2+w_n\). Or \(w_0=0\), donc \(w_n=2n\).

4. \(u_n=w_nv_n=2n imes2^{-n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}\).

5. La formule de somme se démontre par récurrence : elle est vraie pour \(n=1\) car \(S_1=1\). Si elle est vraie au rang \(n\), alors \(S_{n+1}=S_n+\dfrac{n+1}{2^n}=4-\dfrac{2n+4}{2^n}+\dfrac{n+1}{2^n}=4-\dfrac{n+3}{2^n}=4-\dfrac{2(n+1)+4}{2^{n+1}}\).

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(u_1=149{,}8\), \(u_2=157{,}836\), \(u_3=164{,}42552\).

2. Chaque année on conserve \(82\%\) de l’effectif puis on ajoute \(35\), d’où la relation.

3. \(0{,}18\ell=35\), donc \(\ell=\dfrac{1750}{9}\approx194{,}44\).

4. \(v_{n+1}=0{,}82v_n\). Avec \(v_0=140-\dfrac{1750}{9}=-\dfrac{490}{9}\), \[u_n=\dfrac{1750}{9}-\dfrac{490}{9}\left(\dfrac{41}{50}\right)^n.\]

5. \(u_{n+1}-u_n=35-0{,}18u_n=0{,}18(\ell-u_n)\), donc la différence est positive tant que \(u_n\lt \ell\).

n = 0
u = 140
while u <= 180:
    u = 0.82*u + 35
    n = n + 1
print(n, u)

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Les transferts sont internes au système : le volume total reste \(2400\) m³.

2. \(A_{n+1}=0{,}92A_n+0{,}12B_n=0{,}92A_n+0{,}12(2400-A_n)=0{,}8A_n+288\).

3. \(A_1=1008\), \(A_2=1094{,}4\), \(A_3=1163{,}52\).

4. \(V_{n+1}=A_{n+1}-1440=0{,}8(A_n-1440)=0{,}8V_n\). Comme \(V_0=-540\), \(V_n=-540(0{,}8)^n\). Donc \(A_n=1440-540(0{,}8)^n\) et \(B_n=960+540(0{,}8)^n\).

5. \(A_{n+1}-A_n=0{,}2(1440-A_n)\gt 0\) tant que \(A_n\lt 1440\) : \((A_n)\) croît. Comme \(B_n=2400-A_n\), \((B_n)\) décroît.

6. \(A_{11}\approx1393{,}61\lt 1400\) et \(A_{12}\approx1402{,}89\ge1400\). Le premier rang est \(12\).

7. \(1440\) m³ représente le volume d’équilibre du bassin A : si A contient exactement \(1440\) m³, les échanges du jour le laissent à cette valeur.

Conclusion : les réponses sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.