Suites Numeriques
1ERE-SPE • MATHS — Learna
📘 Cours 🧠 Fiche ✏️ Exercices ⚡ Quiz
← Retour à la classe 1ère Spé ↗ Voir tous les chapitres de maths
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Login Register
Exercices — Suites arithmétiques, géométriques et suites affines
Série solide niveau 1re Spé : reconnaissance, terme général, variations, sommes, recherche de seuil, suites définies par récurrence, suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\), et exercices de modélisation type Bac.
Récurrence Explicite Monotonie Sommes Seuil Point fixe Type Bac

Consignes de rédaction

  • Préciser soigneusement le rang de départ : \(u_0\) ou \(u_1\).
  • Pour montrer qu’une suite est arithmétique : calculer \(u_{n+1}-u_n\) et prouver que c’est constant.
  • Pour montrer qu’une suite est géométrique : calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et prouver que c’est constant.
  • Pour les variations : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou du quotient si les termes sont positifs.
  • Pour une suite affine \(u_{n+1}=au_n+b\) : chercher le point fixe \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\), puis poser \(v_n=u_n-\ell\).

A — Reconnaître et calculer

Niveau 1 → 2
Ex 1 Suite explicite linéaire
Base
On définit \(u_n=5n-7\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_8\) et \(u_{20}\).
  2. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  3. En déduire la nature de la suite.
  4. Préciser son sens de variation.
Ex 2 Suite géométrique simple
Base
On considère \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n\).
  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Calculer \(u_6\).
  4. Étudier les variations de la suite.
Ex 3 Reconnaissance à partir de termes
Base
On donne \(u_1=8\), \(u_2=11\), \(u_3=14\), \(u_4=17\).
  1. Conjecturer la nature de la suite.
  2. Déterminer sa raison.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour \(n\ge1\).
  4. Calculer \(u_{25}\).
Ex 4 Reconnaissance géométrique
Base
On donne \(u_0=160\), \(u_1=128\), \(u_2=102{,}4\).
  1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique.
  2. Déterminer sa raison \(q\).
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Calculer \(u_{10}\).
Piège classique
Si le premier terme donné est \(u_1\), alors : \[ u_n=u_1+(n-1)r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_1q^{n-1}. \]

B — Variations et étude de suites

Niveau 2
Ex 5 Monotonie par différence
Intermédiaire
On définit \(u_n=n^2-4n+1\).
  1. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  2. Étudier le signe de cette différence.
  3. En déduire les variations de la suite.
  4. Déterminer le minimum de la suite et le rang correspondant.
Ex 6 Suite définie par quotient
Intermédiaire
On pose \(u_n=4\cdot\left(\dfrac34\right)^n\).
  1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique.
  2. Préciser son premier terme et sa raison.
  3. Étudier son sens de variation.
  4. Conjecturer sa limite.
Ex 7 Suite rationnelle
Intermédiaire
On considère \(u_n=\dfrac{2n+5}{n+2}\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_4\).
  2. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  3. Étudier les variations de \((u_n)\).
  4. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?
Ex 8 Étude d’une suite explicite
Intermédiaire
On définit \(u_n=\dfrac{n+3}{2n+1}\).
  1. Calculer les quatre premiers termes.
  2. Étudier \(u_{n+1}-u_n\).
  3. En déduire le sens de variation.
  4. Conjecturer la limite de la suite.

C — Seuils et inégalités

Niveau 2 → 3
Ex 9 Seuil géométrique décroissant
Intermédiaire
On définit \(u_0=500\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n\).
  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\le 200\).
  3. Interpréter ce résultat dans un contexte concret.
Ex 10 Seuil arithmétique
Intermédiaire
Une suite arithmétique vérifie \(u_3=12\) et \(u_{15}=48\).
  1. Déterminer la raison \(r\).
  2. Calculer \(u_0\).
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 100\).
Ex 11 Seuil géométrique croissant
Intermédiaire
On considère \(u_n=2\times1{,}1^n\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
  2. Étudier les variations de la suite.
  3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 5\).
Ex 12 Seuil sur suite explicite
Intermédiaire
On pose \(u_n=3n+7\).
  1. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 250\).
  2. Déterminer les entiers \(n\) tels que \(u_n<100\).
  3. Interpréter la différence entre “plus petit entier” et “ensemble des solutions”.

D — Sommes

Niveau 2 → 3
Ex 13 Somme arithmétique
Intermédiaire
\((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_1=9\) et de raison \(r=3\).
  1. Exprimer \(u_n\).
  2. Calculer \(u_{20}\).
  3. Calculer \(S=\sum_{k=1}^{20}u_k\).
  4. Expliquer le rôle du “nombre de termes”.
Ex 14 Somme géométrique
Intermédiaire
On considère \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=1{,}5u_n\).
  1. Exprimer \(u_n\).
  2. Calculer \(T=\sum_{k=0}^{12}u_k\).
  3. Donner une valeur approchée de \(T\) à \(10^{-2}\).
Ex 15 Somme d’une suite mixte
Intermédiaire
On définit \(u_n=2\cdot3^n-5\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\).
  2. Calculer \(A=\sum_{k=0}^{10}u_k\).
  3. Écrire le résultat sous la forme \(a\cdot3^{11}+b\).
Ex 16 Épargne mensuelle
Intermédiaire
Une entreprise épargne \(u_n=500+40n\) euros le mois \(n\), à partir de \(n=0\).
  1. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
  2. Calculer la somme totale épargnée sur 24 mois.
  3. Trouver à partir de quel mois la somme cumulée dépasse \(20\,000\) euros.

E — Suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\)

Type Bac
Ex 17 Point fixe + formule explicite
Bac
On considère \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=0{,}7u_n+3\).
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Poser \(v_n=u_n-\ell\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  3. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
  4. Déterminer la limite de \((u_n)\).
Ex 18 Monotonie d’une suite affine
Bac
On considère \(u_0=20\) et \(u_{n+1}=0{,}85u_n+1\).
  1. Calculer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(u_n\).
  3. Déterminer le sens de variation de la suite.
  4. Justifier la limite obtenue.
Ex 19 Cas particulier \(a=1\)
Bac
On définit \(u_1=7\) et \(u_{n+1}=u_n-2\).
  1. Montrer qu’il s’agit d’une suite arithmétique.
  2. Préciser sa raison.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Déterminer les rangs \(n\) tels que \(u_n\le -15\).
Méthode indispensable
Pour \(u_{n+1}=au_n+b\) avec \(a\neq1\) : \[ \ell=\frac{b}{1-a}, \qquad v_n=u_n-\ell \qquad\Rightarrow\qquad v_{n+1}=av_n. \] Donc \[ v_n=v_0a^n \qquad\text{et}\qquad u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n. \]

F — Problèmes type Bac

Niveau 3
Ex 20 Population avec évolution mixte
Problème
Une population vaut \(P_0=12\,000\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\), puis on retire \(150\) individus. On pose : \[ P_{n+1}=1{,}02P_n-150. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).
  3. La population se stabilise-t-elle ?
  4. Déterminer si la population peut devenir inférieure à \(10\,000\).
Ex 21 Plan d’épargne
Problème
On place \(u_0=1\,000\) euros. Chaque mois, le capital augmente de \(0{,}5\%\), puis on ajoute \(80\) euros : \[ u_{n+1}=1{,}005u_n+80. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Étudier le comportement de la suite.
  4. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 10\,000\).
Ex 22 Comparaison de deux offres
Problème
On compare deux salaires mensuels :
  • Offre A : \(A_n=1600+35n\).
  • Offre B : \(B_0=1600\) et \(B_{n+1}=1{,}015B_n\).
  1. Exprimer \(B_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer à partir de quel mois l’offre B dépasse l’offre A.
  3. Comparer la somme totale perçue sur 36 mois.
Ex 23 Suite harmonique partielle
Problème
On définit \(u_0=1\) et \[ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n+1}. \]
  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
  3. Écrire \(u_n\) sous la forme d’une somme.
  4. Expliquer pourquoi cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
Ex 24 Type Bac complet
Très bon niveau
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=6\) et \[ u_{n+1}=0{,}8u_n+1. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\) et montrer que \(\ell=5\).
  2. Poser \(v_n=u_n-5\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  3. Exprimer \(u_n\), puis déterminer \(\lim u_n\).
  4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\le 5{,}2\).
  5. Calculer \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\) en fonction de \(n\).
Ex 25 Problème de modélisation premium
Très bon niveau
Une entreprise achète une machine valant \(20\,000\) euros. Chaque année, sa valeur baisse de \(12\%\). On note \(u_n\) la valeur de la machine après \(n\) années.
  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  2. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
  3. Déterminer la valeur de la machine après 5 ans.
  4. À partir de quelle année la machine vaut-elle moins de \(10\,000\) euros ?
  5. Déterminer la somme des valeurs théoriques relevées de l’année \(0\) à l’année \(8\).