Exercices corrigés — Suites numériques (1ère spé)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 1ère Spécialité sur Suites numériques. Tu vas t’entraîner sur définition par récurrence, sens de variation, calcul de termes, modélisation avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Exercices — Suites arithmétiques, géométriques et suites affines
Série solide niveau 1re Spé : reconnaissance, terme général, variations, sommes, recherche de seuil, suites définies par récurrence, suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\), et exercices de modélisation type Bac.
Récurrence Explicite Monotonie Sommes Seuil Point fixe Type Bac

Consignes de rédaction

  • Préciser soigneusement le rang de départ : \(u_0\) ou \(u_1\).
  • Pour montrer qu’une suite est arithmétique : calculer \(u_{n+1}-u_n\) et prouver que c’est constant.
  • Pour montrer qu’une suite est géométrique : calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et prouver que c’est constant.
  • Pour les variations : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou du quotient si les termes sont positifs.
  • Pour une suite affine \(u_{n+1}=au_n+b\) : chercher le point fixe \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\), puis poser \(v_n=u_n-\ell\).

A — Reconnaître et calculer

Niveau 1 → 2
Ex 1 Suite explicite linéaire
Base
On définit \(u_n=5n-7\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_8\) et \(u_{20}\).
  2. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  3. En déduire la nature de la suite.
  4. Préciser son sens de variation.
Ex 2 Suite géométrique simple
Base
On considère \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=1{,}2u_n\).
  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Calculer \(u_6\).
  4. Étudier les variations de la suite.
Ex 3 Reconnaissance à partir de termes
Base
On donne \(u_1=8\), \(u_2=11\), \(u_3=14\), \(u_4=17\).
  1. Conjecturer la nature de la suite.
  2. Déterminer sa raison.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour \(n\ge1\).
  4. Calculer \(u_{25}\).
Ex 4 Reconnaissance géométrique
Base
On donne \(u_0=160\), \(u_1=128\), \(u_2=102{,}4\).
  1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique.
  2. Déterminer sa raison \(q\).
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Calculer \(u_{10}\).
Piège classique
Si le premier terme donné est \(u_1\), alors : \[ u_n=u_1+(n-1)r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_1q^{n-1}. \]

B — Variations et étude de suites

Niveau 2
Ex 5 Monotonie par différence
Intermédiaire
On définit \(u_n=n^2-4n+1\).
  1. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  2. Étudier le signe de cette différence.
  3. En déduire les variations de la suite.
  4. Déterminer le minimum de la suite et le rang correspondant.
Ex 6 Suite définie par quotient
Intermédiaire
On pose \(u_n=4\cdot\left(\dfrac34\right)^n\).
  1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique.
  2. Préciser son premier terme et sa raison.
  3. Étudier son sens de variation.
  4. Conjecturer sa limite.
Ex 7 Suite rationnelle
Intermédiaire
On considère \(u_n=\dfrac{2n+5}{n+2}\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_4\).
  2. Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
  3. Étudier les variations de \((u_n)\).
  4. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?
Ex 8 Étude d’une suite explicite
Intermédiaire
On définit \(u_n=\dfrac{n+3}{2n+1}\).
  1. Calculer les quatre premiers termes.
  2. Étudier \(u_{n+1}-u_n\).
  3. En déduire le sens de variation.
  4. Conjecturer la limite de la suite.

C — Seuils et inégalités

Niveau 2 → 3
Ex 9 Seuil géométrique décroissant
Intermédiaire
On définit \(u_0=500\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n\).
  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\le 200\).
  3. Interpréter ce résultat dans un contexte concret.
Ex 10 Seuil arithmétique
Intermédiaire
Une suite arithmétique vérifie \(u_3=12\) et \(u_{15}=48\).
  1. Déterminer la raison \(r\).
  2. Calculer \(u_0\).
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 100\).
Ex 11 Seuil géométrique croissant
Intermédiaire
On considère \(u_n=2\times1{,}1^n\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
  2. Étudier les variations de la suite.
  3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 5\).
Ex 12 Seuil sur suite explicite
Intermédiaire
On pose \(u_n=3n+7\).
  1. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 250\).
  2. Déterminer les entiers \(n\) tels que \(u_n<100\).
  3. Interpréter la différence entre “plus petit entier” et “ensemble des solutions”.

D — Sommes

Niveau 2 → 3
Ex 13 Somme arithmétique
Intermédiaire
\((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_1=9\) et de raison \(r=3\).
  1. Exprimer \(u_n\).
  2. Calculer \(u_{20}\).
  3. Calculer \(S=\sum_{k=1}^{20}u_k\).
  4. Expliquer le rôle du “nombre de termes”.
Ex 14 Somme géométrique
Intermédiaire
On considère \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=1{,}5u_n\).
  1. Exprimer \(u_n\).
  2. Calculer \(T=\sum_{k=0}^{12}u_k\).
  3. Donner une valeur approchée de \(T\) à \(10^{-2}\).
Ex 15 Somme d’une suite mixte
Intermédiaire
On définit \(u_n=2\cdot3^n-5\).
  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\).
  2. Calculer \(A=\sum_{k=0}^{10}u_k\).
  3. Écrire le résultat sous la forme \(a\cdot3^{11}+b\).
Ex 16 Épargne mensuelle
Intermédiaire
Une entreprise épargne \(u_n=500+40n\) euros le mois \(n\), à partir de \(n=0\).
  1. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
  2. Calculer la somme totale épargnée sur 24 mois.
  3. Trouver à partir de quel mois la somme cumulée dépasse \(20\,000\) euros.

E — Suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\)

Type Bac
Ex 17 Point fixe + formule explicite
Bac
On considère \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=0{,}7u_n+3\).
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Poser \(v_n=u_n-\ell\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  3. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
  4. Déterminer la limite de \((u_n)\).
Ex 18 Monotonie d’une suite affine
Bac
On considère \(u_0=20\) et \(u_{n+1}=0{,}85u_n+1\).
  1. Calculer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(u_n\).
  3. Déterminer le sens de variation de la suite.
  4. Justifier la limite obtenue.
Ex 19 Cas particulier \(a=1\)
Bac
On définit \(u_1=7\) et \(u_{n+1}=u_n-2\).
  1. Montrer qu’il s’agit d’une suite arithmétique.
  2. Préciser sa raison.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Déterminer les rangs \(n\) tels que \(u_n\le -15\).
Méthode indispensable
Pour \(u_{n+1}=au_n+b\) avec \(a\neq1\) : \[ \ell=\frac{b}{1-a}, \qquad v_n=u_n-\ell \qquad\Rightarrow\qquad v_{n+1}=av_n. \] Donc \[ v_n=v_0a^n \qquad\text{et}\qquad u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n. \]

F — Problèmes type Bac

Niveau 3
Ex 20 Population avec évolution mixte
Problème
Une population vaut \(P_0=12\,000\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\), puis on retire \(150\) individus. On pose : \[ P_{n+1}=1{,}02P_n-150. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).
  3. La population se stabilise-t-elle ?
  4. Déterminer si la population peut devenir inférieure à \(10\,000\).
Ex 21 Plan d’épargne
Problème
On place \(u_0=1\,000\) euros. Chaque mois, le capital augmente de \(0{,}5\%\), puis on ajoute \(80\) euros : \[ u_{n+1}=1{,}005u_n+80. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\).
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Étudier le comportement de la suite.
  4. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 10\,000\).
Ex 22 Comparaison de deux offres
Problème
On compare deux salaires mensuels :
  • Offre A : \(A_n=1600+35n\).
  • Offre B : \(B_0=1600\) et \(B_{n+1}=1{,}015B_n\).
  1. Exprimer \(B_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer à partir de quel mois l’offre B dépasse l’offre A.
  3. Comparer la somme totale perçue sur 36 mois.
Ex 23 Suite harmonique partielle
Problème
On définit \(u_0=1\) et \[ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n+1}. \]
  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
  3. Écrire \(u_n\) sous la forme d’une somme.
  4. Expliquer pourquoi cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
Ex 24 Type Bac complet
Très bon niveau
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=6\) et \[ u_{n+1}=0{,}8u_n+1. \]
  1. Déterminer le point fixe \(\ell\) et montrer que \(\ell=5\).
  2. Poser \(v_n=u_n-5\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  3. Exprimer \(u_n\), puis déterminer \(\lim u_n\).
  4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\le 5{,}2\).
  5. Calculer \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\) en fonction de \(n\).
Ex 25 Problème de modélisation premium
Très bon niveau
Une entreprise achète une machine valant \(20\,000\) euros. Chaque année, sa valeur baisse de \(12\%\). On note \(u_n\) la valeur de la machine après \(n\) années.
  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  2. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ?
  3. Déterminer la valeur de la machine après 5 ans.
  4. À partir de quelle année la machine vaut-elle moins de \(10\,000\) euros ?
  5. Déterminer la somme des valeurs théoriques relevées de l’année \(0\) à l’année \(8\).
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