Exercices — Suites arithmétiques & géométriques
Série solide (niveau 1re Spé) : reconnaissance, terme général, variations, sommes, seuils, suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\),
et mini-problèmes type Bac.
Récurrence
Explicite
Monotonie
Sommes
Seuil
Point fixe
Type Bac
Consignes
- Soigner les notations : rang de départ (\(u_0\) ou \(u_1\)), raison \(r\) ou \(q\), nombre de termes dans une somme.
- Pour “montrer arithmétique/géométrique” : prouver que \(u_{n+1}-u_n\) est constant (arithmétique) ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant (géométrique).
- Pour une suite affine \(u_{n+1}=au_n+b\) : utiliser le point fixe \(\ell=\frac{b}{1-a}\) puis \(v_n=u_n-\ell\).
A — Reconnaître et calculer
Niveau 1 → 2
Ex 1
Suite explicite
On définit \(u_n=5n-7\).
- Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_{10}\).
- Exprimer \(u_{n+1}-u_n\). Conclure sur la nature de la suite.
Ex 2
Suite géométrique (récurrence)
\(u_0=3\) et \(u_{n+1}=1{,}2\,u_n\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_5\).
- Donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
- La suite est-elle croissante ?
Ex 3
Reconnaissance (différence)
On donne les premiers termes : \(u_1=8\), \(u_2=11\), \(u_3=14\), \(u_4=17\).
- Conjecturer la nature de \((u_n)\) et la raison.
- Donner \(u_{20}\).
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) (rang de départ \(1\)).
Ex 4
Reconnaissance (rapport)
On donne : \(u_0=160\), \(u_1=128\), \(u_2=102{,}4\).
- Montrer que \((u_n)\) est géométrique et déterminer \(q\).
- Exprimer \(u_n\) et calculer \(u_{10}\).
Piège classique
Si une suite est donnée à partir de \(u_1\), alors la formule est \(u_n=u_1+(n-1)r\) (arithmétique)
ou \(u_n=u_1q^{n-1}\) (géométrique).
B — Variations et seuils
Niveau 2
Ex 5
Monotonie (différence)
On définit \(u_n=n^2-4n+1\).
- Exprimer \(u_{n+1}-u_n\).
- Étudier son signe et en déduire les variations de \((u_n)\).
- Déterminer le minimum de la suite et le rang où il est atteint.
Ex 6
Seuil (géométrique)
\(u_0=500\) et \(u_{n+1}=0{,}92u_n\) (baisse de \(8\%\) par étape).
- Exprimer \(u_n\).
- Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \le 200\).
- Interprétation concrète.
Ex 7
Seuil (arithmétique)
Une suite arithmétique vérifie \(u_3=12\) et \(u_{15}=48\).
- Déterminer la raison \(r\) et \(u_0\).
- Exprimer \(u_n\).
- Trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n \ge 100\).
Ex 8
Comparer à une fonction
\(u_n=\dfrac{2n+5}{n+2}\).
- Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
- Étudier \(u_{n+1}-u_n\) (ou une méthode au choix) et conclure sur les variations.
- Conjecturer la limite (sans la démontrer ici).
C — Sommes
Niveau 2 → 3
Ex 9
Somme arithmétique
\((u_n)\) arithmétique, \(u_1=9\) et \(r=3\).
- Exprimer \(u_n\).
- Calculer \(S=\sum_{k=1}^{20}u_k\).
- Donner l’interprétation de la formule “nombre de termes × moyenne”.
Ex 10
Somme géométrique
\(u_0=4\), \(u_{n+1}=1{,}5u_n\).
- Exprimer \(u_n\).
- Calculer \(T=\sum_{k=0}^{12}u_k\).
- Arrondir \(T\) à \(10^{-2}\).
Ex 11
Somme mixte
On définit \(u_n=2\cdot 3^n - 5\).
- Calculer \(A=\sum_{k=0}^{10}u_k\).
- Écrire \(A\) sous la forme \(a\cdot 3^{11}+b\) (avec \(a,b\) réels).
Ex 12
Somme et seuil
Une entreprise épargne \(u_n=500+40n\) euros le mois \(n\) (à partir de \(n=0\)).
- Calculer la somme totale épargnée sur 24 mois.
- Trouver à partir de quel mois la somme dépasse \(20\,000\) euros.
D — Suites affines \(u_{n+1}=au_n+b\)
Type Bac
Ex 13
Point fixe + expression explicite
\(u_0=2\) et \(u_{n+1}=0{,}7u_n+3\).
- Déterminer le point fixe \(\ell\).
- Poser \(v_n=u_n-\ell\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Déterminer la limite de \((u_n)\).
Ex 14
Étude de monotonie
\(u_0=20\) et \(u_{n+1}=0{,}85u_n+1\).
- Calculer \(\ell\) point fixe.
- Exprimer \(u_n\).
- Montrer que la suite est monotone (ou expliquer le sens de variation selon \(u_0\) et \(\ell\)).
Ex 15
Cas \(a=1\)
\(u_1=7\) et \(u_{n+1}=u_n-2\).
- Montrer que la suite est arithmétique et préciser la raison.
- Exprimer \(u_n\).
- Déterminer les rangs \(n\) tels que \(u_n\le -15\).
Méthode indispensable
Pour \(u_{n+1}=au_n+b\) (avec \(a\neq 1\)) :
\[
\ell=\frac{b}{1-a},\quad v_n=u_n-\ell \Rightarrow v_{n+1}=a\,v_n \Rightarrow u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n.
\]
E — Problèmes “Bac” (modélisation)
Niveau 3
Ex 16
Évolution + seuil
Une population vaut \(P_0=12\,000\). Chaque année, elle augmente de \(2\%\) puis on retire \(150\) individus.
On pose \(P_{n+1}=1{,}02P_n-150\).
- Calculer le point fixe \(\ell\) et interpréter.
- Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).
- La population se stabilise-t-elle ? vers quelle valeur ?
- Trouver le plus petit \(n\) tel que \(P_n\le 10\,000\) (si cela arrive).
Ex 17
Plan d’épargne
On place \(u_0=1\,000\) euros. Chaque mois, le capital augmente de \(0{,}5\%\) puis on ajoute \(80\) euros :
\(u_{n+1}=1{,}005u_n+80\).
- Déterminer \(\ell\), puis exprimer \(u_n\).
- Déterminer la limite de \((u_n)\) (ou expliquer pourquoi elle diverge).
- Trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n \ge 10\,000\).
Ex 18
Comparaison arithmétique vs géométrique
On compare deux offres de salaire mensuel :
- Offre A : \(A_n=1600+35n\).
- Offre B : \(B_0=1600\) et \(B_{n+1}=1{,}015B_n\).
- Exprimer \(A_n\) et \(B_n\).
- À partir de quel mois l’offre B dépasse-t-elle l’offre A ?
- Comparer la somme des salaires sur 36 mois.
Ex 19
Suite définie par \(u_{n+1}=u_n+r_n\)
On définit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n+1}\).
- Calculer \(u_1,u_2,u_3\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Exprimer \(u_n\) sous forme d’une somme \(\displaystyle u_n=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\).
Ex 20
Type Bac complet (preuve + somme + seuil)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=0{,}8u_n+1\).
- Déterminer le point fixe \(\ell\) et montrer que \(\ell=5\).
- Poser \(v_n=u_n-5\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, préciser \(v_0\) et la raison.
- Exprimer \(u_n\) puis déterminer \(\lim u_n\).
- Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \le 5{,}2\).
- Calculer \(\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n}u_k\) en fonction de \(n\) (on pourra sommer \(v_k\)).