Indice — Exercice 1

Développer \(u_{n+1}\), puis factoriser les équations et la différence \(u_{n+1}-u_n\).

Correction détaillée — Exercice 1

Méthode générale : Dans une suite explicite, remplacer \(n\) par le rang voulu. Pour les variations, travailler sur \(u_{n+1}-u_n\), en tenant compte du fait que \(n\) est entier.

1. \(u_0=4,\ u_1=0,\ u_4=0,\ u_{10}=54\).
2. \(u_{n+1}=(n+1)^2-5(n+1)+4=n^2-3n\).
3. \(u_n=40\iff n^2-5n-36=0\iff(n-9)(n+4)=0\). Dans \(\mathbb N\), seule solution : \(n=9\).
4. \(u_n=41\iff n^2-5n-37=0\). Le discriminant \(\Delta=173\) n’est pas un carré parfait : aucun rang entier.
5. \(u_{n+1}-u_n=2n-4\). La suite décroît jusqu’au rang 2, puis \(u_2=u_3=-2\), puis elle croît. Minimum : \(-2\), atteint aux rangs 2 et 3. Le signe est négatif aux rangs \(0,1\), nul au rang \(2\), positif pour \(n\ge3\) : l’égalité de deux termes consécutifs au minimum est ainsi établie.
6. \((n-9)(n+4)\ge0\) et \(n\in\mathbb N\). Donc \(n\ge9\).

Indice — Exercice 2

Employer les remplacements \(n\mapsto n+1,n-1,n+2,2n\), puis la différence de termes consécutifs.

Correction détaillée — Exercice 2

Méthode générale : Calculer chaque terme indicé en développant soigneusement les parenthèses. Un seuil strict \(u_n>200\) ne se confond pas avec \(u_n\ge200\).

1. \(u_{n+1}=2n^2+n\).
2. \(u_{n-1}=2n^2-7n+6\) pour \(n\ge1\).
3. \(u_{n+2}=2n^2+5n+3\) et \(u_{2n}=8n^2-6n+1\).
4. \(u_{n+1}-u_n=4n-1\).
5. \(u_{2n}-4u_n=(8n^2-6n+1)-(8n^2-12n+4)=6n-3\).
6. La différence vaut \(-1\) en \(n=0\), puis elle est positive pour \(n\ge1\). La suite décroît de \(u_0=1\) à \(u_1=0\), puis croît strictement.
7. \(u_{10}=171\le200\) et \(u_{11}=210>200\). La croissance après le rang 1 établit que le premier rang est \(\boxed{11}\). En effet, \(u_{n+1}-u_n=4n-1>0\) pour \(n\ge1\), et les termes de rang 0 et 1 restent inférieurs à 200.

Indice — Exercice 3

Compter un carré intérieur de côté \(n\) et la bordure d’un carré de côté \(n+2\).

Correction détaillée — Exercice 3

Méthode générale : Compter d’abord les points dans le carré intérieur, puis ceux de la bordure. Pour conclure sur un rang minimal, vérifier l’entier précédent.

1. \(P_1,P_2,P_3,P_4=1,4,9,16\). Pour les conifères : \(C_1,C_2,C_3,C_4=8,12,16,20\). Le tableau complété est donc : rangs \(1,2,3,4\) ; pommiers \(1,4,9,16\) ; conifères \(8,12,16,20\).
2. Il y a \(n\) lignes de \(n\) pommiers : \(P_n=n^2\).
3. La bordure contient \((n+2)^2-n^2=4n+4\) arbres, donc \(C_n=4n+4\).
4. \(n^2=4n+4\iff n=2\pm2\sqrt2\). Aucune solution entière naturelle non nulle.
5. \(P_n>C_n\iff n^2-4n-4>0\iff n>2+2\sqrt2\). Le premier rang est \(5\).
6. \(P_n\ge2C_n\iff n^2-8n-8\ge0\iff n\ge4+2\sqrt6\). Le premier entier est \(9\) : \(81\ge2\times40\).

Indice — Exercice 4

La différence donnée est \(u_{n+1}-u_n=3n-1\). Sommer de \(n=0\) à \(n=N-1\).

Correction détaillée — Exercice 4

Méthode générale : La somme des accroissements successifs donne le terme général : \(u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)\).

1. \(u_1=-3,\ u_2=-1,\ u_3=4,\ u_4=12\).
2. Code : N = int(input()) puis u = u + 3*n - 1 dans la boucle.
3. Au rang 5 : \(u_5=u_4+3\times4-1=23\).
4. La valeur de \(u_{n+1}\) se calcule à partir du terme précédent \(u_n\), et non directement avec le seul rang.
5. \(u_n=-2+\sum_{k=0}^{n-1}(3k-1)=-2+\frac{3n(n-1)}2-n=\frac{3n^2-5n-4}{2}\).
6. \(u_9=97<100\) et \(u_{10}=123\ge100\). Dès que \(n\ge1\), les différences sont positives ou nulles : premier rang \(\boxed{10}\). L’inégalité \((3n^2-5n-4)/2\ge100\) est vérifiée à partir du premier entier qui suit 9 ; la croissance sur \(n\ge1\) écarte tout rang intermédiaire.

Indice — Exercice 5

La formule du tableur utilise la ligne précédente : remplacer B2 par \(u_n\) et A2 par \(n\).

Correction détaillée — Exercice 5

Méthode générale : Une formule recopiée d’une ligne de tableur conserve le déplacement relatif des adresses. Le rang demandé par l’algorithme se lit après chaque mise à jour.

1. \(u_0=2,\ u_1=6,\ u_2=17\).
2. \(u_{n+1}=2u_n+3n+2\), avec \(u_0=2\).
3. \(u_3=2\times17+3\times2+2=42\) puis \(u_4=2\times42+3\times3+2=95\).
4. En B4, on obtient =2*B3+3*A3+2.
5. Écarts : \(u_1-u_0=4\) et \(u_2-u_1=11\). Ils ne sont pas constants : la suite n’est pas arithmétique.

6. def seuil():
       n, u = 0, 2
       while u < 1000:
           u = 2*u + 3*n + 2
           n += 1
       return n

   Valeurs successives : \(u_7=870\), \(u_8=1763\). Premier rang : \(\boxed{8}\). On conserve \(n\) et \(u_n\) dans le même état avant la mise à jour, puis on augmente \(n\) de 1 ; l’algorithme renvoie le premier franchissement puisque les termes calculés sont croissants.

Indice — Exercice 6

Calculer simultanément les deux derniers termes avec une variable temporaire.

Correction détaillée — Exercice 6

Méthode générale : Pour une récurrence d’ordre deux, conserver deux termes simultanément ; la variable temporaire évite de perdre \(u_n\) lors des affectations.

1. \(u_3=8,\ u_4=13,\ u_5=2,\ u_6=-35\).
2. La récurrence fait intervenir simultanément \(u_n\) et \(u_{n+1}\) : il faut conserver les deux anciennes valeurs avant leur mise à jour.
3. Compléter : c = 2*b - 3*a, puis a = b, puis b = c. Dans le programme, la variable \(c\) mémorise le nouveau terme avant les affectations \(a=b\) et \(b=c\).
4. En poursuivant : \(u_7=-76,\ u_8=-47,\ u_9=134,\ \boxed{u_{10}=409}\).
5. Pour les quatre premiers termes \(-2,1,8,13\), les écarts sont \(3,7,5\) et les quotients ne sont pas constants : aucune des deux natures. Une suite arithmétique aurait un même écart à chaque pas et une suite géométrique un même quotient tant que les termes sont non nuls : aucune de ces conditions n’est remplie.

Indice — Exercice 7

Le graphique donne une conjecture, à justifier par \(u_{n+1}-u_n\).

Correction détaillée — Exercice 7

Méthode générale : Le graphique conduit seulement à une conjecture. La preuve repose sur le signe de \(u_{n+1}-u_n\) pour les rangs entiers.

1. Les points descendent jusqu’à \(n=3\), puis remontent. Minimum conjecturé : \(u_3=-4\).
2. \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-6(n+1)+5-(n^2-6n+5)=2n-5\).
3. \(2n-5<0\) pour \(n=0,1,2\) ; \(2n-5>0\) pour \(n\ge3\).
4. La suite décroît strictement de \(u_0\) à \(u_3\) puis croît strictement à partir de \(u_3\).
5. \(u_3=9-18+5=\boxed{-4}\).
6. \(u_n=(n-1)(n-5)\le0\iff1\le n\le5\). Les rangs sont \(1,2,3,4,5\).

Indice — Exercice 8

Mettre les fractions au même dénominateur et exploiter \(u_n=2-3/(n+2)\).

Correction détaillée — Exercice 8

Méthode générale : Mettre les fractions au même dénominateur. Une fois la forme \(2-\frac3{n+2}\) trouvée, les comparaisons à un seuil deviennent immédiates.

1. \(u_0=\frac12,\quad u_1=1,\quad u_4=\frac32\).
2. \(u_{n+1}-u_n=\frac{2n+3}{n+3}-\frac{2n+1}{n+2}=\frac3{(n+2)(n+3)}\).
3. Le dénominateur est positif : la suite est strictement croissante.
4. \(u_n=2-\frac3{n+2}<2\), puisque \(n+2>0\).
5. \(\frac{2n+1}{n+2}\ge\frac32\iff4n+2\ge3n+6\iff n\ge4\). Premier rang : 4.
6. \(2-\frac3{n+2}\ge1{,}9\iff n+2\ge30\iff n\ge28\). Premier rang : 28.

Indice — Exercice 9

Les termes étant strictement positifs, utiliser le quotient et calculer les premiers termes autour du seuil.

Correction détaillée — Exercice 9

Méthode générale : Pour une suite strictement positive, comparer \(u_{n+1}/u_n\) à 1 ; utiliser ensuite deux termes consécutifs pour prouver le premier franchissement.

1. \(u_n=(n+1)/3^n>0\) car numérateur et dénominateur sont positifs.
2. \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+2}{3(n+1)}\).
3. \(\frac{n+2}{3(n+1)}<1\iff n+2<3n+3\), vraie pour tout \(n\ge0\).
4. Ainsi \((u_n)\) est strictement décroissante.
5. \(u_0=1,\ u_1=\frac23,\ u_2=\frac13,\ u_3=\frac4{27}\) : les valeurs décroissent.
6. \(u_5=\frac6{243}>\frac1{100}\) et \(u_6=\frac7{729}<\frac1{100}\). Grâce à la décroissance, premier rang : \(\boxed{6}\).

Indice — Exercice 10

Factoriser \(n^2-5n+4=(n-1)(n-4)\) puis examiner les rangs entiers.

Correction détaillée — Exercice 10

Méthode générale : Les variations ne sont pas nécessairement monotones sur tout \(\mathbb N\). Étudier successivement les signes de \((n-1)(n-4)\), y compris les zéros.

1. \((u_0,\ldots,u_6)=(2,6,6,4,2,2,6)\).
2. \(u_{n+1}-u_n=n^2-5n+4=(n-1)(n-4)\).
3. La différence est positive pour \(n=0\) ou \(n\ge5\), nulle pour \(n=1,4\), négative pour \(n=2,3\).
4. Croissance de 0 à 1 ; palier de 1 à 2 ; décroissance de 2 à 4 ; palier de 4 à 5 ; croissance stricte dès 5.
5. Minimum global : \(\boxed{2}\), aux rangs \(0,4,5\), puisque les variations précédentes couvrent tous les entiers naturels. Les différences calculées pour tous les rangs démontrent qu’aucun terme ultérieur ne peut descendre sous \(2\).

6. def seuil():
       n, u = 0, 2
       while u <= 40:
           u += n*n - 5*n + 4
           n += 1
       return n

   \(u_8=34\) et \(u_9=62\). Premier rang : \(9\).

Indice — Exercice 11

Comparer la récurrence avec une expression quadratique ; pour la somme, compter exactement six termes.

Correction détaillée — Exercice 11

Méthode générale : Conjecturer une expression à partir des premiers termes, puis vérifier la même valeur initiale et la même relation de récurrence.

1. \(u_1=5,\ u_2=12,\ u_3=23,\ u_4=38\). Formule conjecturée : \(u_n=2n^2+n+2\).
2. Dans la boucle, remplacer les pointillés par u = u + 4*n + 3.
3. \(v_0=2=u_0\). De plus, \(v_{n+1}-v_n=4n+3\). Avec même terme initial et même récurrence, \(u_n=v_n=2n^2+n+2\).
4. \(u_{n+1}-u_n=4n+3>0\) : croissance stricte.
5. \(S_5=2+5+12+23+38+57=\boxed{137}\).
6. \(u_{15}=467\le500\), \(u_{16}=530>500\) : premier rang \(\boxed{16}\).

Indice — Exercice 12

Utiliser d’abord la suite géométrique \(v_n\), puis la suite arithmétique \(w_n=u_n/v_n\).

Correction détaillée — Exercice 12

Méthode générale : Les suites auxiliaires remplacent une récurrence d’ordre deux par une suite géométrique et une suite arithmétique. La somme se démontre ensuite par une identité télescopique ou par récurrence.

1. \(u_2=1,\ u_3=\frac34,\ u_4=\frac12,\ u_5=\frac5{16}\). Les écarts et les quotients ne restent pas constants.
2. \(v_{n+1}=u_{n+2}-\frac12u_{n+1}=\frac12u_{n+1}-\frac14u_n=\frac12v_n\). Comme \(v_0=1\), \(v_n=2^{-n}\).
3. \(v_n=2^{-n}\ne0\). Or \(u_{n+1}=v_n+\frac12u_n\) et \(v_{n+1}=\frac12v_n\), d’où \(w_{n+1}=2+w_n\). Puis \(w_0=0\), donc \(w_n=2n\).
4. \(u_n=w_nv_n=2n\times2^{-n}=\frac{n}{2^{n-1}}\) pour \(n\ge1\), et la formule donne aussi \(u_0=0\).
5. Par récurrence : pour \(n=1\), \(S_1=1=4-6/2\). Si \(S_n=4-\frac{2n+4}{2^n}\), alors \(S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{2^n}=4-\frac{n+3}{2^n}=4-\frac{2(n+1)+4}{2^{n+1}}\). On peut aussi additionner \(u_{k}=2k/2^k\) pour \(k\ge1\), puis vérifier la formule obtenue à l’aide de \(S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\).

Indice — Exercice 13

Utiliser \(u_n=u_0+nr\), et pour une somme \(S=(\text{nombre de termes})\times(\text{premier} + \text{dernier})/2\).

Correction détaillée — Exercice 13

Méthode générale : La suite arithmétique satisfait \(u_n=u_0+nr\). Pour une somme de termes consécutifs, multiplier leur nombre par la moyenne du premier et du dernier.

1. \(u_8=\frac32+8\times\frac54=\frac{23}2\), \(u_{20}=\frac32+20\times\frac54=\frac{53}2\).
2. \(r=\frac{-16-11}{13-4}=-3\), puis \(u_0=u_4-4r=11+12=23\).
3. \(296=\frac{16}{2}(u_0+u_{15})=8(-8+15r)\). D’où \(r=3\).
4. \(r=(41-5)/18=2\), \(u_0=5-24=-19\). Puis \(S_{30}=\frac{31(-19+41)}2=341\) et \(\sum_{k=10}^{30}u_k=\frac{21(1+41)}2=441\).

Indice — Exercice 14

Attention : le premier rang est 1, donc \(u_n=u_1+(n-1)r\).

Correction détaillée — Exercice 14

Méthode générale : Adapter la formule du terme général au rang initial 1 : \(u_n=u_1+(n-1)r\). Un rang doit être un entier admissible.

1. \(u_n=\frac52+(n-1)\frac32=\frac{3n+2}{2}\).
2. \(u_{40}=\frac{122}2=61\).
3. \(\frac{3n+2}{2}=100\iff n=66\). Le terme 100 existe et est \(u_{66}\). Il faut vérifier l’admissibilité : \(66\ge1\), ce qui confirme que le nombre \(100\) apparaît effectivement.
4. \(u_n=101\iff3n=200\), qui n’a aucune solution entière : 101 ne figure pas dans la suite.
5. \(\sum_{k=1}^{40}u_k=\frac{40(5/2+61)}2=\boxed{1270}\).
6. \(\frac{3n+2}{2}\ge200\iff n\ge\frac{398}3\). Premier rang : \(\boxed{133}\).

Indice — Exercice 15

Paramétrer les trois termes sous la forme \(m-r,m,m+r\).

Correction détaillée — Exercice 15

Méthode générale : Pour trois termes consécutifs, le terme central est leur moyenne. Leur produit donne ensuite une équation du second degré en \(r\).

1. \(u_0=u_1-r\) et \(u_2=u_1+r\).
2. \(u_0+u_1+u_2=3u_1=60\), donc \(u_1=20\).
3. \(7280=(20-r)\times20\times(20+r)=20(400-r^2)\) ; donc \(r^2=36\).
4. Comme la raison est négative, \(r=-6\). Ainsi \((u_0,u_1,u_2)=(26,20,14)\).
5. \(u_n=26-6n\), \(u_{20}=-94\), et \(\sum_{k=0}^{20}u_k=\frac{21(26-94)}2=\boxed{-714}\).

Indice — Exercice 16

Centrer les trois termes autour du terme médian \(m\).

Correction détaillée — Exercice 16

Méthode générale : Écrire les trois termes sous la forme symétrique \(m-r,m,m+r\), de sorte que les termes croisés s’éliminent au développement des carrés.

1. \(3m=42\), donc \(m=14\).
2. \((m-r)^2+m^2+(m+r)^2=3m^2+2r^2\) après développement.
3. \(660=3\times14^2+2r^2=588+2r^2\), donc \(r^2=36\). Comme \(r>0\), \(r=6\).
4. Les termes sont \(8,14,20\).
5. \(u_5=14\), donc \(u_0=u_5-5r=14-30=-16\).
6. De \(u_4=8\) à \(u_{18}=8+14\times6=92\), il y a 15 termes : somme \(\frac{15(8+92)}2=\boxed{750}\).

Indice — Exercice 17

Écrire la suite à partir de la première rangée numérotée 1 et compter \(n\) rangées pour \(S_n\).

Correction détaillée — Exercice 17

Méthode générale : Une augmentation constante de places définit une suite arithmétique ; le nombre de rangées est obtenu en résolvant une équation de somme.

1. On ajoute trois places à chaque rangée : suite arithmétique de raison \(3\).
2. \(u_n=18+3(n-1)=3n+15\).
3. \(u_{25}=18+24\times3=90\).
4. \(S_n=\frac{n(18+3n+15)}2=\frac{3n(n+11)}2\).
5. \(\frac{3n(n+11)}2=648\iff n^2+11n-432=0\). On obtient \(n=16\) (l’autre racine est négative). Pour contrôler la solution, \(S_{16}=\frac{3\times16\times27}{2}=648\) ; la deuxième racine est \(-27\) et n’est pas un nombre de rangées.
6. \(S_{20}=930\le1000\), \(S_{21}=1008>1000\). Il faut au moins \(21\) rangées.

Indice — Exercice 18

Éliminer \(r\) grâce à \(pr=u_p-u_0\).

Correction détaillée — Exercice 18

Méthode générale : Exploiter simultanément un terme connu et une somme finie pour former deux équations en \(p\) et \(r\), puis éliminer la raison.

1. \(u_p=-5+pr=43\), donc \(pr=48\).
2. \(u_{p-1}=-5+(p-1)r=43-r\).
3. La somme des \(p\) termes vaut \(\frac p2(u_0+u_{p-1})=\frac p2(38-r)=204\).
4. \(pr=48\) donne \(19p-24=204\), d’où \(p=12\).
5. \(r=48/12=4\), donc \(u_n=-5+4n\). Alors \(u_{12}=43\) et \(\sum_{k=0}^{11}u_k=\frac{12(-5+39)}2=204\).
6. De \(u_{12}=43\) à \(u_{24}=91\), il y a 13 termes : somme \(\frac{13(43+91)}2=\boxed{871}\).

Indice — Exercice 19

Poser \(v_n=1/u_n\) : la récurrence devient une addition constante.

Correction détaillée — Exercice 19

Méthode générale : La transformation \(v_n=1/u_n\) linéarise la récurrence. Justifier au préalable la stricte positivité pour éviter toute division par zéro.

1. \(u_1=\frac4{13}\), \(u_2=\frac4{25}\), \(u_3=\frac4{37}\).
2. Pour tout \(x>0\), \(x/(3x+1)>0\). Avec \(u_0=4>0\), la positivité se transmet à tous les rangs.
3. \(v_{n+1}=\frac{3u_n+1}{u_n}=3+\frac1{u_n}=v_n+3\), donc \((v_n)\) est arithmétique de raison 3.
4. \(v_0=\frac14\) et \(v_n=\frac14+3n\). Donc \(u_n=\frac4{12n+1}\).
5. Quand \(n\) augmente, le dénominateur \(12n+1\) augmente : \(u_n\) est strictement décroissante.
6. \(\frac4{12n+1}<0{,}05=\frac1{20}\iff 12n+1>80\). Le premier entier est \(\boxed{7}\). Au rang \(6\), \(u_6=4/73>1/20\) ; au rang \(7\), \(u_7=4/85<1/20\). La décroissance conclut.
7. \(u_0+u_1+u_2=4+\frac4{13}+\frac4{25}=\frac{1452}{325}\), fraction irréductible.

Indice — Exercice 20

Utiliser \(3^{a+b}=3^a3^b\) puis la somme des puissances de la raison.

Correction détaillée — Exercice 20

Méthode générale : Un accroissement arithmétique constant dans l’exposant devient un facteur géométrique constant. Le signe de la raison \(r\) se lit alors sur \(3^r\).

1. \(u_{n+1}=u_n+r\) par définition d’une suite arithmétique.
2. \(v_{n+1}=3^{u_n+r}=3^{u_n}3^r=3^r v_n\). La raison géométrique est \(q=3^r\).
3. \(u_n=1+2n\), donc \(v_n=3^{1+2n}=3\times9^n\).
4. \(\sum_{k=0}^5v_k=3\frac{9^6-1}{9-1}=\boxed{199290}\).
5. Si \(r>0\), \(3^r>1\) et \((v_n)\) est croissante ; si \(r=0\), constante ; si \(r<0\), décroissante (les termes sont positifs).
6. \(v_5=177147\le10^6\), \(v_6=1594323>10^6\) : premier rang \(\boxed{6}\). Les puissances \(3\times9^n\) augmentent avec \(n\) : vérifier \(v_5\le10^6<v_6\) suffit.

Indice — Exercice 21

Partir de \(u_n=u_0q^n\) et de la formule \(S_n=u_0(1-q^{n+1})/(1-q)\) si \(q\ne1\).

Correction détaillée — Exercice 21

Méthode générale : Une suite géométrique s’écrit \(u_n=u_0q^n\). Les signes des termes et celui de la raison sont essentiels pour identifier le bon modèle.

1. \(u_5=12(1/2)^5=\frac38\), \(S_5=12\frac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=\frac{189}8\).
2. \(u_2=u_0q^2\) donc \(q^2=9\). Tous les termes étant positifs, \(q=3\), et \(u_5=3\times3^5=729\).
3. \(q=u_1/u_0=-3\), \(u_4=-2(-3)^4=-162\), \(S_4=-2\frac{1-(-3)^5}{1-(-3)}=-122\).
4. Dans le deuxième cas, \(u_n=3^{n+1}\). \(3^8=6561\le10000\) et \(3^9=19683>10000\), donc \(n=8\). \(3^{n+1}>10000\) pour la première fois lorsque \(n+1=9\), donc \(n=8\) ; les rangs précédents donnent un terme plus petit.
5. Pour une suite positive, \(q>1\) implique croissance stricte, \(q=1\) constance, \(0<q<1\) décroissance stricte.

Indice — Exercice 22

Une hausse de 4 % correspond à multiplier par \(1{,}04\), pas à ajouter un montant fixe.

Correction détaillée — Exercice 22

Méthode générale : Une hausse annuelle de 4 % correspond au coefficient multiplicateur \(1{,}04\), et non à une addition de 4 euros ou de 4 % au total.

1. \(p_{n+1}=1{,}04p_n\), avec \(p_0=250\).
2. Suite géométrique de raison \(1{,}04\), \(p_n=250\times1{,}04^n\).
3. \(p_8=250\times1{,}04^8\approx\boxed{342{,}14\,€}\).
4. \(\sum_{k=0}^5p_k=250\frac{1{,}04^6-1}{0{,}04}\approx\boxed{1658{,}24\,€}\).
5. \(p_8\approx342{,}14<350\) tandis que \(p_9\approx355{,}83>350\). Premier rang : \(9\). La stricte augmentation du prix et l’encadrement \(p_8<350<p_9\) justifient le rang minimal.
6. Dix hausses : \(p_{10}=250\times1{,}04^{10}\approx370{,}06\,€\). Une hausse unique de 40 % donnerait \(350\,€\). Écart : environ \(20{,}06\,€\).

Indice — Exercice 23

Multiplier \(S_n\) par \(q\) : presque tous les termes se simplifient par soustraction.

Correction détaillée — Exercice 23

Méthode générale : La multiplication de la somme par \(q\) puis la soustraction font disparaître tous les termes intermédiaires. Le cas \(q=1\) est exclu.

1. \(qS_n=q+q^2+\cdots+q^{n+1}\).
2. \(S_n-qS_n=1-q^{n+1}\), les puissances intermédiaires s’annulent.
3. \((1-q)S_n=1-q^{n+1}\). Comme \(q\ne1\), \(S_n=(1-q^{n+1})/(1-q)\).
4. Avec \(q=1/2\), \(S_9=\frac{1-(1/2)^{10}}{1/2}=\frac{1023}{512}\).
5. \(2+1+\frac12+\cdots+\frac1{256}=2S_9=\frac{1023}{256}\).
6. \(S_n=2-2^{-n}>1{,}99\iff2^{-n}<0{,}01\). Or \(2^{-6}>0{,}01\) et \(2^{-7}<0{,}01\) : premier rang \(\boxed{7}\).

Indice — Exercice 24

Séparer les rangs pairs et impairs : le signe alterne mais \(|u_n|\) diminue.

Correction détaillée — Exercice 24

Méthode générale : Une raison négative fait alterner les signes ; il faut étudier séparément les indices pairs et impairs, sans attribuer de monotonie à la suite entière.

1. \((u_1,\ldots,u_5)=(-8,4,-2,1,-\frac12)\).
2. Les signes alternent : \(u_0=16>u_1=-8<u_2=4\). Elle n’est ni croissante ni décroissante.
3. \(u_{2n}=16\left(\frac14\right)^n\), \(u_{2n+1}=-8\left(\frac14\right)^n\).
4. \((u_{2n})\) est strictement décroissante, positive ; \((u_{2n+1})\) est strictement croissante, négative.
5. \(\sum_{k=0}^7u_k=16\frac{1-(-1/2)^8}{1+1/2}=\frac{85}8\).
6. Pour obtenir \(1/8>0\), il faudrait un rang pair \(2n\) et \(16/4^n=1/8\), soit \(4^n=128\). Impossible pour \(n\in\mathbb N\). Une puissance \(4^n=2^{2n}\) possède un exposant pair, contrairement à \(128=2^7\).

Indice — Exercice 25

Comparer les couples \((q,p)\) donnés par \(q^p=32\), puis éliminer grâce à la somme.

Correction détaillée — Exercice 25

Méthode générale : Une première donnée fixe \(q^p\) : examiner toutes les puissances entières possibles, puis utiliser la somme pour lever l’ambiguïté.

1. \(-\frac34q^p=-24\iff q^p=32\).
2. Avec \(q\in\mathbb Z\setminus\{0\}\), les seules possibilités sont \((q,p)=(32,1)\) ou \((2,5)\) ; \(q\) ne peut être négatif puisque \(32\) n’est pas une puissance paire entière. Si \(q\) était négatif, \(q^p\) ne pourrait valoir \(2^5\) avec \(p\) pair : il faudrait que \(p\) divise l’exposant 5, donc \(p\in\{1,5\}\), tous deux impairs.
3. Si \((q,p)=(32,1)\), \(S_1=-\frac34(1+32)=-\frac{99}4\), rejeté. Si \((2,5)\), \(S_5=-\frac34(2^6-1)=-\frac{189}4\) : \(q=2,p=5\).
4. \(u_n=-\frac34\,2^n\).
5. \(|u_{10}|=768<1000\) et \(|u_{11}|=1536>1000\). Premier rang \(\boxed{11}\).
6. \(\sum_{k=2}^nu_k=-\frac34(2^2+\cdots+2^n)=-\frac34(2^{n+1}-4)=3-\frac34\,2^{n+1}\).

Indice — Exercice 26

Chercher d’abord le point fixe \(\ell\) de la transformation affine, puis poser \(v_n=u_n-\ell\).

Correction détaillée — Exercice 26

Méthode générale : Pour la récurrence affine \(u_{n+1}=au_n+b\), rechercher le point fixe \(\ell\). La suite \(u_n-\ell\) devient géométrique.

1. \(u_1=5{,}2,\ u_2=7{,}12,\ u_3=8{,}272\).
2. \(v_{n+1}=u_{n+1}+a=0{,}6(v_n-a)+4+a=0{,}6v_n+(4+0{,}4a)\). Pour une suite géométrique, choisir \(a=-10\). La condition \(4+0{,}4a=0\) donne \(a=-10\) ; cela revient à soustraire le point fixe \(10\).
3. Alors \(v_n=u_n-10\), \(v_0=-8\) et la raison est \(0{,}6\).
4. \(v_n=-8\times0{,}6^n\), d’où \(u_n=10-8\times0{,}6^n\).
5. \(u_{n+1}-u_n=3{,}2\times0{,}6^n>0\) : croissance stricte.
6. \(S_n=10(n+1)-8\frac{1-0{,}6^{n+1}}{1-0{,}6}=10(n+1)-20(1-0{,}6^{n+1})\).
7. \(u_n>9{,}5\iff0{,}6^n<\frac1{16}\). Or \(0{,}6^5=0{,}07776\) et \(0{,}6^6=0{,}046656\) : \(n=6\).

Indice — Exercice 27

Transformer la récurrence via le quotient \(v_n=(u_n-2)/(u_n+2)\).

Correction détaillée — Exercice 27

Méthode générale : Avant d’effectuer les quotients, vérifier par récurrence que \(1\le u_n<2\). Le changement \(v_n=(u_n-2)/(u_n+2)\) transforme ensuite la relation en suite géométrique.

Justification préalable : \(u_0=1\). Si \(1\le u_n<2\), alors \(1\le 4(u_n+1)/(u_n+4)<2\) ; les dénominateurs utilisés sont donc positifs à tous les rangs.

1. \(u_1=\frac85,\ u_2=\frac{13}7,\ u_3=\frac{80}{41}\).
2. \(v_{n+1}=\frac{\frac{4(u_n+1)}{u_n+4}-2}{\frac{4(u_n+1)}{u_n+4}+2}=\frac{2(u_n-2)}{6(u_n+2)}=\frac13v_n\). Diviser par \(u_n+2\) est autorisé : la récurrence laisse l’intervalle \([1,2[\) stable, car la fonction \(x\mapsto4(x+1)/(x+4)\) est croissante et envoie 1 sur \(8/5\) et 2 sur 2.
3. \(v_0=(1-2)/(1+2)=-1/3\), donc \(v_n=-1/3^{n+1}\).
4. En résolvant \(v_n=(u_n-2)/(u_n+2)\), on obtient \(u_n=\frac{2(1+v_n)}{1-v_n}=2\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}+1}\).
5. \(u_n=2-\frac4{3^{n+1}+1}\), donc \(u_n<2\). Comme \(3^{n+1}\ge3\), \(u_n\ge2-4/4=1\).
6. Le dénominateur \(3^{n+1}+1\) augmente : \(4/(3^{n+1}+1)\) décroît, donc \(u_n\) croît strictement.
7. \(u_n>1{,}99\iff\frac4{3^{n+1}+1}<0{,}01\iff3^{n+1}>399\). Or \(3^5=243<399<729=3^6\) : \(\boxed{n=5}\).

Indice — Exercice 28

Étudier la différence \(w_n=v_n-u_n\) et une combinaison linéaire constante.

Correction détaillée — Exercice 28

Méthode générale : Une différence géométrique et une combinaison linéaire constante forment un système à deux inconnues donnant séparément \(u_n\) et \(v_n\).

1. \(u_2=(15+2\times4)/3=23/3\), \(v_2=(15+3\times4)/4=27/4\).
2. \(w_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{4}-\frac{u_n+2v_n}{3}=\frac{v_n-u_n}{12}=\frac1{12}w_n\). Avec \(w_1=-11\), \(w_n=-11/12^{n-1}\).
3. \(3u_{n+1}+8v_{n+1}=(u_n+2v_n)+2(u_n+3v_n)=3u_n+8v_n\). Donc \(x_n=x_1=3\times15+8\times4=77\).
4. \(v_n=u_n+w_n\) et \(3u_n+8v_n=77\) donnent \(u_n=7+\frac8{12^{n-1}}\), \(v_n=7-\frac3{12^{n-1}}\). Résoudre le système : \(11u_n+8w_n=77\), d’où \(u_n=(77-8w_n)/11\) et \(v_n=u_n+w_n\).
5. \(u_n-v_n=11/12^{n-1}>0\), donc \(u_n>v_n\) à tout rang.
6. Les deux suites se rapprochent de \(7\), car \(12^{n-1}\) devient très grand.
7. \(0<u_n-v_n<0{,}001\iff12^{n-1}>11000\). Avec \(12^3=1728\) et \(12^4=20736\), le premier rang est \(\boxed{5}\).

Indice — Exercice 29

Calculer le point fixe \(\ell\), puis écrire \(u_n-\ell\) comme une suite géométrique de raison 0,82.

Correction détaillée — Exercice 29

Méthode générale : Il faut distinguer la prévision théorique non entière et la capacité réelle. La récurrence affine se traite par l’écart au point fixe.

1. \(u_1=149{,}8\), \(u_2=157{,}836\), \(u_3=164{,}42552\).
2. Il reste \(0{,}82u_n\) élèves théoriques, auxquels s’ajoutent 35 : \(u_{n+1}=0{,}82u_n+35\).
3. \(\ell=0{,}82\ell+35\iff0{,}18\ell=35\iff\ell=\frac{1750}{9}\approx194{,}44\).
4. \(v_{n+1}=0{,}82v_n\) et \(v_0=140-\ell=-490/9\). Donc \(u_n=\frac{1750}{9}-\frac{490}{9}(0{,}82)^n\).
5. \(u_{n+1}-u_n=35-0{,}18u_n=0{,}18(\ell-u_n)>0\) tant que \(u_n<\ell\).
6. Algorithme :

   n, u = 0, 140
   while u <= 180:
       u = 0.82*u + 35
       n += 1
   print(n)

   Il renvoie \(\boxed{7}\) : \(u_6<180<u_7\). Numériquement, \(u_6\approx177{,}893\) et \(u_7\approx180{,}872\). Le modèle non arrondi franchit 180 au rang 7.
7. L’effectif modélisé reste inférieur au point fixe \(\ell\) ; le modèle l’approche par valeurs inférieures (sans arrondir les effectifs théoriques à chaque étape).

Indice — Exercice 30

Écrire le bilan d’un jour à l’autre, puis exploiter la conservation du total \(2400\).

Correction détaillée — Exercice 30

Méthode générale : Les volumes totaux se conservent. Écrire une seule récurrence, puis soustraire la valeur d’équilibre pour obtenir une suite géométrique.

1. Les transferts d’un bassin à l’autre ne créent ni ne détruisent d’eau : \(A_n+B_n=900+1500=2400\).
2. \(A_{n+1}=0{,}92A_n+0{,}12B_n=0{,}92A_n+0{,}12(2400-A_n)=0{,}8A_n+288\).
3. \(A_1=1008\), \(A_2=1094{,}4\), \(A_3=1163{,}52\) m³.
4. \(V_{n+1}=A_{n+1}-1440=0{,}8(A_n-1440)=0{,}8V_n\). Or \(V_0=-540\). Ainsi \(A_n=1440-540(0{,}8)^n\) et \(B_n=960+540(0{,}8)^n\).
5. \(A_{n+1}-A_n=108(0{,}8)^n>0\), donc \(A_n\) croît ; \(B_n=2400-A_n\) décroît.
6. \(A_n\ge1400\iff(0{,}8)^n\le2/27\). En testant les puissances : \((0{,}8)^{11}>2/27\), \((0{,}8)^{12}\le2/27\). Premier rang \(\boxed{12}\). Numériquement, \(A_{11}\approx1393{,}614\) et \(A_{12}\approx1402{,}891\). Cela certifie le premier rang de franchissement.
7. \(1440\) m³ est le volume d’équilibre du bassin A, celui qui ne change pas après un jour de transferts.
8. Au rang 12, \(B_{12}=2400-A_{12}=960+540(0{,}8)^{12}\approx\boxed{997{,}11\ \mathrm{m}^3}\).