Quiz — Suites arithmétiques, géométriques et suites affines

Quiz — Suites arithmétiques, géométriques et suites affines

20 questions premium : reconnaissance, terme général, variations, sommes, seuils, suites affines, point fixe, modélisation.

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Q1. On considère la suite \(u_n=4n-3\). Quelle affirmation est vraie ? Non vérifié
Indice
Calculer \(u_{n+1}-u_n\).
Correction
On a \(u_{n+1}=4(n+1)-3=4n+1\). Donc \(u_{n+1}-u_n=(4n+1)-(4n-3)=4\). La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison \(4\).
Q2. On considère \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=2u_n\). Quelle est l’expression de \(u_n\) ? Non vérifié
Indice
Identifier une suite géométrique.
Correction
La suite est géométrique de premier terme \(u_0=5\) et de raison \(2\). Donc \(u_n=5\cdot2^n\).
Q3. Une suite arithmétique vérifie \(u_5=17\) et \(r=3\). Quelle est la valeur de \(u_{12}\) ? Non vérifié
Indice
Utiliser \(u_n=u_p+(n-p)r\).
Correction
On a \(u_{12}=u_5+(12-5)\times3=17+21=38\).
Q4. Une suite géométrique vérifie \(u_3=16\) et \(q=\dfrac12\). Quelle est la valeur de \(u_6\) ? Non vérifié
Indice
Utiliser \(u_n=u_pq^{n-p}\).
Correction
On a \(u_6=u_3\left(\dfrac12\right)^{6-3}=16\left(\dfrac12\right)^3=16\cdot\dfrac18=2\).
Q5. Si \(u_0>0\) et \(q>1\), une suite géométrique \((u_n)\) est : Non vérifié
Indice
Comparer \(u_{n+1}\) à \(u_n\).
Correction
On a \(u_{n+1}=qu_n\) avec \(q>1\) et \(u_n>0\), donc \(u_{n+1}>u_n\). La suite est strictement croissante.
Q6. La somme \(3+6+9+\cdots+60\) vaut : Non vérifié
Indice
Compter le nombre de termes puis appliquer la formule de somme arithmétique.
Correction
Il s’agit d’une suite arithmétique de premier terme \(3\), dernier terme \(60\), raison \(3\). Le nombre de termes vaut \(20\). Donc \(S=\dfrac{20(3+60)}{2}=10\times63=630\).
Q7. La somme \(1+2+\cdots+n\) vaut : Non vérifié
Indice
Formule fondamentale à connaître.
Correction
La formule classique est \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\).
Q8. Pour \(q\neq1\), la somme \(1+q+q^2+\cdots+q^n\) vaut : Non vérifié
Indice
Attention à l’exposant \(n+1\).
Correction
La bonne formule est \(1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Q9. Pour la suite définie par \(u_{n+1}=0{,}6u_n+2\), le point fixe \(\ell\) est : Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=0{,}6\ell+2\).
Correction
Le point fixe vérifie \(\ell=0{,}6\ell+2\). Donc \(0{,}4\ell=2\), d’où \(\ell=5\).
Q10. Si \(|a|<1\) dans \(u_{n+1}=au_n+b\), alors la suite converge vers : Non vérifié
Indice
Chercher le point fixe.
Correction
Le point fixe \(\ell\) vérifie \(\ell=a\ell+b\), donc \((1-a)\ell=b\), d’où \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\).
Q11. Une suite arithmétique est définie par \(u_1=12\) et \(r=-2\). Quelle est la valeur de \(u_{10}\) ? Non vérifié
Indice
Utiliser \(u_n=u_1+(n-1)r\).
Correction
On a \(u_{10}=12+(10-1)(-2)=12-18=-6\).
Q12. Si \(q<0\) dans une suite géométrique, alors on peut dire en général que la suite : Non vérifié
Indice
Multiplier par un nombre négatif change le signe.
Correction
Dans une suite géométrique, \(u_{n+1}=qu_n\). Si \(q<0\), le signe change à chaque étape : la suite alterne donc généralement de signe.
Q13. Calculer \(u_{20}\) pour la suite arithmétique définie par \(u_0=-3\) et \(r=4\). Non vérifié
Indice
Utiliser \(u_n=u_0+nr\).
Correction
\(u_{20}=-3+20\times4=-3+80=77\).
Q14. Calculer \(u_6\) si \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n\). Non vérifié
Indice
Écrire la formule explicite.
Correction
La suite est géométrique de raison \(3\), donc \(u_n=2\cdot3^n\). Ainsi \(u_6=2\cdot3^6=2\cdot729=1458\).
Q15. Calculer \(\displaystyle \sum_{k=1}^{15}(7+2(k-1))\). Non vérifié
Indice
Identifier le premier et le dernier terme.
Correction
C’est une suite arithmétique de premier terme \(7\), de raison \(2\), avec 15 termes. Le dernier terme vaut \(u_{15}=7+14\times2=35\). Donc \(S=\dfrac{15(7+35)}2=\dfrac{15\times42}2=315\).
Q16. Calculer \(1+2+\cdots+30\). Non vérifié
Indice
Utiliser \(\dfrac{n(n+1)}2\).
Correction
\(1+2+\cdots+30=\dfrac{30\times31}{2}=15\times31=465\).
Q17. Pour \(u_{n+1}=0{,}6u_n+2\), donner la valeur du point fixe \(\ell\). Non vérifié
Indice
Résoudre \(\ell=0{,}6\ell+2\).
Correction
\(\ell=0{,}6\ell+2\Rightarrow0{,}4\ell=2\Rightarrow\ell=5\).
Q18. On considère \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+2\). On pose \(v_n=u_n-5\). Donner la raison de la suite géométrique \((v_n)\). Non vérifié
Indice
Calculer \(v_{n+1}=u_{n+1}-5\).
Correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-5=0{,}6u_n+2-5=0{,}6u_n-3=0{,}6(u_n-5)=0{,}6v_n\). La raison est \(0{,}6\).
Q19. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(4n-3\ge101\). Non vérifié
Indice
Résoudre une inéquation affine.
Correction
\(4n-3\ge101\Rightarrow4n\ge104\Rightarrow n\ge26\). Le plus petit entier convenable est \(26\).
Q20. On considère \(u_0=500\) et \(u_{n+1}=0{,}9u_n\). Donner \(u_2\). Non vérifié
Indice
Calculer \(u_1\) puis \(u_2\), ou utiliser la formule explicite.
Correction
\(u_1=0{,}9\times500=450\), puis \(u_2=0{,}9\times450=405\).