Produit Scalaire
1ERE-SPE • MATHS — Learna
📘 Cours 🧠 Fiche ✏️ Exercices ⚡ Quiz
← Retour à la classe 1ère Spé ↗ Voir tous les chapitres de maths
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Login Register
Fiche ultra-synthèse — Produit scalaire dans le plan
Produit scalaire • coordonnées • norme • angle • orthogonalité • Al-Kashi. Objectif : aller vite, calculer juste, conclure proprement.
Essentiel Formules Méthodes Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Définition géométrique
Pour deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), si \(\theta\) est l’angle entre eux : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta) \]
Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
2 Formule analytique
Si \[ \vec{u}(x_1;y_1),\qquad \vec{v}(x_2;y_2), \] alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2 \]
3 Norme
\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \] et donc \[ \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2. \]
4 Orthogonalité
\[ \vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Pour conclure, il faut écrire la phrase géométrique : “donc les vecteurs sont orthogonaux”.
Formules à maîtriser
A Produit scalaire
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta) \] \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2 \] \[ \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 \]
B Développements utiles
\[ \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} \] \[ \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} \]
C Angle
\[ \cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \]
Cette formule sert à calculer un angle ou à reconnaître si l’angle est aigu, droit ou obtus.
D Al-Kashi
Dans un triangle \(ABC\), \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}) \]
Si \(\widehat{BAC}=90^\circ\), on retrouve Pythagore.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux
  1. Écrire les coordonnées des deux vecteurs.
  2. Calculer \(x_1x_2+y_1y_2\).
  3. Si le résultat vaut 0, conclure à l’orthogonalité.
Si \(\vec{u}(2;1)\) et \(\vec{v}(1;-2)\), \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+1\times(-2)=0 \] Donc \(\vec{u}\perp\vec{v}\).
B Calculer un angle
  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
  2. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
  3. Utiliser \[ \cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \]
C Montrer qu’un triangle est rectangle
  1. Choisir deux vecteurs issus du même sommet, par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
  2. Calculer leur produit scalaire.
  3. S’il vaut 0, conclure que le triangle est rectangle au sommet commun.
D Utiliser Al-Kashi
  1. Identifier le côté opposé à l’angle connu.
  2. Écrire la formule correctement.
  3. Remplacer les longueurs et le cosinus.
  4. Simplifier proprement.
Pièges classiques (à éviter)
1 Nature du résultat
\(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est un nombre, pas un vecteur.
2 Orthogonalité
Ne pas écrire seulement “\(=0\)”. Il faut conclure : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{u}\perp\vec{v}. \]
3 Norme
\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2} \] et non \(x+y\).
Réflexe : coordonnées → produit scalaire → conclusion.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Calcul direct
Calculer \((2;3)\cdot(1;4)\).
Corrigé : \(2\times1+3\times4=14\).
Q2 Norme
Calculer la norme du vecteur \((3;4)\).
Corrigé : \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Q3 Orthogonalité
Les vecteurs \((1;2)\) et \((2;-1)\) sont-ils orthogonaux ?
Corrigé : \(1\times2+2\times(-1)=0\), donc oui.
Q4 Angle
Si \(\cos(\theta)=0\), quel est l’angle ?
Corrigé : \(\theta=90^\circ\).
Q5 Triangle rectangle
Si \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), que peut-on conclure ?
Corrigé : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Q6 Cercle
Écrire l’équation du cercle de centre \((1;2)\) et de rayon \(3\).
Corrigé : \((x-1)^2+(y-2)^2=9\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
  • Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé.
  • Calculer une norme.
  • Tester une orthogonalité.
  • Calculer un angle avec le cosinus.
  • Utiliser Al-Kashi dans un triangle.
  • Rédiger proprement une conclusion géométrique.
Réflexes 20/20
1) Je commence par écrire les vecteurs utiles.
2) Je choisis la bonne formule.
3) Je conclus avec une vraie phrase géométrique.
À bannir : oublier que le produit scalaire est un nombre, confondre \(\|\vec{u}\|^2\) et \(\|\vec{u}\|\), ou conclure sans justification.