Produit Scalaire
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Cours — Produit scalaire dans le plan
Produit scalaire • normes • angles • orthogonalité • repère orthonormé • formule d’Al-Kashi • applications géométriques.
Objectifs Définition 3 expressions Coordonnées Orthogonalité Angles Al-Kashi Applications Méthode Formulaire
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
  • Connaître les trois expressions du produit scalaire.
  • Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé.
  • Reconnaître deux vecteurs orthogonaux.
  • Calculer une longueur ou un angle.
  • Utiliser la formule d’Al-Kashi dans un triangle.
  • Résoudre des problèmes géométriques avec rigueur.
Idée centrale
Le produit scalaire est un outil unique pour relier :
  • les vecteurs,
  • les longueurs,
  • les angles,
  • et l’orthogonalité.
produit scalaire \(\Longrightarrow\) coordonnées \(\Longrightarrow\) orthogonalité / angle \(\Longrightarrow\) applications géométriques
2) Définition géométrique
Définition
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs non nuls et si \(\theta\) est une mesure de l’angle entre eux, alors : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta). \]
Cas du vecteur nul
Si l’un des deux vecteurs est nul, alors : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0. \]
Le produit scalaire est donc défini pour tous les vecteurs du plan.
Important : le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
3) Les trois expressions du produit scalaire
Expression 1 — avec l’angle
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta) \]
Expression 2 — avec la norme de \(\vec{u}+\vec{v}\)
\[ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2}\Big(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Big) \]
Expression 3 — avec la norme de \(\vec{u}-\vec{v}\)
\[ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2}\Big(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Big) \]
En pratique :
  • on utilise surtout la formule coordonnée dans un repère orthonormé ;
  • les autres formules sont très utiles pour les longueurs et dans les triangles.
4) Produit scalaire dans un repère orthonormé
Formule analytique
Si \[ \vec{u}(x_1;y_1) \qquad \text{et} \qquad \vec{v}(x_2;y_2), \] alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2. \]
Norme
\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \qquad\text{et donc}\qquad \|\vec{u}\|^2=x_1^2+y_1^2 \]
Exemple 1 — Calcul analytique
Soient \[ \vec{u}(2;3),\qquad \vec{v}(-1;4). \] Alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\times(-1)+3\times 4=-2+12=10. \]
Résultat : \(\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=10}\).
5) Orthogonalité
Critère fondamental
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0. \]
Version coordonnée
\[ \vec{u}(x_1;y_1)\perp\vec{v}(x_2;y_2) \iff x_1x_2+y_1y_2=0 \]
Exemple 2 — Montrer une perpendicularité
Soient \[ \vec{u}(2;1),\qquad \vec{v}(1;-2). \] Alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+1\times(-2)=2-2=0. \] Donc \[ \vec{u}\perp\vec{v}. \]
Conclusion : \(\boxed{\vec{u}\perp\vec{v}}\).
6) Angle entre deux vecteurs
Formule
\[ \cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \]
Interprétation du signe
  • si \(\vec{u}\cdot\vec{v}>0\), alors l’angle est aigu ;
  • si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), alors l’angle est droit ;
  • si \(\vec{u}\cdot\vec{v}<0\), alors l’angle est obtus.
Exemple 3 — Calcul d’un angle
Soient \[ \vec{u}(1;1),\qquad \vec{v}(1;0). \] Alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\times1+1\times0=1. \] Et \[ \|\vec{u}\|=\sqrt{2},\qquad \|\vec{v}\|=1. \] Donc \[ \cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}. \] Ainsi \[ \theta=45^\circ. \]
7) Formule d’Al-Kashi
Énoncé
Dans un triangle \(ABC\), \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}). \]
Cas particulier : triangle rectangle
Si \(\widehat{BAC}=90^\circ\), alors \(\cos(90^\circ)=0\), donc : \[ BC^2=AB^2+AC^2. \] On retrouve le théorème de Pythagore.
Utilité
La formule d’Al-Kashi permet :
  • de calculer une longueur,
  • de calculer un angle,
  • de faire le lien entre triangle quelconque et produit scalaire.
Exemple 4 — Calcul de longueur avec Al-Kashi
Dans un triangle \(ABC\), on donne \[ AB=3,\qquad AC=4,\qquad \widehat{BAC}=60^\circ. \] Alors \[ BC^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos(60^\circ). \] Comme \(\cos(60^\circ)=\frac12\), \[ BC^2=9+16-24\times\frac12=25-12=13. \] Donc \[ BC=\sqrt{13}. \]
Résultat : \(\boxed{BC=\sqrt{13}}\).
8) Applications géométriques
Montrer qu’un triangle est rectangle
Si \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0, \] alors les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Calculer une longueur
On peut écrire \[ \|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}. \] Très utile pour retrouver une distance.
Équation de cercle
Si un cercle a pour centre \(O(a;b)\) et rayon \(r\), alors tout point \(M(x;y)\) du cercle vérifie : \[ OM^2=r^2 \] soit \[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. \]
Médiatrice
Un point \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\) si et seulement si : \[ MA=MB. \] On utilise alors souvent les carrés des distances.
Exemple 5 — Triangle rectangle
Soient \[ A(0;0),\quad B(2;1),\quad C(1;-2). \] Alors \[ \vec{AB}(2;1),\qquad \vec{AC}(1;-2). \] Produit scalaire : \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times1+1\times(-2)=0. \] Donc \[ \vec{AB}\perp\vec{AC}. \]
Conclusion : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Exemple 6 — Appartenance à un cercle
On considère le cercle de centre \(O(1;2)\) et de rayon \(3\). Vérifier que \(M(4;2)\) appartient au cercle. \[ OM^2=(4-1)^2+(2-2)^2=9. \] Donc \[ OM=3. \]
Conclusion : \(M\) appartient au cercle.
9) Méthode complète
Quelle formule choisir ?
Situation Formule conseillée
On connaît les coordonnées \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2\)
On connaît un angle et des normes \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta)\)
On veut montrer une perpendicularité Montrer que le produit scalaire vaut 0
On veut calculer un angle \(\cos(\theta)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\)
On travaille dans un triangle Utiliser Al-Kashi
Rédaction-type
  1. On calcule les vecteurs utiles.
  2. On choisit la bonne formule.
  3. On effectue le calcul proprement.
  4. On conclut avec une phrase géométrique claire.
Réflexe bac
Ne jamais conclure seulement par “\(=0\)”. Il faut écrire par exemple : \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0 \Rightarrow \vec{AB}\perp\vec{AC}. \]
10) Mini-formulaire
Produit scalaire
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta) \] \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2 \]
Norme et angle
\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \] \[ \cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} \]
Orthogonalité
\[ \vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Al-Kashi
\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}) \]
Checklist “copie parfaite”
  • Je connais les trois expressions du produit scalaire.
  • Je sais calculer un produit scalaire avec des coordonnées.
  • Je sais reconnaître l’orthogonalité.
  • Je sais calculer un angle.
  • Je sais utiliser la formule d’Al-Kashi.
  • Je conclus toujours avec une vraie phrase géométrique.
À éviter : oublier que le produit scalaire est un nombre, confondre norme et produit scalaire, ou conclure sans justification.