(a) \[ \vec u\cdot\vec v = 2\times(-1)+3\times4=-2+12=10. \]

(b) \[ \|\vec u\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \qquad \|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}. \]

(c) \[ \vec u\cdot\vec u=2^2+3^2=13. \] C’est bien \(\|\vec u\|^2\).

(d) Comme \(\vec u\cdot\vec v=10\neq 0\), les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Réponses : (a) \(10\), (b) \(\sqrt{13}\) et \(\sqrt{17}\), (c) \(13\), (d) non.

(a) \[ \vec u\cdot\vec v = 3\times4 + (-2)\times6 = 12-12=0. \]

(b) Si le produit scalaire est nul, alors le cosinus de l’angle vaut 0. L’angle est donc droit.

(c) Oui, les vecteurs sont orthogonaux.

(d) Comme \(\vec u\cdot\vec v=0\), on conclut que \(\vec u\perp\vec v\).

Réponse : \(\vec u\cdot\vec v=0\), donc \(\vec u\perp\vec v\).

(a) \[ \vec u\cdot\vec v = 1\times2 + 1\times0 = 2. \]

(b) \[ \|\vec u\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \qquad \|\vec v\|=\sqrt{2^2+0^2}=2. \]

(c) \[ \cos(\theta)=\frac{2}{\sqrt2\times 2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

(d) On reconnaît la valeur remarquable de \(45^\circ\).

Réponse : \(\theta=45^\circ\).

(a) \[ \vec u\cdot\vec v = 3m + 2\times(-6)=3m-12. \]

(b) On impose \[ 3m-12=0 \iff 3m=12 \iff m=4. \]

(c) Avec \(m=4\), \[ \vec u(4;2)\cdot\vec v(3;-6)=4\times3+2\times(-6)=12-12=0. \] Vérification correcte.

Réponse : \(\boxed{m=4}\).

(a) \[ \vec u+\vec v=(2+1\,;\,1+3)=(3;4). \]

(b) \[ \|\vec u+\vec v\|^2=3^2+4^2=25. \]

(c) \[ \|\vec u\|^2=2^2+1^2=5, \qquad \|\vec v\|^2=1^2+3^2=10. \] Et \[ \vec u\cdot\vec v=2\times1+1\times3=5, \qquad 2\vec u\cdot\vec v=10. \]

(d) \[ \|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v = 5+10+10=25. \] On retrouve bien \(\|\vec u+\vec v\|^2\).

Conclusion : la formule est vérifiée.

(a) \[ \vec u-\vec v=(4-1\,;\,1-(-1))=(3;2). \]

(b) \[ \|\vec u-\vec v\|^2=3^2+2^2=13. \]

(c) \[ \|\vec u\|^2=4^2+1^2=17, \qquad \|\vec v\|^2=1^2+(-1)^2=2. \] Et \[ \vec u\cdot\vec v=4\times1+1\times(-1)=3, \qquad 2\vec u\cdot\vec v=6. \]

(d) \[ \|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\vec u\cdot\vec v=17+2-6=13. \] On retrouve bien \(\|\vec u-\vec v\|^2\).

Conclusion : formule vérifiée.

(a) \[ \vec{AB}(3;1),\qquad \vec{AC}(1;-5). \]

(b) \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times1+1\times(-5)=3-5=-2. \]

(c) Le produit scalaire n’est pas nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas orthogonaux. On ne peut donc pas conclure que le triangle est rectangle en \(A\).

Conclusion : le triangle \(ABC\) n’est pas rectangle en \(A\).

(a) \[ \vec{AB}=(5-1\,;\,4-2)=(4;2), \qquad \vec{AC}=(3-1\,;\,-2-2)=(2;-4). \]

(b) \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\times2+2\times(-4)=8-8=0. \]

(c) Comme \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux.

Conclusion : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

(a) \[ (x-2)^2+(y+1)^2=25. \]

(b) Pour \(M(5;3)\) : \[ OM^2=(5-2)^2+(3+1)^2=3^2+4^2=9+16=25. \] Donc \(OM=5\), donc \(M\in\mathcal C\).

(c) Pour \(N(6;-1)\) : \[ ON^2=(6-2)^2+(-1+1)^2=4^2+0^2=16. \] Donc \(ON=4\neq 5\), ainsi \(N\notin\mathcal C\).

Conclusion : \(M\) appartient au cercle, \(N\) n’y appartient pas.

(a) \[ \|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\vec u\cdot\vec v =9+25+12=46. \]

(b) \[ \|\vec u+\vec v\|=\sqrt{46}. \]

(c) \[ \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\vec u\cdot\vec v =9+25-12=22. \]

(d) \[ \|\vec u-\vec v\|=\sqrt{22}. \]

Réponses : \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{46}\), \(\|\vec u-\vec v\|=\sqrt{22}\).

(a) \[ \cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} =\frac{12}{4\times6}=\frac12. \]

(b) Comme \(\cos(\theta)>0\), l’angle est aigu.

(c) On reconnaît \[ \cos(60^\circ)=\frac12. \] Donc \(\theta=60^\circ\).

Réponse : \(\theta=60^\circ\).

(a) \[ \vec{AB}=(4-1\,;\,3-1)=(3;2), \qquad \vec{AC}=(x-1\,;\,5-1)=(x-1;4). \]

(b) \[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=3(x-1)+2\times4=3x-3+8=3x+5. \]

(c) Pour que le triangle soit rectangle en \(A\), il faut \[ 3x+5=0 \iff x=-\frac53. \]

Réponse : \(\boxed{x=-\frac53}\).

(a) \[ I\left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{2+6}{2}\right)=(3;4). \]

(b) \[ \vec{AB}=(5-1\,;\,6-2)=(4;4). \] Alors \[ \vec{AB}\cdot(1;-1)=4\times1+4\times(-1)=0. \] Donc \(\vec{AB}\perp(1;-1)\).

(c) La médiatrice passe par \(I(3;4)\) et a pour vecteur directeur \((1;-1)\). Une équation possible est \[ y=-x+7. \] En effet, elle passe bien par \((3;4)\).

Réponse : médiatrice : \(\boxed{y=-x+7}\).

(a) \[ 2\times3+1\times4=10>0 \] donc l’angle est aigu.

(b) \[ 1\times2+2\times(-1)=0 \] donc l’angle est droit.

(c) \[ (-1)\times2+3\times(-5)=-2-15=-17<0 \] donc l’angle est obtus.

Réponses : (a) aigu ; (b) droit ; (c) obtus.

(a) \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}). \]

(b) \[ BC^2=5^2+7^2-2\times5\times7\times\frac12 \] \[ BC^2=25+49-35=39. \]

(c) \[ BC=\sqrt{39}. \]

Réponse : \(\boxed{BC=\sqrt{39}}\).

Par Al-Kashi : \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}). \] Donc \[ 28=4^2+6^2-2\times4\times6\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 28=16+36-48\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 28=52-48\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 48\cos(\widehat{BAC})=24 \qquad\Rightarrow\qquad \cos(\widehat{BAC})=\frac12. \] Donc \[ \widehat{BAC}=60^\circ. \]

Réponse : \(\boxed{60^\circ}\).

(a) \[ \|\vec u+\vec v\|^2=5^2=25. \]

(b) \[ 25=3^2+4^2+2\vec u\cdot\vec v \] \[ 25=9+16+2\vec u\cdot\vec v \] \[ 25=25+2\vec u\cdot\vec v \] \[ 2\vec u\cdot\vec v=0 \qquad\Rightarrow\qquad \vec u\cdot\vec v=0. \]

(c) Le produit scalaire nul montre que les vecteurs sont orthogonaux.

Conclusion : l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est droit.

(a) \[ \vec u\cdot\vec v = 3\times2+0\times2=6. \]

(b) \[ \|\vec u\|=3, \qquad \|\vec v\|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2. \]

(c) \[ \cos(\theta)=\frac{6}{3\times2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

(d) \[ \theta=45^\circ. \]

Réponse : \(\boxed{45^\circ}\).

(a) \[ \vec u\cdot\vec v=1\times2+2\times1=4. \]

(b) \[ \vec u\cdot\vec w=1\times2+2\times(-1)=2-2=0. \]

(c) Oui, puisque le produit scalaire est nul, \(\vec u\perp\vec w\).

(d) On calcule les normes : \[ \|\vec u\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5, \qquad \|\vec v\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5. \] Donc \[ \cos(\theta)=\frac{4}{\sqrt5\times\sqrt5}=\frac45. \] Ainsi \[ \theta=\arccos\left(\frac45\right)\approx 36{,}9^\circ. \]

Réponses : (a) 4 ; (b) 0 ; (c) oui ; (d) \(\theta\approx36{,}9^\circ\).

(a) \[ AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100. \] Or \[ BC^2=10^2=100. \] Donc \[ AB^2+AC^2=BC^2. \] Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

(b) Comme le triangle est rectangle en \(A\), \[ \widehat{BAC}=90^\circ \qquad\Rightarrow\qquad \cos(\widehat{BAC})=0. \]

(c) \[ \widehat{BAC}=90^\circ. \]

(d) Par Al-Kashi : \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{BAC}). \] Donc \[ 100=36+64-2\times6\times8\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 100=100-96\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 96\cos(\widehat{BAC})=0 \qquad\Rightarrow\qquad \cos(\widehat{BAC})=0. \] On retrouve bien \[ \widehat{BAC}=90^\circ. \]

Conclusion : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).