Quiz — Produit scalaire

Quiz — Produit scalaire

20 questions solides : vecteurs, coordonnées, orthogonalité, angles, médiatrice, cercle, projection et géométrie analytique.

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Q1. Dans un repère orthonormé, si \(\vec u=(3; -2)\) et \(\vec v=(-1; 5)\), alors \(\vec u\cdot\vec v\) vaut : Non vérifié
Indice
Utiliser la formule coordonnée du produit scalaire.
Correction
On calcule : \(\vec u\cdot\vec v=3\times(-1)+(-2)\times5=-3-10=-13\).
Q2. Si \(\vec u\cdot\vec v=0\) avec \(\vec u\neq\vec0\) et \(\vec v\neq\vec0\), alors : Non vérifié
Indice
Produit scalaire nul entre deux vecteurs non nuls.
Correction
Si deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul, alors ils sont orthogonaux.
Q3. Si \(A(1;2)\), \(B(5;4)\), alors \(AB^2\) vaut : Non vérifié
Indice
Calculer \(\overrightarrow{AB}\), puis sa norme au carré.
Correction
\(\overrightarrow{AB}=(4;2)\). Donc \(AB^2=4^2+2^2=16+4=20\).
Q4. Dans un triangle \(ABC\), l’égalité \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) signifie que le triangle est rectangle en : Non vérifié
Indice
Les deux vecteurs partent du même sommet.
Correction
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) partent de \(A\). S’ils sont orthogonaux, le triangle est rectangle en \(A\).
Q5. Si \(\|\vec u\|=4\), \(\|\vec v\|=6\) et l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) vaut \(60^\circ\), alors \(\vec u\cdot\vec v\) vaut : Non vérifié
Indice
Utiliser la formule avec le cosinus.
Correction
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos 60^\circ=4\times6\times\dfrac12=12\).
Q6. Si \(\vec u\cdot\vec v>0\), alors l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est : Non vérifié
Indice
Penser au signe du cosinus.
Correction
Comme \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\), si le produit scalaire est positif alors \(\cos\theta>0\), donc l’angle est aigu.
Q7. Soient \(A(1;1)\), \(B(5;3)\), \(C(3;-3)\). Le triangle \(ABC\) est : Non vérifié
Indice
Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
Correction
\(\overrightarrow{AB}=(4;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;-4)\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times2+2\times(-4)=8-8=0\).
Donc le triangle est rectangle en \(A\).
Q8. Dans un repère orthonormé, l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) est : Non vérifié
Indice
Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à un vecteur directeur de \((BC)\).
Correction
La condition \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) signifie que \(\overrightarrow{AM}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{BC}\). L’ensemble des points \(M\) est donc la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).
Q9. Si \(\vec u=(1;2)\) et \(\vec v=(k; -3)\) sont orthogonaux, alors \(k\) vaut : Non vérifié
Indice
Écrire \(\vec u\cdot\vec v=0\).
Correction
\((1;2)\cdot(k;-3)=k-6\).
Pour l’orthogonalité : \(k-6=0\), donc \(k=6\).
Q10. Si \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(0;3)\), alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) vaut : Non vérifié
Indice
Lire directement les coordonnées des vecteurs.
Correction
\(\overrightarrow{AB}=(4;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0;3)\).
Produit scalaire : \(4\times0+0\times3=0\).
Q11. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies ? Non vérifié
Indice
Revoir les propriétés algébriques du produit scalaire.
Correction
Sont vraies :
• \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)
• \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\)
• \((k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)\)
La deuxième affirmation est fausse : deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux.
Q12. Soient \(\vec u=(2;1)\) et \(\vec v=(x;y)\). Quelles conditions assurent que \(\vec u\perp\vec v\) ? Non vérifié
Indice
Traduire l’orthogonalité par un produit scalaire nul.
Correction
\(\vec u\cdot\vec v=2x+y\).
L’orthogonalité équivaut à \(2x+y=0\), soit \(x=-\dfrac y2\), soit encore \(y=-2x\).
Q13. Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux à \((3;-2)\) ? Non vérifié
Indice
Tester le produit scalaire avec \((3;-2)\).
Correction
\((3;-2)\cdot(2;3)=6-6=0\)
\((3;-2)\cdot(-2;-3)=-6+6=0\)
\((3;-2)\cdot(4;6)=12-12=0\)
\((3;-2)\cdot(1;1)=3-2=1\neq0\).
Q14. Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors on a nécessairement : Non vérifié
Indice
Faire le lien entre angle droit, cosinus, Pythagore et produit scalaire.
Correction
Si le triangle est rectangle en \(A\), alors :
• \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
• \(\cos(\widehat{BAC})=0\)
• \(BC^2=AB^2+AC^2\)
En revanche \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) correspondrait à un angle droit en \(B\).
Q15. L’équation \((x-1)(x-3)+(y+2)(y-4)=0\) peut se réécrire comme : Non vérifié
Indice
Reconnaître une écriture de produit scalaire nul.
Correction
On reconnaît \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) avec \(A(1;-2)\) et \(B(3;4)\).
Donc l’angle \(\widehat{AMB}\) est droit, et le lieu est le cercle de diamètre \([AB]\).
Q16. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) pour \(\vec u=(5;-1)\) et \(\vec v=(2;4)\). Non vérifié
Indice
Multiplier les coordonnées correspondantes et additionner.
Correction
\(\vec u\cdot\vec v=5\times2+(-1)\times4=10-4=6\).
Q17. Dans un repère orthonormé, calculer \(AB\) si \(A(-1;2)\) et \(B(3;5)\). Non vérifié
Indice
Commencer par \(AB^2\).
Correction
\(\overrightarrow{AB}=(4;3)\), donc \(AB^2=4^2+3^2=25\), d’où \(AB=5\).
Q18. Trouver \(x\) pour que les vecteurs \((x;3)\) et \((2;-4)\) soient orthogonaux. Non vérifié
Indice
Produit scalaire nul.
Correction
\((x;3)\cdot(2;-4)=2x-12\).
Pour l’orthogonalité, il faut \(2x-12=0\), donc \(x=6\).
Q19. On sait que \(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=8\) et que l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) vaut \(120^\circ\). Calculer \(\vec u\cdot\vec v\). Non vérifié
Indice
Utiliser \(\cos 120^\circ=-\dfrac12\).
Correction
\(\vec u\cdot\vec v=3\times8\times\cos 120^\circ=24\times\left(-\dfrac12\right)=-12\).
Q20. Soient \(A(2;1)\), \(B(6;4)\), \(C(8;x)\). Trouver \(x\) pour que le triangle \(ABC\) soit rectangle en \(B\). Non vérifié
Indice
Rectangle en \(B\) signifie \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).
Correction
\(\overrightarrow{BA}=(-4;-3)\), \(\overrightarrow{BC}=(2;x-4)\).
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\times2+(-3)(x-4)=0\).
Donc \(-8-3x+12=0\), soit \(4-3x=0\), d’où \(x=\dfrac43\).