Probabilites Conditionnelles Independance
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Probabilités conditionnelles et indépendance (1ère Spé)
Conditionnement • arbres pondérés • probabilités totales • indépendance.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides et rédaction propre type Bac.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Probabilité conditionnelle
Si \(P(A)>0\), alors :
\[
P_A(B)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\]
On lit \(P_A(B)\) : probabilité de \(B\) sachant \(A\).
Piège : ne pas confondre \(P_A(B)\) avec \(P(A\cap B)\).
2 Formule fondamentale
| Formule | Utilité |
|---|---|
| \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\) | calculer une intersection |
| \(P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)\) | forme symétrique |
Exemple : si \(P(A)=0{,}4\) et \(P_A(B)=0{,}3\), alors
\[
P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12.
\]
3 Arbres pondérés
Règle de lecture :
chemin = produit des branches
La probabilité d’un événement peut être la somme de plusieurs chemins.
À ne pas oublier : à chaque nœud, la somme des branches issues vaut \(1\).
4 Indépendance
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
\]
Test pratique :
\[
P_A(B)=P(B)
\]
si \(P(A)>0\).
Indépendance \(\neq\) incompatibilité.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Calculer une probabilité conditionnelle
- Vérifier que \(P(A)>0\).
- Identifier \(P(A\cap B)\).
- Appliquer : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]
Si \(P(A)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\), alors
\[
P_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.
\]
B Lire un arbre pondéré
| Étape | Action |
|---|---|
| 1 | compléter les probabilités manquantes |
| 2 | multiplier sur un chemin |
| 3 | additionner plusieurs chemins si besoin |
Exemple : si \(P(A)=0{,}7\) et \(P_A(B)=0{,}2\), alors
\[
P(A\cap B)=0{,}14.
\]
C Probabilités totales
- Repérer une partition, souvent \((A;\overline A)\).
- Calculer chaque branche menant à \(B\).
- Faire la somme.
\[
P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)
\]
D Tester l’indépendance
Comparer :
\[
P(A\cap B)
\quad \text{et} \quad
P(A)P(B).
\]
Si \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}3\) et \(P(A\cap B)=0{,}15\), alors
\[
P(A)P(B)=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15
\]
donc \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Pièges classiques (à éviter)
1 Confusion de formules
\[
P_A(B)\neq P(A\cap B)
\]
En réalité :
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\]
2 Arbre mal lu
Sur un arbre :
chemin = produit
événement global = souvent somme de chemins
chemin = produit
événement global = souvent somme de chemins
3 Indépendance
Ne pas confondre :
indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
incompatibles : \(P(A\cap B)=0\)
indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
incompatibles : \(P(A\cap B)=0\)
Attention : deux événements incompatibles ne sont généralement pas indépendants.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Conditionnelle
Si \(P(A)=0{,}4\) et \(P(A\cap B)=0{,}12\), calculer \(P_A(B)\).
Corrigé : \(P_A(B)=\dfrac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3\).
Q2 Intersection
Si \(P(A)=0{,}7\) et \(P_A(B)=0{,}2\), calculer \(P(A\cap B)\).
Corrigé : \(P(A\cap B)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14\).
Q3 Totales
Si \(P(A)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}7\), \(P_{\overline A}(B)=0{,}2\), calculer \(P(B)\).
Corrigé : \(P(B)=0{,}4\times 0{,}7+0{,}6\times 0{,}2=0{,}4\).
Q4 Indépendance
Si \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}3\), \(P(A\cap B)=0{,}15\), les événements sont-ils indépendants ?
Corrigé : oui, car \(0{,}5\times 0{,}3=0{,}15\).
Q5 Complémentaire
Si \(P(A)=0{,}37\), calculer \(P(\overline A)\).
Corrigé : \(P(\overline A)=1-0{,}37=0{,}63\).
Q6 Incompatibilité
Si \(A\cap B=\varnothing\) et \(P(A)>0\), \(P(B)>0\), peut-on dire que \(A\) et \(B\) sont indépendants ?
Corrigé : non, car \(P(A\cap B)=0\) alors que \(P(A)P(B)>0\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Calculer une probabilité conditionnelle.
- Retrouver une intersection avec la formule fondamentale.
- Lire et compléter un arbre pondéré.
- Utiliser la formule des probabilités totales.
- Tester l’indépendance de deux événements.
Réflexes 20/20
1) Définir clairement les événements.
2) Sur un arbre : produit puis somme si besoin.
3) Pour l’indépendance : comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)P(B)\).
2) Sur un arbre : produit puis somme si besoin.
3) Pour l’indépendance : comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)P(B)\).
À bannir : confondre \(P_A(B)\) et \(P(A\cap B)\), oublier la condition \(P(A)>0\), confondre indépendance et incompatibilité.