⚡ Fiche de révision — Probabilités conditionnelles & indépendance
À connaître pour le Bac : définitions, formules incontournables, méthodes d’arbre, test d’indépendance.
Conditionnement
Arbre pondéré
Probabilités totales
Indépendance
1) Définitions essentielles
- \(\Omega\) : univers, \(A,B\) : événements
- \(0\le P(A)\le 1\), \(P(\Omega)=1\)
- \(P(\overline A)=1-P(A)\)
Probabilité conditionnelle : si \(P(A)>0\),
\[
P(B\mid A)=P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
\]
2) Formules incontournables
Intersection (formule fondamentale)
\[
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)
\]
Autre écriture
\[
P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)
\]
Probabilités totales (partition \((A_1,\dots,A_n)\) de \(\Omega\)) :
\[
P(B)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)
\]
3) Arbres pondérés — méthode rapide
Règles d’or :
- À chaque nœud : somme des branches sortantes = 1
- Probabilité d’un chemin = produit des branches
- Probabilité d’un événement = somme des chemins favorables
⚠️ Toujours écrire \(P(B\mid A)\) sur une branche issue de \(A\), jamais \(P(A\cap B)\) directement sur une branche.
4) Indépendance
Définition :
\[
A \text{ et } B \text{ indépendants }
\iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B)
\]
Tests pratiques (équivalents)
- \(P(B\mid A)=P(B)\) (si \(P(A)>0\))
- \(P(A\mid B)=P(A)\) (si \(P(B)>0\))
⚠️ Indépendance ≠ incompatibilité.
Si \(A\cap B=\varnothing\) et \(P(A)>0, P(B)>0\), alors \(A\) et \(B\) ne peuvent pas être indépendants.
5) Méthodes Bac (à appliquer en routine)
✅ Méthode 1 — Calculer \(P(B\mid A)\)
- Vérifier que \(P(A)>0\)
- Calculer \(P(A\cap B)\)
- Diviser : \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
✅ Méthode 2 — Avec un arbre
- Mettre \(A\) / \(\overline A\) au 1er niveau
- Mettre \(B\) / \(\overline B\) au 2e niveau
- Produits pour les intersections
- Sommes pour \(P(B)\)
✅ Mini-résumé (à mémoriser)
- \(P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
- \(P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)\)
- \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B\mid A_i)\)
- Indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)