Probabilites Conditionnelles Independance
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Exercices — Probabilités conditionnelles et indépendance (1ère Spé)
20 exercices progressifs et solides : probabilités conditionnelles, arbres pondérés, probabilités totales, indépendance, lecture de contexte, rédaction type Bac.
Série A — Bases Série B — Arbres Série C — Totales / Indépendance Série D — Bac Voir le PDF
Série A — Bases du conditionnement
Objectif : lire correctement \(P_A(B)\), utiliser la formule fondamentale, raisonner sur des événements simples.
1 Calcul direct d’une probabilité conditionnelle
On sait que : \[ P(A)=0{,}4 \qquad \text{et} \qquad P(A\cap B)=0{,}12. \]
  1. Calculer \(P_A(B)\).
  2. Interpréter le résultat.
Indication / Corrigé
Comme \(P(A)>0\), on utilise : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3. \] Donc \(\boxed{P_A(B)=0{,}3}\). Cela signifie que, parmi les cas où \(A\) est réalisé, \(B\) se produit avec une probabilité de \(0{,}3\).
2 Retrouver une intersection
On sait que : \[ P(A)=0{,}7 \qquad \text{et} \qquad P_A(B)=0{,}2. \]
  1. Calculer \(P(A\cap B)\).
  2. Écrire la formule utilisée.
Indication / Corrigé
On applique la formule fondamentale : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B). \] Donc : \[ P(A\cap B)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14. \] Réponse : \(\boxed{P(A\cap B)=0{,}14}\).
3 Conditionnement dans un contexte
Dans un lycée, \(60\%\) des élèves sont des filles. Parmi les filles, \(35\%\) pratiquent le théâtre. On note :
  • \(F\) : « l’élève est une fille » ;
  • \(T\) : « l’élève pratique le théâtre ».
  1. Donner \(P(F)\).
  2. Donner \(P_F(T)\).
  3. Calculer \(P(F\cap T)\).
Corrigé détaillé
On lit directement : \[ P(F)=0{,}6 \qquad \text{et} \qquad P_F(T)=0{,}35. \] Puis : \[ P(F\cap T)=P(F)\times P_F(T)=0{,}6\times 0{,}35=0{,}21. \] Réponse : \(\boxed{P(F\cap T)=0{,}21}\).
4 Retrouver une probabilité de départ
On sait que : \[ P(A\cap B)=0{,}18 \qquad \text{et} \qquad P_A(B)=0{,}3. \]
Calculer \(P(A)\).
Corrigé
Comme \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B), \] on obtient \[ P(A)=\frac{P(A\cap B)}{P_A(B)}=\frac{0{,}18}{0{,}3}=0{,}6. \] Donc \(\boxed{P(A)=0{,}6}\).
Série B — Arbres pondérés
Objectif : compléter, lire et exploiter un arbre de probabilités.
5 Compléter un arbre
On sait que : \[ P(A)=0{,}4,\qquad P_A(B)=0{,}7,\qquad P_{\overline A}(B)=0{,}2. \]
  1. Donner \(P(\overline A)\).
  2. Donner \(P_A(\overline B)\).
  3. Donner \(P_{\overline A}(\overline B)\).
Corrigé
Par complémentarité : \[ P(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6 \] \[ P_A(\overline B)=1-0{,}7=0{,}3 \] \[ P_{\overline A}(\overline B)=1-0{,}2=0{,}8 \] Réponses : \[ \boxed{P(\overline A)=0{,}6},\quad \boxed{P_A(\overline B)=0{,}3},\quad \boxed{P_{\overline A}(\overline B)=0{,}8}. \]
6 Probabilité d’un chemin
On reprend les données de l’exercice précédent.
  1. Calculer \(P(A\cap B)\).
  2. Calculer \(P(\overline A\cap B)\).
  3. Calculer \(P(A\cap \overline B)\).
Corrigé détaillé
On multiplie sur les chemins : \[ P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28 \] \[ P(\overline A\cap B)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12 \] \[ P(A\cap \overline B)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12 \] Donc : \[ \boxed{P(A\cap B)=0{,}28},\quad \boxed{P(\overline A\cap B)=0{,}12},\quad \boxed{P(A\cap \overline B)=0{,}12}. \]
7 Lire un événement global
Avec les mêmes données : \[ P(A)=0{,}4,\quad P_A(B)=0{,}7,\quad P_{\overline A}(B)=0{,}2. \]
Calculer \(P(B)\).
Corrigé détaillé
L’événement \(B\) peut être réalisé selon deux chemins : \[ A\cap B \qquad \text{ou} \qquad \overline A\cap B. \] Donc : \[ P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)=0{,}28+0{,}12=0{,}4. \] Réponse : \(\boxed{P(B)=0{,}4}\).
8 Retour à une probabilité conditionnelle
On sait que : \[ P(A)=0{,}25,\qquad P(A\cap B)=0{,}15. \]
Calculer \(P_A(B)\), puis \(P_A(\overline B)\).
Corrigé
\[ P_A(B)=\frac{0{,}15}{0{,}25}=0{,}6 \] puis \[ P_A(\overline B)=1-0{,}6=0{,}4. \] Donc : \[ \boxed{P_A(B)=0{,}6} \qquad \text{et} \qquad \boxed{P_A(\overline B)=0{,}4}. \]
Série C — Probabilités totales et indépendance
Objectif : appliquer la formule des probabilités totales et tester l’indépendance de deux événements.
9 Formule des probabilités totales
On sait que : \[ P(A)=0{,}3,\qquad P_A(B)=0{,}8,\qquad P_{\overline A}(B)=0{,}1. \]
Calculer \(P(B)\).
Corrigé détaillé
On applique : \[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B). \] Or \[ P(\overline A)=1-0{,}3=0{,}7. \] Donc : \[ P(B)=0{,}3\times 0{,}8 + 0{,}7\times 0{,}1 \] \[ P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31. \] Réponse : \(\boxed{P(B)=0{,}31}\).
10 Test d’indépendance
On sait que : \[ P(A)=0{,}5,\qquad P(B)=0{,}3,\qquad P(A\cap B)=0{,}15. \]
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
Corrigé détaillé
On calcule : \[ P(A)P(B)=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15. \] Comme \[ P(A\cap B)=P(A)P(B), \] les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
11 Indépendance ou non ?
On sait que : \[ P(A)=0{,}4,\qquad P(B)=0{,}5,\qquad P(A\cap B)=0{,}1. \]
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
Corrigé
On compare : \[ P(A)P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2. \] Or \[ P(A\cap B)=0{,}1 \neq 0{,}2. \] Donc \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.
12 Utiliser \(P_A(B)=P(B)\)
On sait que : \[ P(A)=0{,}5,\qquad P(B)=0{,}4,\qquad P_A(B)=0{,}4. \]
Que peut-on conclure ?
Corrigé
Comme \[ P_A(B)=P(B), \] les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
13 Incompatibilité et indépendance
On suppose que \(A\cap B=\varnothing\), avec \(P(A)=0{,}3\) et \(P(B)=0{,}4\).
Les événements \(A\) et \(B\) peuvent-ils être indépendants ?
Corrigé détaillé
Puisque \(A\cap B=\varnothing\), on a : \[ P(A\cap B)=0. \] Or : \[ P(A)P(B)=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12. \] Comme \[ 0\neq 0{,}12, \] \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.
Série D — Exercices type Bac / rédaction
Objectif : modéliser une situation, construire les probabilités utiles, rédiger complètement et conclure.
14 Fabrication industrielle
Une usine possède deux machines \(M_1\) et \(M_2\). La machine \(M_1\) produit \(40\%\) des pièces et \(M_2\) produit \(60\%\) des pièces. Parmi les pièces produites par \(M_1\), \(3\%\) sont défectueuses. Parmi les pièces produites par \(M_2\), \(5\%\) sont défectueuses.
On note :
  • \(M_1\) : « la pièce provient de la machine \(M_1\) » ;
  • \(M_2\) : « la pièce provient de la machine \(M_2\) » ;
  • \(D\) : « la pièce est défectueuse ».
  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer \(P(M_1\cap D)\) et \(P(M_2\cap D)\).
  3. En déduire \(P(D)\).
Corrigé complet type Bac
On a : \[ P(M_1)=0{,}4,\qquad P(M_2)=0{,}6, \] \[ P_{M_1}(D)=0{,}03,\qquad P_{M_2}(D)=0{,}05. \] Donc : \[ P(M_1\cap D)=0{,}4\times 0{,}03=0{,}012 \] \[ P(M_2\cap D)=0{,}6\times 0{,}05=0{,}03 \] Puis, par formule des probabilités totales : \[ P(D)=P(M_1\cap D)+P(M_2\cap D)=0{,}012+0{,}03=0{,}042. \] Conclusion : \[ \boxed{P(D)=0{,}042}. \]
15 Sport au lycée
Dans un établissement, \(55\%\) des élèves sont des filles. Parmi les filles, \(40\%\) pratiquent un sport collectif. Parmi les garçons, \(30\%\) pratiquent un sport collectif.
On note :
  • \(F\) : « l’élève est une fille » ;
  • \(S\) : « l’élève pratique un sport collectif ».
  1. Calculer \(P(S)\).
  2. Calculer \(P(F\cap S)\).
  3. Les événements \(F\) et \(S\) sont-ils indépendants ?
Corrigé détaillé
On a : \[ P(F)=0{,}55,\qquad P_{\overline F}(S)=0{,}30,\qquad P_F(S)=0{,}40. \] Alors : \[ P(F\cap S)=0{,}55\times 0{,}40=0{,}22. \] Et : \[ P(S)=0{,}55\times 0{,}40+0{,}45\times 0{,}30 \] \[ P(S)=0{,}22+0{,}135=0{,}355. \] Enfin : \[ P(F)P(S)=0{,}55\times 0{,}355=0{,}19525. \] Or \[ P(F\cap S)=0{,}22\neq 0{,}19525. \] Donc \(F\) et \(S\) ne sont pas indépendants.
16 Test médical
Dans une population, \(2\%\) des personnes sont atteintes d’une maladie. Un test est positif dans \(95\%\) des cas chez les malades, et dans \(4\%\) des cas chez les non-malades.
On note :
  • \(M\) : « la personne est malade » ;
  • \(T\) : « le test est positif ».
  1. Calculer \(P(M\cap T)\).
  2. Calculer \(P(T)\).
  3. Calculer \(P_T(M)\).
Corrigé complet
On a : \[ P(M)=0{,}02,\qquad P_M(T)=0{,}95,\qquad P_{\overline M}(T)=0{,}04. \] D’abord : \[ P(M\cap T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019. \] Ensuite : \[ P(T)=0{,}02\times 0{,}95+0{,}98\times 0{,}04 \] \[ P(T)=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582. \] Enfin : \[ P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}019}{0{,}0582}\approx 0{,}326. \] Conclusion : \[ \boxed{P_T(M)\approx 0{,}326}. \]
17 Jeu de cartes et indépendance
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On note :
  • \(A\) : « la carte tirée est un as » ;
  • \(R\) : « la carte tirée est rouge ».
  1. Calculer \(P(A)\).
  2. Calculer \(P(R)\).
  3. Calculer \(P(A\cap R)\).
  4. Les événements \(A\) et \(R\) sont-ils indépendants ?
Corrigé détaillé
Dans un jeu de 32 cartes : \[ P(A)=\frac4{32}=\frac18 \] \[ P(R)=\frac{16}{32}=\frac12 \] Parmi les 4 as, 2 sont rouges, donc : \[ P(A\cap R)=\frac2{32}=\frac1{16}. \] Or : \[ P(A)P(R)=\frac18\times \frac12=\frac1{16}. \] Donc \(A\) et \(R\) sont indépendants.
18 Élèves et spécialités
Dans un lycée, \(48\%\) des élèves ont choisi la spécialité maths. Parmi eux, \(70\%\) suivent aussi la physique. Parmi ceux qui n’ont pas pris maths, \(25\%\) suivent la physique.
On note :
  • \(M\) : « l’élève suit maths » ;
  • \(P\) : « l’élève suit physique ».
  1. Calculer \(P(P)\).
  2. Calculer \(P(M\cap P)\).
  3. Les événements \(M\) et \(P\) sont-ils indépendants ?
Corrigé complet
On a : \[ P(M)=0{,}48,\qquad P_M(P)=0{,}70,\qquad P_{\overline M}(P)=0{,}25. \] Donc : \[ P(M\cap P)=0{,}48\times 0{,}70=0{,}336. \] Puis : \[ P(P)=0{,}48\times 0{,}70 + 0{,}52\times 0{,}25 \] \[ P(P)=0{,}336+0{,}13=0{,}466. \] Enfin : \[ P(M)P(P)=0{,}48\times 0{,}466=0{,}22368. \] Comme \[ P(M\cap P)=0{,}336\neq 0{,}22368, \] les événements \(M\) et \(P\) ne sont pas indépendants.
19 Exercice de synthèse guidée
Dans une entreprise, \(65\%\) des employés ont suivi une formation. Parmi les employés formés, \(80\%\) réussissent un test. Parmi les non-formés, \(50\%\) réussissent ce test.
On note :
  • \(F\) : « l’employé a suivi la formation » ;
  • \(R\) : « l’employé réussit le test ».
  1. Construire l’arbre pondéré.
  2. Calculer \(P(F\cap R)\).
  3. Calculer \(P(R)\).
  4. Calculer \(P_R(F)\).
Corrigé type Bac
On a : \[ P(F)=0{,}65,\qquad P_{\overline F}=0{,}35, \] \[ P_F(R)=0{,}80,\qquad P_{\overline F}(R)=0{,}50. \] D’abord : \[ P(F\cap R)=0{,}65\times 0{,}80=0{,}52. \] Puis : \[ P(R)=0{,}65\times 0{,}80+0{,}35\times 0{,}50 \] \[ P(R)=0{,}52+0{,}175=0{,}695. \] Enfin : \[ P_R(F)=\frac{P(F\cap R)}{P(R)}=\frac{0{,}52}{0{,}695}\approx 0{,}748. \] Donc : \[ \boxed{P_R(F)\approx 0{,}748}. \]
20 Exercice de synthèse complet
Une application est utilisée sur smartphone ou sur ordinateur. \(72\%\) des connexions se font sur smartphone. Parmi les connexions sur smartphone, \(18\%\) aboutissent à un achat. Parmi les connexions sur ordinateur, \(25\%\) aboutissent à un achat.
On note :
  • \(S\) : « la connexion se fait sur smartphone » ;
  • \(A\) : « la connexion aboutit à un achat ».
  1. Calculer \(P(S\cap A)\).
  2. Calculer \(P(A)\).
  3. Calculer \(P_A(S)\).
  4. Les événements \(S\) et \(A\) sont-ils indépendants ?
Corrigé complet premium
On a : \[ P(S)=0{,}72,\qquad P_{\overline S}=0{,}28, \] \[ P_S(A)=0{,}18,\qquad P_{\overline S}(A)=0{,}25. \] D’abord : \[ P(S\cap A)=0{,}72\times 0{,}18=0{,}1296. \] Puis : \[ P(A)=0{,}72\times 0{,}18 + 0{,}28\times 0{,}25 \] \[ P(A)=0{,}1296+0{,}07=0{,}1996. \] Ensuite : \[ P_A(S)=\frac{P(S\cap A)}{P(A)}=\frac{0{,}1296}{0{,}1996}\approx 0{,}649. \] Enfin : \[ P(S)P(A)=0{,}72\times 0{,}1996=0{,}143712. \] Or : \[ P(S\cap A)=0{,}1296\neq 0{,}143712. \] Donc \(S\) et \(A\) ne sont pas indépendants.
Méthode express à retenir
Pour un exercice classique sur les probabilités conditionnelles :
  • je définis clairement les événements ;
  • je repère si je cherche une intersection, une conditionnelle ou une probabilité totale ;
  • j’utilise \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \] ou \[ P(A\cap B)=P(A)P_A(B) \] selon le cas ;
  • sur un arbre : je multiplie les branches d’un chemin ;
  • si plusieurs chemins conviennent, je fais leur somme ;
  • pour l’indépendance, je compare \[ P(A\cap B) \quad \text{et} \quad P(A)P(B). \]
Pièges à éviter : confondre \(P_A(B)\) et \(P(A\cap B)\), oublier de compléter les probabilités sur un arbre, oublier de sommer plusieurs chemins, et confondre indépendance et incompatibilité.