Probabilités conditionnelles & indépendance

Probabilité conditionnelle, arbres, formule de Bayes, événements indépendants (méthodes type Bac).

Cours Exercices Fiche Quiz
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✍️ Exercices — Probabilités conditionnelles

Objectifs : utiliser la probabilité conditionnelle, lire un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales et tester l’indépendance.
Exercice 1 — Probabilité conditionnelle
On considère deux événements \(A\) et \(B\) tels que : \[ P(A)=0{,}4 \qquad P(A\cap B)=0{,}12 \]
  1. Calculer \(P_A(B)\).
  2. Interpréter le résultat.
Correction
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3 \] Il y a donc 30 % de chances que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est réalisé.
Exercice 2 — Arbre pondéré
On considère l’arbre suivant :
  • \(P(A)=0{,}6\)
  • \(P_A(B)=0{,}5\)
  • \(P_{\overline A}(B)=0{,}2\)
  1. Calculer \(P(A\cap B)\).
  2. Calculer \(P(\overline A\cap B)\).
  3. En déduire \(P(B)\).
Correction
\[ P(A\cap B)=0{,}6\times0{,}5=0{,}3 \] \[ P(\overline A\cap B)=0{,}4\times0{,}2=0{,}08 \] \[ P(B)=0{,}3+0{,}08=0{,}38 \]
Exercice 3 — Probabilités totales
On suppose que \(A\) et \(\overline A\) forment une partition de \(\Omega\). On donne : \[ P(A)=0{,}7 \qquad P_A(B)=0{,}4 \qquad P_{\overline A}(B)=0{,}1 \]
  1. Calculer \(P(B)\).
Correction
\[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B) \] \[ P(B)=0{,}7\times0{,}4+0{,}3\times0{,}1=0{,}31 \]
Exercice 4 — Indépendance
On donne : \[ P(A)=0{,}5 \qquad P(B)=0{,}3 \qquad P(A\cap B)=0{,}15 \]
  1. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
Correction
\[ P(A)\times P(B)=0{,}5\times0{,}3=0{,}15 \] Or \(P(A\cap B)=0{,}15\). Donc \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Exercice 5 — Problème type Bac
Une usine fabrique des pièces. 3 % des pièces sont défectueuses. Un test détecte une pièce défectueuse avec une probabilité de 0,9.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit détectée défectueuse.
Correction
Notons \(D\) : « pièce défectueuse ». \[ P(D)=0{,}03 \quad P_D(T)=0{,}9 \quad P_{\overline D}(T)=0{,}1 \] \[ P(T)=0{,}03\times0{,}9+0{,}97\times0{,}1=0{,}123 \]