🎯 Probabilités conditionnelles et indépendance
Ce chapitre introduit la notion de probabilité conditionnelle,
les arbres pondérés et la notion fondamentale
d’indépendance de deux événements.
Conditionnement
Arbres
Indépendance
1) Rappels sur les probabilités
- \(\Omega\) : univers des issues
- \(A,B\) : événements
- \(0 \le P(A) \le 1\)
- \(P(\Omega)=1\)
- \(P(\overline A)=1-P(A)\)
2) Probabilité conditionnelle
Soient \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(A)>0\).
La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :
\[
P_A(B)=P(B\,|\,A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
\]
Formule fondamentale :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]
3) Arbres de probabilités pondérés
Un arbre pondéré permet de représenter des expériences successives.
- Chaque branche porte une probabilité
- La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1
- La probabilité d’un chemin est le produit des branches
Lecture :
La probabilité d’un événement correspond à la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
La probabilité d’un événement correspond à la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
4) Formule des probabilités totales
Si \((A_1,A_2,\dots,A_n)\) est une partition de \(\Omega\), alors pour tout événement \(B\) :
\[
P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B)
\]
5) Événements indépendants
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\]
Test pratique :
\[
P_A(B)=P(B)\quad \text{ou} \quad P_B(A)=P(A)
\]
⚠️ Attention : indépendance ≠ incompatibilité.
Deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf cas trivial).
✅ Résumé essentiel (Bac)
- \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
- \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\)
- Chemin d’un arbre = produit des branches
- Indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)