Probabilités conditionnelles & indépendance | Cours — 1ère Spé Maths | Learna

Cours — Probabilités conditionnelles et indépendance

Conditionnement • arbres pondérés • probabilités totales • indépendance • lecture et rédaction type Bac.

Objectifs Rappels Conditionnelle Arbres Probabilités totales Indépendance Méthode Bac Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues (1ère Spé)

Comprendre et utiliser la probabilité conditionnelle.
Construire et exploiter un arbre pondéré.
Calculer une probabilité d’intersection avec la formule \(\,P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\).
Utiliser la formule des probabilités totales.
Reconnaître et tester l’indépendance de deux événements.
Rédiger proprement un exercice de probabilité conditionnelle au Bac.

Pièges fréquents

Confondre \(P(A\cap B)\) et \(P_A(B)\).
Oublier que \(P_A(B)\) n’a de sens que si \(P(A)>0\).
Lire un arbre de gauche à droite sans multiplier les branches.
Confondre indépendance et incompatibilité.
Oublier de sommer plusieurs chemins pour obtenir un événement global.

Réflexe “copie propre” : je définis clairement les événements, je précise ce que signifie chaque probabilité, puis j’utilise la bonne formule avec une rédaction complète.

2) Rappels sur les probabilités

Notations de base

\(\Omega\) : univers des issues.
\(A\), \(B\) : événements.
\(\overline A\) : événement contraire de \(A\).
\(A\cap B\) : “\(A\) et \(B\)”.
\(A\cup B\) : “\(A\) ou \(B\)”.

Règles essentielles

\[ 0\le P(A)\le 1 \] \[ P(\Omega)=1 \] \[ P(\overline A)=1-P(A) \] \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

Exemple 1 — Événement contraire

Si \(P(A)=0{,}37\), alors : \[ P(\overline A)=1-0{,}37=0{,}63. \]

Résultat : \(\boxed{P(\overline A)=0{,}63}\)

3) Probabilité conditionnelle

Définition

Si \(P(A)>0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est : \[ P_A(B)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]

Interprétation

On se place dans la situation où l’on sait que \(A\) est réalisé. On restreint alors l’univers à \(A\), puis on regarde la part de \(B\) à l’intérieur de \(A\).

Formule fondamentale

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \] et, de la même manière, \[ P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A). \]

Attention : \(P_A(B)\) n’est pas égal à \(P(A)P(B)\). La formule correcte est : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \]

Exemple 2 — Calcul d’une probabilité conditionnelle

On sait que : \[ P(A)=0{,}4 \qquad \text{et} \qquad P(A\cap B)=0{,}12. \] Alors : \[ P_A(B)=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3. \]

Résultat : \(\boxed{P_A(B)=0{,}3}\)

Exemple 3 — Retrouver une intersection

Si \[ P(A)=0{,}7 \qquad \text{et} \qquad P_A(B)=0{,}2, \] alors \[ P(A\cap B)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14. \]

Résultat : \(\boxed{P(A\cap B)=0{,}14}\)

4) Arbres de probabilités pondérés

Règles de lecture

Chaque branche porte une probabilité.
La somme des branches issues d’un même nœud vaut \(1\).
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches du chemin.

Règle de synthèse

Pour obtenir la probabilité d’un événement :

on multiplie le long d’un chemin ;
on additionne les chemins qui réalisent l’événement.

Schéma type

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \] \[ P(A\cap \overline{B})=P(A)\times P_A(\overline B) \] \[ P(\overline A\cap B)=P(\overline A)\times P_{\overline A}(B) \]

Exemple 4 — Lecture d’un arbre

Supposons : \[ P(A)=0{,}6,\qquad P_{\!A}(B)=0{,}3. \] Alors la probabilité du chemin “\(A\) puis \(B\)” vaut : \[ P(A\cap B)=0{,}6\times 0{,}3=0{,}18. \]

Résultat : \(\boxed{P(A\cap B)=0{,}18}\)

5) Formule des probabilités totales

Énoncé

Si \((A_1,A_2,\dots,A_n)\) est une partition de \(\Omega\), alors pour tout événement \(B\) : \[ P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B). \]

Quand l’utiliser ?

Quand un événement \(B\) peut être réalisé selon plusieurs cas disjoints. On calcule alors chaque chemin, puis on les additionne.

Cas à deux branches

\[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline A)\times P_{\overline A}(B) \]

Exemple 5 — Application directe

On sait que : \[ P(A)=0{,}4,\quad P_{\!A}(B)=0{,}7,\quad P_{\overline A}(B)=0{,}2. \] Alors : \[ P(B)=0{,}4\times 0{,}7 + 0{,}6\times 0{,}2 \] \[ P(B)=0{,}28+0{,}12=0{,}40. \]

Résultat : \(\boxed{P(B)=0{,}40}\)

6) Événements indépendants

Définition

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B). \]

Test pratique

Si \(P(A)>0\), on peut aussi tester : \[ P_A(B)=P(B). \] De même, si \(P(B)>0\) : \[ P_B(A)=P(A). \]

Attention : indépendance \(\neq\) incompatibilité. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(P(A\cap B)=0\). Elles ne peuvent être indépendantes que dans le cas trivial où l’une des probabilités vaut \(0\).

Exemple 6 — Tester l’indépendance

On sait que : \[ P(A)=0{,}5,\qquad P(B)=0{,}3,\qquad P(A\cap B)=0{,}15. \] On calcule : \[ P(A)\times P(B)=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15. \] Comme \[ P(A\cap B)=P(A)P(B), \] les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Exemple 7 — Incompatibles mais non indépendants

Si \(A\cap B=\varnothing\), alors : \[ P(A\cap B)=0. \] Si de plus \(P(A)>0\) et \(P(B)>0\), alors \[ P(A)P(B)>0. \] On n’a donc pas \[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \] Ainsi, deux événements incompatibles ne sont généralement pas indépendants.

7) Méthode Bac

Question de conditionnement

Identifier clairement les événements.
Repérer si on cherche \(P_A(B)\), \(P(A\cap B)\) ou \(P(B)\).
Utiliser la formule adaptée : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \] ou \[ P(A\cap B)=P(A)P_A(B). \]

Question avec arbre

Compléter les probabilités manquantes par complément à \(1\).
Multiplier sur un chemin.
Additionner les chemins si l’événement final peut être obtenu de plusieurs façons.

Question sur l’indépendance

Pour montrer que \(A\) et \(B\) sont indépendants, on compare : \[ P(A\cap B) \quad \text{et} \quad P(A)P(B). \] Si ces deux quantités sont égales, alors \(A\) et \(B\) sont indépendants.

8) Mini-formulaire (à connaître)

Formules de base

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \quad (P(A)>0) \] \[ P(A\cap B)=P(A)P_A(B) \] \[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B) \]

Indépendance

\[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P(A\cap B)=P(A)P(B) \] \[ \text{et si } P(A)>0,\quad A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P_A(B)=P(B) \]

Checklist “copie parfaite”

Je sais distinguer \(P(A\cap B)\), \(P_A(B)\) et \(P(B)\).
Je sais lire un arbre : produit sur un chemin, somme de plusieurs chemins.
Je sais appliquer la formule des probabilités totales.
Je sais tester l’indépendance avec \[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \]
Je rédige chaque étape avec les événements bien définis.

Dernier rappel : ne jamais confondre \[ P_A(B) \quad \text{et} \quad P(A\cap B). \] La première est une probabilité conditionnelle, la seconde une probabilité d’intersection.