Probabilités conditionnelles & indépendance | Quiz — 1ère Spé Maths | Learna

Q1. On sait que \(P(A)=0{,}6\) et \(P_A(B)=0{,}25\). Quelle est la valeur de \(P(A\cap B)\) ? Non vérifié

\(0{,}15\) \(0{,}25\) \(0{,}35\) \(0{,}85\)

Indice

Utiliser la formule fondamentale.

Correction

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15. \] Donc \(\boxed{P(A\cap B)=0{,}15}\).

Q2. On sait que \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}18\). Quelle est la valeur de \(P_A(B)\) ? Non vérifié

\(0{,}36\) \(0{,}5\) \(0{,}6\) \(0{,}68\)

Indice

Diviser l’intersection par \(P(A)\).

Correction

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}18}{0{,}3}=0{,}6. \] Donc \(\boxed{P_A(B)=0{,}6}\).

Q3. Si \(P(A)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}7\) et \(P_{\overline A}(B)=0{,}2\), quelle est la valeur de \(P(B)\) ? Non vérifié

\(0{,}36\) \(0{,}4\) \(0{,}48\) \(0{,}54\)

Indice

Utiliser la formule des probabilités totales.

Correction

\[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B) \] avec \(P(\overline A)=0{,}6\), donc \[ P(B)=0{,}4\times 0{,}7+0{,}6\times 0{,}2=0{,}28+0{,}12=0{,}4. \] Donc \(\boxed{P(B)=0{,}4}\).

Q4. On sait que \(P(A)=0{,}45\), \(P(B)=0{,}2\) et \(P(A\cap B)=0{,}09\). Que peut-on conclure ? Non vérifié

\(A\) et \(B\) sont indépendants \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(P_A(B)=0{,}2\) est faux on ne peut pas conclure

Indice

Comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)P(B)\).

Correction

\[ P(A)P(B)=0{,}45\times 0{,}2=0{,}09. \] Comme \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), les événements sont indépendants.

Q5. Si \(A\) et \(B\) sont indépendants et si \(P(A)=0{,}7\), \(P(B)=0{,}4\), alors \(P(A\cap B)\) vaut : Non vérifié

\(0{,}11\) \(0{,}28\) \(0{,}3\) \(0{,}56\)

Indice

Pour l’indépendance, on multiplie.

Correction

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}7\times 0{,}4=0{,}28. \] Donc \(\boxed{0{,}28}\).

Q6. Dans un arbre pondéré, si \(P(A)=0{,}35\), alors \(P(\overline A)\) vaut : Non vérifié

\(0{,}35\) \(0{,}55\) \(0{,}65\) \(1{,}35\)

Indice

Utiliser la complémentarité.

Correction

\[ P(\overline A)=1-P(A)=1-0{,}35=0{,}65. \] Donc \(\boxed{0{,}65}\).

Q7. On sait que \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}4\). Quelle conclusion est correcte ? Non vérifié

\(A\) et \(B\) sont indépendants \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(P(A\cap B)=0{,}9\) \(P_B(A)=0\)

Indice

Comparer \(P_A(B)\) et \(P(B)\).

Correction

Comme \[ P_A(B)=P(B), \] les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Q8. Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives sont : Non vérifié

toujours indépendants jamais indépendants parfois indépendants toujours équiprobables

Indice

Comparer \(P(A\cap B)=0\) avec \(P(A)P(B)\).

Correction

Si \(A\cap B=\varnothing\), alors \[ P(A\cap B)=0. \] Si \(P(A)>0\) et \(P(B)>0\), alors \[ P(A)P(B)>0. \] Les événements ne peuvent donc pas être indépendants.

Q9. Dans une population, \(3\%\) des personnes sont atteintes d’une maladie. Un test est positif dans \(92\%\) des cas chez les malades. Quelle est la valeur de \(P(M\cap T)\) ? Non vérifié

\(0{,}0276\) \(0{,}089\) \(0{,}92\) \(0{,}95\)

Indice

Multiplier \(P(M)\) par \(P_M(T)\).

Correction

\[ P(M\cap T)=P(M)P_M(T)=0{,}03\times 0{,}92=0{,}0276. \] Donc \(\boxed{P(M\cap T)=0{,}0276}\).

Q10. Dans un jeu de 32 cartes, on note \(A\) : « tirer un as » et \(R\) : « tirer une carte rouge ». Quelle est la valeur de \(P(A)P(R)\) ? Non vérifié

\(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\)

Indice

Il y a 4 as et 16 cartes rouges.

Correction

\[ P(A)=\frac{4}{32}=\frac18 \qquad\text{et}\qquad P(R)=\frac{16}{32}=\frac12. \] Donc \[ P(A)P(R)=\frac18\times\frac12=\frac1{16}. \]

Q11. Dans une entreprise, \(65\%\) des employés ont suivi une formation. Parmi eux, \(80\%\) réussissent un test. Parmi les non-formés, \(50\%\) réussissent. Quelle est la valeur de \(P(R)\) ? Non vérifié

\(0{,}52\) \(0{,}65\) \(0{,}695\) \(0{,}8\)

Indice

Utiliser les probabilités totales.

Correction

\[ P(R)=0{,}65\times 0{,}80+0{,}35\times 0{,}50 \] \[ P(R)=0{,}52+0{,}175=0{,}695. \] Donc \(\boxed{P(R)=0{,}695}\).

Q12. Dans une situation avec deux branches \(A\) et \(\overline A\), la formule correcte pour \(P(B)\) est : Non vérifié

\(P(B)=P(A)+P(B)\) \(P(B)=P(A\cap B)\) \(P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)\) \(P(B)=P_A(B)+P_{\overline A}(B)\)

Indice

C’est la formule des probabilités totales.

Correction

Lorsque \((A;\overline A)\) forme une partition de l’univers, \[ P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B). \]

Q13. Quelles affirmations sont correctes ? Non vérifié

si \(P(A)>0\), alors \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) dans un arbre, un chemin se calcule par produit deux événements incompatibles sont toujours indépendants pour obtenir un événement global, on peut devoir additionner plusieurs chemins

Indice

Une seule affirmation est fausse.

Correction

Les trois premières méthodes sont correctes, sauf l’affirmation sur incompatibilité et indépendance, qui est fausse en général.

Q14. Quelles conditions permettent de conclure que deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants ? Non vérifié

\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) si \(P(A)>0\), \(P_A(B)=P(B)\) si \(P(B)>0\), \(P_B(A)=P(A)\) \(A\cap B=\varnothing\)

Indice

L’incompatibilité n’est pas un critère d’indépendance.

Correction

Les trois premiers critères sont équivalents à l’indépendance, sous les hypothèses indiquées. L’incompatibilité ne signifie pas indépendance.

Q15. On sait que \(P(A)=0{,}45\) et \(P(A\cap B)=0{,}09\). Calculer \(P_A(B)\). Non vérifié

Indice

Diviser l’intersection par \(P(A)\).

Correction

\[ P_A(B)=\frac{0{,}09}{0{,}45}=0{,}2. \] Donc \(\boxed{0{,}2}\).

Q16. On sait que \(P(A)=0{,}3\), \(P_A(B)=0{,}6\), \(P_{\overline A}(B)=0{,}1\). Calculer \(P(B)\). Non vérifié

Indice

Commencer par calculer \(P(\overline A)\).

Correction

\[ P(\overline A)=0{,}7 \] puis \[ P(B)=0{,}3\times 0{,}6+0{,}7\times 0{,}1=0{,}18+0{,}07=0{,}25. \] Donc \(\boxed{0{,}25}\).

Q17. On sait que \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calculer \(P(A)P(B)\). Non vérifié

Indice

Multiplier directement.

Correction

\[ P(A)P(B)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2. \] Donc \(\boxed{0{,}2}\).

Q18. Dans une population, \(P(M)=0{,}03\), \(P_M(T)=0{,}92\), \(P_{\overline M}(T)=0{,}05\). Calculer \(P(T)\). Non vérifié

Indice

Utiliser les probabilités totales avec \(P(\overline M)=0{,}97\).

Correction

\[ P(T)=0{,}03\times 0{,}92+0{,}97\times 0{,}05 \] \[ P(T)=0{,}0276+0{,}0485=0{,}0761. \] Donc \(\boxed{0{,}0761}\).

Q19. Avec les mêmes données, calculer \(P_T(M)\) au millième près. Non vérifié

Indice

Utiliser \(P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}\).

Correction

On a \[ P(M\cap T)=0{,}0276 \] et \[ P(T)=0{,}0761. \] Donc \[ P_T(M)=\frac{0{,}0276}{0{,}0761}\approx 0{,}363. \] Réponse : \(\boxed{0{,}363}\).

Q20. Dans un jeu de 32 cartes, donner \(P(A)\) si \(A\) est l’événement « tirer un as ». Non vérifié

Indice

Compter les as.

Correction

\[ P(A)=\frac{4}{32}=\frac18. \] Donc \(\boxed{\frac18}\).

Q21. Dans ce même jeu, donner \(P(A\cap R)\) si \(R\) est l’événement « tirer une carte rouge ». Non vérifié

Indice

Compter les as rouges.

Correction

\[ P(A\cap R)=\frac{2}{32}=\frac1{16}. \] Donc \(\boxed{\frac1{16}}\).

Q22. Dans une entreprise, \(P(F)=0{,}65\), \(P_F(R)=0{,}80\), \(P_{\overline F}(R)=0{,}50\). Calculer \(P_R(F)\) au millième près. Non vérifié

Indice

Calculer d’abord \(P(F\cap R)\) puis \(P(R)\).

Correction

On a \[ P(F\cap R)=0{,}65\times 0{,}80=0{,}52 \] et \[ P(R)=0{,}52+0{,}35\times 0{,}50=0{,}695. \] Donc \[ P_R(F)=\frac{0{,}52}{0{,}695}\approx 0{,}748. \] Réponse : \(\boxed{0{,}748}\).

Quiz — Probabilités conditionnelles et indépendance