Cours — Polynômes du second degré
Résumé clair + formules essentielles + méthodes type Bac.
\(ax^2+bx+c\)
\(\Delta\)
Forme factorisée
Tableau de signe
Sommet
Canonique
1) Définition
\[
f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0
\]
On étudie : racines, factorisation, signe, variations.
2) Sens de la parabole
- Si \(a>0\) : parabole vers le haut (minimum).
- Si \(a<0\) : parabole vers le bas (maximum).
3) Discriminant
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
| Valeur de \(\Delta\) | Nombre de racines réelles | Conclusion |
|---|---|---|
| \(\Delta<0\) | 0 | Pas de factorisation sur \(\mathbb{R}\) (signe de \(a\) partout) |
| \(\Delta=0\) | 1 (double) | Racine \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta>0\) | 2 | Deux racines \(x_1<x_2\) |
4) Racines + forme factorisée
Racines (équation \(ax^2+bx+c=0\))
\[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
\[
\text{Si }\Delta=0:\quad x_0=-\frac{b}{2a}
\]
Forme factorisée (super utile pour le signe et les inéquations)
\[
\Delta>0:\quad f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
\[
\Delta=0:\quad f(x)=a(x-x_0)^2
\]
\[
\Delta<0:\quad \text{pas de factorisation sur }\mathbb{R}
\]
Vieta :
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}
\]
Tableau de signe (beau)
On suppose \(\Delta>0\) et \(x_1<x_2\).
Le signe vient de \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Cas \(a>0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Cas \(a<0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | − | 0 | + | 0 | − |
Inéquations :
- \(f(x)\ge 0\) : prendre les zones \(+\) et inclure \(x_1,x_2\).
- \(f(x)> 0\) : zones \(+\) sans inclure les racines.
- \(f(x)\le 0\) / \(f(x)<0\) : pareil avec les zones \(−\).
5) Sommet et axe
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad \beta=f(\alpha),\qquad \text{axe : }x=\alpha
\]
6) Forme canonique
\[
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
7)*
Méthode : compléter le carré
\[
ax^2+bx+c
=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c
=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c
\]
\[
=a(x-\alpha)^2+\beta,\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\ \beta=c-\frac{b^2}{4a}
\]
8) Exemple
\[
f(x)=2x^2-4x-6=2(x+1)(x-3)
\]
9)*
Signe et variations (exemple)
\[
f(x)\ge 0 \text{ sur } ]-\infty,-1]\cup[3,+\infty[
\quad\text{et}\quad
f(x)\le 0 \text{ sur } [-1,3]
\]