Polynomes Second Degre
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Polynômes du second degré
Discriminant • racines • forme canonique • forme factorisée • signe • variations.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / 1ère spé).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Définition
Un trinôme du second degré s’écrit
\[
f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0.
\]
Sa courbe représentative est une parabole.
Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut.
Si \(a<0\), elle est tournée vers le bas.
Si \(a<0\), elle est tournée vers le bas.
2 Discriminant
| Formule | Rôle |
|---|---|
| \(\Delta=b^2-4ac\) | Détermine le nombre de racines réelles |
\(\Delta>0\) : 2 racines réelles distinctes.
\(\Delta=0\) : 1 racine double.
\(\Delta<0\) : aucune racine réelle.
\(\Delta=0\) : 1 racine double.
\(\Delta<0\) : aucune racine réelle.
3 Racines
Si \(\Delta>0\),
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
Si \(\Delta=0\),
\[
x_0=\frac{-b}{2a}.
\]
Si \(\Delta<0\), il n’y a pas de racine réelle.
4 Forme canonique
\[
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
avec
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad \beta=f(\alpha).
\]
Le sommet de la parabole est
\[
S(\alpha;\beta).
\]
On peut aussi écrire
\[
\beta=-\frac{\Delta}{4a}.
\]
5 Forme factorisée
Si \(\Delta>0\),
\[
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
\]
Si \(\Delta=0\),
\[
f(x)=a(x-x_0)^2.
\]
Si \(\Delta<0\), pas de factorisation sur \(\mathbb{R}\).
6 Signe du trinôme
Si \(\Delta>0\), le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines
et du signe opposé entre les racines.
Si \(\Delta=0\), il est nul au point double et sinon du signe de \(a\).
Si \(\Delta<0\), il garde toujours le signe de \(a\).
Si \(\Delta<0\), il garde toujours le signe de \(a\).
7 Variations
Si \(a>0\), la fonction décroît puis croît :
elle admet un minimum en \(\alpha\).
Si \(a<0\), la fonction croît puis décroît :
elle admet un maximum en \(\alpha\).
8 Relations de Viète
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines :
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
\]
\[
x_1x_2=\frac{c}{a}
\]
Très utile pour vérifier un calcul ou retrouver un trinôme.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Étudier un trinôme
- Identifier \(a\), \(b\), \(c\).
- Calculer le discriminant \(\Delta\).
- Étudier les racines réelles.
- En déduire la factorisation si possible.
- Étudier le signe et les variations.
Toujours commencer par :
\[
a=\dots,\quad b=\dots,\quad c=\dots,\quad \Delta=b^2-4ac.
\]
B Trouver la forme canonique
- Calculer \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).
- Calculer \(\beta=f(\alpha)\).
- Écrire \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\).
Si \(f(x)=2x^2-4x-6\), alors
\[
\alpha=1,\qquad \beta=f(1)=-8,
\]
donc
\[
f(x)=2(x-1)^2-8.
\]
C Compléter le carré
- Factoriser par \(a\).
- Compléter le carré dans la parenthèse.
- Réécrire sous la forme canonique.
\[
ax^2+bx+c
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.
\]
D Lire le signe rapidement
Si le trinôme a deux racines réelles \(x_1<x_2\) :
- du signe de \(a\) sur \(]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[\),
- du signe opposé sur \(]x_1;x_2[\).
Réflexe :
“extérieur = signe de \(a\)”.
Pièges classiques (à éviter)
1 Discriminant
Ne pas oublier le facteur \(4ac\) dans
\[
\Delta=b^2-4ac.
\]
Attention aux signes lorsque \(c<0\).
2 Sommet
\[
\alpha=-\frac{b}{2a}
\]
et non \(\dfrac{b}{2a}\).
3 Signe
Pour \(\Delta>0\), ne pas inverser :
le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur, pas à l’intérieur.
À bannir : confondre forme canonique et forme factorisée,
oublier le “\(-\)” dans \(-\dfrac{b}{2a}\),
ou conclure sur le signe sans tenir compte du coefficient \(a\).
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Discriminant
Calculer \(\Delta\) pour \(x^2-5x+6\).
Corrigé : \(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1\).
Q2 Racines
Donner les racines de \(x^2-5x+6\).
Corrigé : \((x-2)(x-3)\), donc racines \(2\) et \(3\).
Q3 Sommet
Donner \(\alpha\) pour \(f(x)=2x^2-4x-6\).
Corrigé : \(\alpha=-\dfrac{-4}{2\times2}=1\).
Q4 Forme canonique
Compléter : \(2x^2-4x-6=2(x-1)^2+\dots\)
Corrigé : \(2(x-1)^2-8\).
Q5 Signe
Si \(a>0\) et \(\Delta>0\), où le trinôme est-il positif ?
Corrigé : à l’extérieur des racines.
Q6 Variations
Si \(a<0\), la fonction admet-elle un minimum ou un maximum ?
Corrigé : un maximum.
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\).
- Calculer le discriminant.
- Déterminer les racines réelles.
- Écrire la forme factorisée si elle existe.
- Écrire la forme canonique.
- Lire le sommet et les variations.
- Étudier le signe du trinôme.
Réflexes 20/20
1) Je commence par \(\Delta\).
2) Je calcule \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) sans erreur de signe.
3) Pour le signe : “extérieur = signe de \(a\)”.
2) Je calcule \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) sans erreur de signe.
3) Pour le signe : “extérieur = signe de \(a\)”.
À bannir : oublier le signe “−” dans \(-\dfrac{b}{2a}\),
écrire une mauvaise formule des racines,
ou confondre racines, sommet et extremum.