1) Définition
\[
p(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0
\]
Un polynôme du second degré est aussi appelé trinôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole.
Cours — Polynômes Du Second Degré (1ère spé)
Cette page propose un cours de mathématiques en 1ère Spécialité sur Polynômes Du Second Degré. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 1ère Spécialité, exemples guidés, exercices d’application.
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Cours — Polynômes du second degré
Fiche complète pour maîtriser la forme canonique, le discriminant, les racines, la factorisation, les tableaux de signes et les tableaux de variations d’un trinôme du second degré.
\(p(x)=ax^2+bx+c\)
\(a\neq0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
Forme canonique
Racines
Tableau de signe
Variations
2) Sens de la parabole
- Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut : la fonction admet un minimum.
- Si \(a<0\), la parabole est tournée vers le bas : la fonction admet un maximum.
Le coefficient \(a\) détermine l’orientation générale de la parabole.
3) Forme canonique et sommet
Soit \(p(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\neq0\). On pose :
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
Forme canonique
\[
p(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}
\]
\[
p(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
Coordonnées du sommet
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad
\beta=p(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}
\]
\[
S(\alpha;\beta)
\]
La forme canonique permet de lire directement le sommet, l’axe de symétrie \(x=\alpha\), puis les variations de la fonction.
4) Discriminant et racines
Les solutions de l’équation \(p(x)=0\) dépendent du signe de \(\Delta\).
| Cas | Racines réelles | Formules |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux racines distinctes | \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \] avec \(x_1<x_2\). |
| \(\Delta=0\) | Une racine double | \[ x_0=-\frac{b}{2a} \] |
| \(\Delta<0\) | Aucune racine réelle | Le trinôme ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\). |
Attention : ici on choisit volontairement \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), afin d’avoir toujours \(x_1<x_2\) dans les tableaux.
5) Factorisation, somme et produit
Factorisation
\[
\Delta>0:\quad p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
\[
\Delta=0:\quad p(x)=a(x-x_0)^2
\]
\[
\Delta<0:\quad \text{pas de factorisation dans }\mathbb{R}
\]
Somme et produit
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad
x_1x_2=\frac{c}{a}
\]
Si une racine évidente \(x_1\) est connue, on peut retrouver l’autre avec \(x_2=\dfrac{P}{x_1}\), où \(P=\dfrac{c}{a}\).
6) Tableau de signe du trinôme
Pour étudier le signe de \(p(x)=ax^2+bx+c\), on commence toujours par calculer \(\Delta=b^2-4ac\), puis on place les racines dans l’ordre croissant.
Règle Bac à retenir : lorsqu’il y a deux racines \(x_1<x_2\), le trinôme est
du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe opposé à celui de \(a\)
entre les deux racines.
Cas 1 — \(\Delta>0\)
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_1<x_2.
\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(]x_1 ; x_2[\) | \(x_2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | signe de \(a\) | \(0\) | signe de \(-a\) | \(0\) | signe de \(a\) |
Si \(a>0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(]x_1 ; x_2[\) | \(x_2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Si \(a<0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(]x_1 ; x_2[\) | \(x_2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Cas 2 — \(\Delta=0\)
Le trinôme admet une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). Il s’annule en \(x_0\), mais il ne change pas de signe.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_0\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | signe de \(a\) | \(0\) | signe de \(a\) |
Cas 3 — \(\Delta<0\)
Le trinôme n’a aucune racine réelle. Il ne s’annule jamais et garde toujours le signe de \(a\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| \(p(x)\) | signe de \(a\) sur \(\mathbb{R}\) | |
Méthode Bac :
- Calculer \(\Delta=b^2-4ac\).
- Déterminer les racines si elles existent.
- Placer les racines dans l’ordre croissant.
- Compléter le tableau avec la règle : signe de \(a\) à l’extérieur, signe de \(-a\) à l’intérieur.
7) Tableau de variations du trinôme
Les variations de \(p(x)=ax^2+bx+c\) dépendent du signe de \(a\). Le sommet de la parabole est :
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad
\beta=p(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}.
\]
Cas \(a>0\)
La parabole est tournée vers le haut. La fonction décroît puis croît : elle admet un minimum.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Variations de \(p\) | \(+\infty\) \(\searrow\) |
minimum \(\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}\) |
\(\nearrow\) \(+\infty\) |
Donc \(p\) est décroissante sur \(]-\infty ; \alpha]\), puis croissante sur \([\alpha ; +\infty[\).
Cas \(a<0\)
La parabole est tournée vers le bas. La fonction croît puis décroît : elle admet un maximum.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Variations de \(p\) | \(-\infty\) \(\nearrow\) |
maximum \(\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}\) |
\(\searrow\) \(-\infty\) |
Donc \(p\) est croissante sur \(]-\infty ; \alpha]\), puis décroissante sur \([\alpha ; +\infty[\).
8) Méthode : compléter le carré
\[
ax^2+bx+c
=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c
\]
\[
=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c
\]
\[
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c
\]
\[
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}
\]
Cette méthode permet d’obtenir directement la forme canonique, donc le sommet et les variations.
9) Exemple complet
On considère :
\[
p(x)=2x^2-4x-6
\]
\[
\Delta=(-4)^2-4\times2\times(-6)=16+48=64
\]
\[
x_1=\frac{4-8}{4}=-1,\qquad
x_2=\frac{4+8}{4}=3
\]
\[
p(x)=2(x+1)(x-3)
\]
\[
\alpha=-\frac{-4}{2\times2}=1,
\qquad
\beta=p(1)=2-4-6=-8
\]
\[
p(x)=2(x-1)^2-8
\]
Tableau de signe
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(]-1;3[\) | \(3\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Tableau de variations
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(+\infty\) \(\searrow\) |
minimum \(-8\) |
\(\nearrow\) \(+\infty\) |
Conclusion : \(p\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis croissante sur \([1;+\infty[\). Elle admet un minimum égal à \(-8\), atteint pour \(x=1\).
10) À retenir absolument
- \(\Delta=b^2-4ac\).
- \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=p(\alpha)=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
- Si \(\Delta>0\), alors \(p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Si \(\Delta=0\), alors \(p(x)=a(x-x_0)^2\).
- Si \(\Delta<0\), le trinôme ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(\Delta>0\), le signe est celui de \(a\) à l’extérieur des racines et celui de \(-a\) à l’intérieur.
- Si \(a>0\), la fonction décroît puis croît : elle admet un minimum.
- Si \(a<0\), la fonction croît puis décroît : elle admet un maximum.
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