Cours — Polynômes du second degré
Tout ce qu’il faut : forme canonique, discriminant, racines, factorisation, signe, variations.
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
Racines
Forme factorisée
Tableau de signe
Variations
1) Définition
\[
f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0
\]
La courbe est une parabole. On cherche : racines, signe, variations.
2) Sens de la parabole
- Si \(a>0\) : parabole vers le haut ⇒ minimum.
- Si \(a<0\) : parabole vers le bas ⇒ maximum.
3) Discriminant
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
| Valeur de \(\Delta\) | Racines réelles | Conséquence |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | 2 | Deux racines distinctes \(x_1<x_2\) |
| \(\Delta=0\) | 1 (double) | Une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | 0 | Pas de racine réelle |
4) Racines + forme factorisée
Racines
\[
\Delta>0:\quad
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
\[
\Delta=0:\quad x_0=\frac{-b}{2a}
\]
Forme factorisée (comme dans ta fiche)
\[
\Delta>0:\quad f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
\[
\Delta=0:\quad f(x)=a(x-x_0)^2
\]
\[
\Delta<0:\quad \text{pas de factorisation sur }\mathbb{R}
\]
Somme et produit (Vieta) :
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}
\]
5) Tableau de signe (beau)
Si \(\Delta>0\) et \(x_1<x_2\) : le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur et du signe de \(-a\) entre les racines. :contentReference[oaicite:1]{index=1}
Cas \(a>0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Cas \(a<0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | − | 0 | + | 0 | − |
- Si \(\Delta=0\) : \(f(x)=a(x-x_0)^2\) ⇒ nul en \(x_0\), sinon signe de \(a\).
- Si \(\Delta<0\) : toujours du signe de \(a\) sur \(\mathbb{R}\).
6) Variations (tableau)
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad \beta=f(\alpha)=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}
\]
(comme sur ta fiche) :contentReference[oaicite:2]{index=2}
Cas \(a>0\) : décroît puis croît (minimum \(\beta\))
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\beta\) | \(+\infty\) |
Cas \(a<0\) : croît puis décroît (maximum \(\beta\))
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\beta\) | \(-\infty\) |
7)*
Méthode : compléter le carré (canonique)
\[
ax^2+bx+c
=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c
=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c
\]
\[
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}
\]
8) Exemple rapide
\[
f(x)=2x^2-4x-6,\quad \Delta=64,\quad x_1=-1,\ x_2=3,\quad f(x)=2(x+1)(x-3)
\]
9)*
À retenir
- \(\Delta=b^2-4ac\).
- \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
- \(\Delta>0:\ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) et signe extérieur/intérieur.