Polynomes Second Degre
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Cours — Polynômes du second degré
Tout ce qu’il faut maîtriser : forme développée, forme canonique, discriminant, racines, factorisation,
signe, variations, sommet de la parabole et méthodes classiques du programme officiel de 1ère spécialité maths.
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
Sommet
Racines
Forme canonique
Forme factorisée
Tableau de signe
Variations
1) Définition
\[
f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0
\]
Un polynôme du second degré est aussi appelé trinôme du second degré.
Sa courbe représentative est une parabole.
2) Sens de la parabole
- Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut : la fonction admet un minimum.
- Si \(a<0\), la parabole est tournée vers le bas : la fonction admet un maximum.
Le coefficient \(a\) détermine l’orientation générale de la parabole.
3) Sommet et forme canonique
Coordonnées du sommet
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad \beta=f(\alpha)
\]
Forme canonique
\[
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
La forme canonique permet de lire immédiatement :
- le sommet \(S(\alpha;\beta)\),
- l’axe de symétrie \(x=\alpha\),
- les variations de la fonction.
4) Discriminant
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
| Valeur de \(\Delta\) | Nombre de racines réelles | Conséquence |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | 2 | Deux racines réelles distinctes \(x_1<x_2\) |
| \(\Delta=0\) | 1 | Une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | 0 | Aucune racine réelle |
Le discriminant permet de savoir immédiatement si le trinôme coupe l’axe des abscisses.
5) Racines et forme factorisée
Formules des racines
\[
\Delta>0:\quad
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
\[
\Delta=0:\quad
x_0=\frac{-b}{2a}
\]
Forme factorisée
\[
\Delta>0:\quad f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
\[
\Delta=0:\quad f(x)=a(x-x_0)^2
\]
\[
\Delta<0:\quad \text{pas de factorisation sur }\mathbb{R}
\]
Relations de Viète :
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}
\]
6) Signe du trinôme
On suppose \(\Delta>0\) et \(x_1<x_2\).
Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.
Cas \(a>0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Cas \(a<0\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Cas particuliers :
- Si \(\Delta=0\), alors \(f(x)=a(x-x_0)^2\) : le trinôme est nul en \(x_0\), et du signe de \(a\) ailleurs.
- Si \(\Delta<0\), alors le trinôme ne s’annule jamais et garde toujours le signe de \(a\) sur \(\mathbb{R}\).
7) Variations
Avec
\[
\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad
\beta=f(\alpha)=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta}{4a},
\]
on lit les variations directement sur la forme canonique.
Cas \(a>0\) : minimum en \(\alpha\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\ \beta\ \nearrow\) | \(+\infty\) |
Le minimum est atteint en \(x=\alpha\), et vaut \(\beta\).
Cas \(a<0\) : maximum en \(\alpha\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\ \beta\ \searrow\) | \(-\infty\) |
Le maximum est atteint en \(x=\alpha\), et vaut \(\beta\).
8)*
Méthode : compléter le carré
\[
ax^2+bx+c
=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c
\]
\[
=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c
\]
\[
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c
\]
\[
=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}
\]
\[
=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
Cette méthode permet d’obtenir directement la forme canonique et donc de lire le sommet et les variations.
9) Exemple complet
\[
f(x)=2x^2-4x-6
\]
\[
\Delta=(-4)^2-4\times 2\times (-6)=16+48=64
\]
\[
x_1=\frac{4-8}{4}=-1,\qquad x_2=\frac{4+8}{4}=3
\]
\[
f(x)=2(x+1)(x-3)
\]
\[
\alpha=-\frac{-4}{2\times 2}=1,\qquad \beta=f(1)=2-4-6=-8
\]
\[
f(x)=2(x-1)^2-8
\]
Cet exemple montre le lien entre les trois écritures :
développée, factorisée et canonique.
10)*
À retenir absolument
- \(\Delta=b^2-4ac\).
- \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
- Si \(\Delta>0\), alors \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Si \(\Delta=0\), alors \(f(x)=a(x-x_0)^2\).
- Si \(\Delta<0\), le trinôme ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\).
- Le signe du trinôme dépend de \(a\) et de la position par rapport aux racines.
- La forme canonique donne immédiatement le sommet et les variations.