Exercices corrigés — Polynômes Du Second Degré (1ère spé)

1. \(f\) est sous forme développée, \(g\) sous forme canonique et \(h\) sous forme factorisée.

2. Pour \(f(x)=3x^2-12x+5\), on lit \(a=3\), \(b=-12\), \(c=5\).

3. \(g(x)=2(x-4)^2-7\) a pour sommet \(S(4;-7)\), pour axe \(x=4\), et pour minimum \(-7\).

4. Les racines de \(h\) sont \(-1\) et \(5\). Comme le coefficient dominant est négatif, \(h<0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]5;+\infty[\), \(h>0\) sur \(]-1;5[\), et \(h=0\) aux racines.

5. La forme canonique donne \(g(x)=-7\iff2(x-4)^2=0\iff x=4\). La forme factorisée donne \(h(x)=0\iff x=-1\) ou \(x=5\).

1. \(\Delta=(-8)^2-4\times1\times7=64-28=36>0\) : deux racines réelles distinctes.

2. \(\Delta=4^2-4\times2\times5=16-40=-24<0\) : aucune racine réelle.

3. \(\Delta=(-12)^2-4\times9\times4=144-144=0\) : une racine réelle double.

4. \(\Delta=5^2-4\times(-3)\times2=25+24=49>0\) : deux racines réelles distinctes.

5. \(\Delta=(-10)^2-4\times5\times5=0\) : une racine réelle double.

1. \(x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)\).

2. \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).

3. On cherche deux nombres de somme \(9\) et de produit \(20\) : \(4\) et \(5\). Donc \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\).

4. \(3x^2-12x=3x(x-4)\).

5. \(2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)\).

6. \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\).

1. Le sommet est \(S(3;8)\) et l'axe de symétrie est \(x=3\).

2. Comme \(-2<0\), la parabole est tournée vers le bas. La valeur maximale est donc \(8\), atteinte pour \(x=3\).

3. \(-2(x-3)^2+8=8\iff(x-3)^2=0\), donc \(x=3\).

4. \(-2(x-3)^2+8=0\iff(x-3)^2=4\), donc \(x=1\) ou \(x=5\).

5. Comme \(a=-2<0\), \(f\) est croissante sur \(]-\infty;3]\), puis décroissante sur \([3;+\infty[\).

6. \(-2(x-3)^2+8\ge0\iff(x-3)^2\le4\), donc \(S=[1;5]\).

1. Les racines sont \(-2\) et \(5\), avec coefficient dominant positif. Donc \(p>0\) sur \(]-\infty;-2[\cup]5;+\infty[\), \(p<0\) sur \(]-2;5[\), et \(p=0\) aux racines.

2. Les racines sont \(-4\) et \(1\), avec coefficient dominant négatif. Donc \(q<0\) à l'extérieur de \([-4;1]\), \(q>0\) entre les racines, et \(q=0\) pour \(x=-4\) ou \(x=1\).

3. \(r(x)=3(x-2)^2\ge0\) pour tout réel \(x\), avec égalité uniquement pour \(x=2\).

4. \(s(x)=-5(x+2)^2\le0\) pour tout réel \(x\), avec égalité uniquement pour \(x=-2\).

5. \(p(x)\le0\iff x\in[-2;5]\). De même, \(q(x)\ge0\iff x\in[-4;1]\).

1. \(x^2-11x+24=(x-3)(x-8)\), donc \(S=\{3;8\}\).

2. \((x-2)^2=4\), donc \(x-2=\pm2\) et \(S=\{0;4\}\).

3. \(\Delta=1+24=25\). Ainsi \(x=\dfrac{-1\pm5}{4}\), donc \(S=\left\{-\dfrac32;1\right\}\).

4. \(\Delta=16-80=-64<0\). Donc \(S=\varnothing\).

5. Produit nul : \(x=0\) ou \(x=7\).

6. \((x+1)^2=-\dfrac45\), impossible dans \(\mathbb{R}\). Donc \(S=\varnothing\).

1. \(f(x)=2(x^2-6x)+11=2[(x-3)^2-9]+11=2(x-3)^2-7\). Le sommet est \(S(3;-7)\). Comme \(2>0\), \(f\) décroît sur \(]-\infty;3]\) puis croît sur \([3;+\infty[\). Comme son minimum vaut \(-7<0\), elle possède deux racines réelles.

2. \(g(x)=-3(x^2+2x)+2=-3[(x+1)^2-1]+2=-3(x+1)^2+5\). Le sommet est \(S(-1;5)\). Comme \(-3<0\), \(g\) croît sur \(]-\infty;-1]\) puis décroît sur \([-1;+\infty[\). Comme son maximum vaut \(5>0\) et que \(a<0\), elle possède deux racines réelles.

3. \(h(x)=\dfrac12(x+2)^2+3\). Le sommet est \(S(-2;3)\), la fonction décroît puis croît autour de \(-2\), et son minimum vaut \(3>0\). Elle n'a donc aucune racine réelle.

4. \(k(x)=-(x-2)^2-4\). Le sommet est \(S(2;-4)\). La fonction croît sur \(]-\infty;2]\) puis décroît sur \([2;+\infty[\). Son maximum vaut \(-4<0\), donc elle n'a aucune racine réelle.

1. \(4+5=9\) et \(4\times5=20\). Les deux nombres sont \(4\) et \(5\).

2. \(3+(-5)=-2\) et \(3\times(-5)=-15\). Les deux nombres sont \(3\) et \(-5\).

3. \((x+3)(x-5)=x^2-2x-15\).

4. On cherche deux nombres de somme \(-2\) et de produit \(-15\) : \(3\) et \(-5\). Ainsi \(S=\{-5;3\}\).

5. Somme \(4\), produit \(1\) : le trinôme est \(x^2-4x+1\).

6. Le produit vaut \(\dfrac83\). Si une racine vaut \(2\), l'autre vaut \(\dfrac43\).

1. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), donc \(S=]-\infty;2]\cup[3;+\infty[\).

2. \(-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\). Le trinôme est négatif à l'extérieur des racines : \(S=]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\).

3. \(2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)\), donc \(S=[1;3]\).

4. \(\Delta=1-4=-3<0\) et \(a=1>0\). Le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb{R}\), donc \(S=\mathbb{R}\).

5. Le produit est négatif ou nul entre ses racines : \(S=[-5;2]\).

6. \[ (2x-1)^2-(x+1)^2=3x(x-2). \] Donc \(S=]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\).

1. Comme les racines sont \(-2\) et \(4\), \(f(x)=a(x+2)(x-4)\).

2. \(f(0)=a\times2\times(-4)=-8a=16\), donc \(a=-2\).

3. \(f(x)=-2(x+2)(x-4)=-2x^2+4x+16\).

4. Le coefficient dominant est négatif : \(f<0\) sur \(]-\infty;-2[\cup]4;+\infty[\), \(f>0\) sur \(]-2;4[\), et \(f=0\) aux racines.

5. \(\alpha=-\dfrac{4}{2(-2)}=1\) et \(f(1)=18\). Le sommet est \(S(1;18)\).

6. Comme \(a=-2<0\), \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), puis décroissante sur \([1;+\infty[\).

1. La parabole est tournée vers le bas, donc \(a<0\).

2. Le sommet est situé à droite de l'axe des ordonnées, donc \(-\dfrac{b}{2a}>0\). Comme \(a<0\), on en déduit \(b>0\).

3. L'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées est négative : \(P(0)=c<0\).

4. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, donc \(\Delta>0\).

5. \(a+b+c=P(1)\). La courbe est au-dessus de l'axe pour \(x=1\), donc \(P(1)>0\) et \(a+b+c>0\).

6. Il y a deux racines réelles distinctes ; elles sont toutes deux strictement positives.

7. \(-\dfrac{b}{2a}>0\). C'est l'abscisse du sommet et l'équation de l'axe de symétrie est \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

1. \[ \mathcal C_1\leftrightarrow f_2,\qquad \mathcal C_2\leftrightarrow f_5,\qquad \mathcal C_3\leftrightarrow f_3,\qquad \mathcal C_4\leftrightarrow f_4,\qquad \mathcal C_5\leftrightarrow f_1. \]

2. \(f_1\) et \(f_2\) ne coupent pas l'axe des abscisses : \(\Delta<0\). \(f_5\) est tangente à l'axe : \(\Delta=0\). \(f_3\) et \(f_4\) coupent l'axe en deux points : \(\Delta>0\).

3. \(f_5(x)=x^2+x+\dfrac14=\left(x+\dfrac12\right)^2\). Sa courbe est \(\mathcal C_2\).

4. Les coefficients dominants négatifs correspondent à \(f_1\) et \(f_4\), donc aux courbes \(\mathcal C_5\) et \(\mathcal C_4\).

5. Parmi \(f_2,f_3,f_5\), la courbe de \(f_3\) descend sous l'axe des abscisses : son minimum est le plus petit.

6. \(f_5\) est un carré parfait : sa courbe touche l'axe en un seul point. Pour \(f_3\), \(a=2>0\) et la courbe traverse l'axe deux fois : c'est \(\mathcal C_3\).

1. \(\Delta=4(m-1)^2-4(m^2-5)=4[(m-1)^2-m^2+5]=8(3-m)\).

2. \(\Delta>0\iff m<3\) : deux racines distinctes.

3. \(\Delta=0\iff m=3\) : une racine double.

4. \(\Delta<0\iff m>3\) : aucune racine réelle.

5. Pour \(m\le3\), \[ x=\dfrac{2(m-1)\pm\sqrt{8(3-m)}}{2} =m-1\pm\sqrt{2(3-m)}. \] Pour \(m=3\), ces deux expressions coïncident.

6. Pour \(m=1\), \(f_1(x)=x^2-4\), donc \(f_1(x)=(x-2)(x+2)\).

1. \[ \Delta=(-4m)^2-4\times2(m+3) =16m^2-8m-24 =8(2m-3)(m+1). \]

2. Comme \(a=2>0\), on veut \(\Delta<0\), soit \[ -1

3. Pour \(p_m(x)\ge0\) sur \(\mathbb{R}\), il faut et il suffit que \(\Delta\le0\). Donc \[ -1\le m\le\dfrac32. \]

4. \(\Delta=0\) pour \(m=-1\) ou \(m=\dfrac32\). La racine double vaut \[ x_0=-\dfrac{-4m}{4}=m. \] On obtient donc \(x_0=-1\) puis \(x_0=\dfrac32\).

5. Lorsque \(m<-1\) ou \(m>\dfrac32\), on a \(\Delta>0\) : le trinôme a deux racines distinctes et, puisque \(a>0\), il est négatif strictement entre elles et positif à l'extérieur.

1. \[ \dfrac{2x^2+5x+3}{x^2+x-2} =\dfrac{(2x+3)(x+1)}{(x+2)(x-1)}. \] Les points critiques sont \(-2,-\dfrac32,-1,1\). Donc \[ S=]-\infty;-2[\cup]-\dfrac32;-1[\cup]1;+\infty[. \]

2. \[ (2x-1)^2-(x+1)^2=3x(x-2), \] donc \(S=]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\).

3. \[ (x+3)(x-1)<2x+6\iff x^2-9<0, \] d'où \(S=]-3;3[\).

4. Avec \(x\ne1\), \[ \dfrac{x+3}{1-x}+5x-3=\dfrac{x(9-5x)}{1-x}. \] Les points critiques sont \(0,1,\dfrac95\), donc \[ S=[0;1[\cup\left[\dfrac95;+\infty\right[. \]

5. Le domaine exclut \(2,3\) et \[ \dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6} =\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}. \] Après simplification pour le signe, en conservant \(x=2\) interdit : \[ S=[-2;2[\cup]2;3[. \]

6. \[ -x^2+5x+6=-(x-6)(x+1). \] Les points critiques sont \(-1,1,6\). Le quotient est positif ou nul sur \[ ]-\infty;-1]\cup]1;6]. \]

1. Avec \(X=x^2\), \[ 4X^2-5X+1=(4X-1)(X-1)=0. \] Donc \(X=\dfrac14\) ou \(X=1\), d'où \[ S=\left\{-1;-\dfrac12;\dfrac12;1\right\}. \]

2. \(2X^2-X+1=0\) a pour discriminant \(-7<0\). Donc \(S=\varnothing\).

3. \[ X^2-8X-9=(X-9)(X+1)=0. \] Seule la valeur \(X=9\ge0\) convient, donc \(S=\{-3;3\}\).

4. \(x\ne0\). En multipliant par \(x^2\), \[ 4x^4-35x^2-9=0. \] Donc \(4X^2-35X-9=0\), de discriminant \(1369=37^2\). Les solutions en \(X\) sont \(9\) et \(-\dfrac14\). On garde \(X=9\), donc \(S=\{-3;3\}\).

5. Après division par \(-2\), \[ X^2-6X+8=(X-2)(X-4)=0. \] Ainsi \(x^2=2\) ou \(x^2=4\), donc \[ S=\{-2;-\sqrt2;\sqrt2;2\}. \]

6. \[ X^2+5X+4=(X+1)(X+4)=0. \] Les deux valeurs de \(X\) sont négatives, donc aucune ne peut être un carré réel : \(S=\varnothing\).

1. Avec \(u=x^2-x\), \[ u^2-14u+24=0=(u-2)(u-12). \] Donc \(x^2-x=2\) ou \(x^2-x=12\). On obtient \[ S=\{-3;-1;2;4\}. \]

2. On impose \(x\ge0\) et on pose \(u=\sqrt{x}\ge0\). Alors \[ u^2-3u-4=0=(u-4)(u+1). \] Comme \(u\ge0\), \(u=4\), donc \(x=16\).

3. Avec \(u=(2x-1)^2\ge0\), \[ u^2-5u+4=(u-1)(u-4)=0. \] Ainsi \((2x-1)^2=1\) ou \(4\), d'où \[ S=\left\{-\dfrac12;0;1;\dfrac32\right\}. \]

4. On impose \(x\ne0\) et on pose \(u=x+\dfrac1x\). Alors \[ u^2-5u+6=(u-2)(u-3)=0. \] Si \(u=2\), \(x^2-2x+1=0\), donc \(x=1\). Si \(u=3\), \(x^2-3x+1=0\), donc \[ x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3+\sqrt5}{2}. \] Ainsi \[ S=\left\{1;\dfrac{3-\sqrt5}{2};\dfrac{3+\sqrt5}{2}\right\}. \]

1. \(x,y\ne0\) et \[ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac5{xy}=\dfrac56, \] donc \(xy=6\). Les racines de \(X^2-5X+6\) sont \(2\) et \(3\). Solutions : \((2,3)\) et \((3,2)\).

2. \(x,y\) sont les racines de \(X^2-X-6=0=(X-3)(X+2)\). Solutions : \((3,-2)\) et \((-2,3)\).

3. \(y=x-1\). Alors \(x(x-1)=6\), soit \(x^2-x-6=0\). Donc \(x=3\) ou \(-2\), et les solutions sont \((3,2)\) et \((-2,-3)\).

4. \[ 10=(x+y)^2-2xy=16-2xy, \] donc \(xy=3\). Les racines de \(X^2-4X+3=0\) sont \(1\) et \(3\). Solutions : \((1,3)\) et \((3,1)\).

1. \(P(4)=64-64-4+4=0\).

2. \(P(x)=x^2(x-4)-1(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)\).

3. \(S=\{-1;1;4\}\).

4. Les trois racines sont simples et le coefficient dominant est positif. Le signe alterne : \(P(x)\ge0\) sur \([-1;1]\cup[4;+\infty[\).

5. Avec les racines simples \(-1,1,4\) et un coefficient dominant positif : \[ P<0\text{ sur }]-\infty;-1[,\quad P>0\text{ sur }]-1;1[,\quad P<0\text{ sur }]1;4[,\quad P>0\text{ sur }]4;+\infty[. \]

6. Les racines sont \(-1,1,4\). Leur somme vaut \(4\) et leur produit vaut \(-4\), ce qui est cohérent avec \(P(x)=x^3-4x^2-x+4\).

1. Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, \(ac<0\). Alors \(-4ac>0\), donc \[ \Delta=b^2-4ac>b^2\ge0. \] Ainsi \(\Delta>0\) et \(P\) possède deux racines réelles distinctes.

2. Le produit des racines vaut \[ x_1x_2=\dfrac ca. \] Comme \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, \(\dfrac ca<0\). Le produit des racines est négatif : elles sont donc de signes contraires.

3. Si les racines sont de signes contraires, \(x_1x_2<0\). Or \(x_1x_2=\dfrac ca\), donc \(\dfrac ca<0\), ce qui équivaut à \(ac<0\).

4. Les deux implications précédentes donnent : \[ \boxed{\text{deux racines réelles de signes contraires}\iff ac<0}. \]

5. \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) possède deux racines distinctes \(1\) et \(2\), mais \(a=1\) et \(c=2\), donc \(ac>0\).

On part de \(ax^2+bx+c=0\). En multipliant par \(4a\),

On ajoute et retranche \(b^2\) :

Si \(\Delta>0\), alors \(2ax+b=\pm\sqrt\Delta\), donc

Si \(\Delta=0\), alors \(2ax+b=0\), donc la racine double est \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).

Si \(\Delta<0\), l'égalité \((2ax+b)^2=\Delta\) est impossible dans \(\mathbb{R}\), donc il n'y a aucune racine réelle.

4. Pour tout réel \(x\), on a \[ 4aP(x)=(2ax+b)^2-\Delta. \] En divisant par \(4a\), on obtient \[ P(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}. \] C'est la forme canonique générale.

5. Si les racines sont \(x_1,x_2\), \[ x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta-b+\sqrt\Delta}{2a}=-\dfrac ba, \] et \[ x_1x_2=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} =\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} =\dfrac ca. \]

1. \(x^2-2x+3=mx+1\iff x^2-(m+2)x+2=0\).

2. La tangence exige \(\Delta=(m+2)^2-8=0\), soit \(m^2+4m-4=0\). Ainsi \(m=-2\pm2\sqrt2\).

3. La racine double vaut \(x_0=\dfrac{m+2}{2}\). Pour \(m=-2+2\sqrt2\), \(x_0=\sqrt2\) et \(y=5-2\sqrt2\). Pour \(m=-2-2\sqrt2\), \(x_0=-\sqrt2\) et \(y=5+2\sqrt2\).

Les points de contact sont donc \(A(\sqrt2;5-2\sqrt2)\) et \(B(-\sqrt2;5+2\sqrt2)\).

4. Les deux droites sont \[ y=(-2+2\sqrt2)x+1 \quad\text{et}\quad y=(-2-2\sqrt2)x+1. \]

5. Pour \(x=\sqrt2\), \[ x^2-2x+3=2-2\sqrt2+3=5-2\sqrt2. \] Pour \(x=-\sqrt2\), \[ x^2-2x+3=2+2\sqrt2+3=5+2\sqrt2. \] Les ordonnées coïncident bien avec celles des points de contact.

1. Si \(m=0\), l'équation devient \(-2x+4=0\), donc elle possède une unique solution \(x=2\).

2. Pour \(m\ne0\), \[ \Delta=[-2(m+1)]^2-4m(m+4) =4(m+1)^2-4m(m+4) =4(1-2m). \]

3. Deux solutions distinctes exigent \(m\ne0\) et \(\Delta>0\), soit \[ m<\dfrac12,\qquad m\ne0. \] Donc \(m\in]-\infty;0[\cup]0;\dfrac12[\).

4. Il y a exactement une solution réelle pour \(m=0\), ou bien pour \(m\ne0\) et \(\Delta=0\), soit \(m=\dfrac12\). Les valeurs sont donc \[ m=0\quad\text{ou}\quad m=\dfrac12. \]

5. Pour \(m\ne0\), aucune solution réelle lorsque \(\Delta<0\), soit \[ m>\dfrac12. \]

6. Pour \(m=0\), \(x=2\). Pour \(m=\dfrac12\), la racine double vaut \[ x_0=-\dfrac{-2(m+1)}{2m}=\dfrac{m+1}{m}=3. \]

1. Le coefficient directeur de \((AB)\) vaut \(\dfrac{0-8}{12-0}=-\dfrac23\). L'ordonnée à l'origine vaut \(8\), donc \(y=8-\dfrac23x\).

2. La hauteur du rectangle vaut \(ON=8-\dfrac23x\). Ainsi

3. Le sommet de cette parabole a pour abscisse \(x=-\dfrac{8}{2(-2/3)}=6\). La hauteur vaut alors \(8-\dfrac23\times6=4\).

Le rectangle maximal a donc pour dimensions \(6\times4\), et son aire maximale vaut \(24\).

4. Pour \(x=6\), la hauteur vaut \(4\). L'aire maximale vaut donc \(24\) et le périmètre du rectangle vaut \(2(6+4)=20\).

5. \[ -\dfrac23x^2+8x\ge18 \iff x^2-12x+27\le0 \iff (x-3)(x-9)\le0. \] Donc \(x\in[3;9]\). Ce sont les positions de \(M\) pour lesquelles l'aire du rectangle est au moins égale à \(18\).

1. Le prix initial est \(\dfrac{240}{n}\) euros.

2. On a

En multipliant par \(n>0\) et en réduisant :

3. \(n^2+5n-300=(n-15)(n+20)\). La seule solution positive est \(n=15\). Le prix initial est donc \(240/15=16\) €.

La personne a acheté \(15\) articles à \(16\) € chacun.

4. \(n\) doit être un entier strictement positif. Pour \(n=15\), le prix initial est \(16\) € et \(15\times16=240\), donc la première situation est vérifiée.

5. Après réduction, le prix vaut \(16-4=12\) €. On peut acheter \(240/12=20\) articles, soit bien \(5\) de plus.

1. Les directions sont perpendiculaires, donc

2. En divisant par \(9\) puis en développant :

Le discriminant vaut \(19600=140^2\), donc \(v=\dfrac{-20\pm140}{2}\). Les solutions sont \(60\) et \(-80\).

3. Une vitesse étant positive, \(v=60\) km/h. Les deux vitesses sont donc \(60\) km/h et \(80\) km/h.

4. Après \(2\) h, les trains ont parcouru \(120\) km et \(160\) km. Leur distance vaut \[ \sqrt{120^2+160^2}=200\ \text{km}. \]

5. Après \(t\) heures, la distance vaut \[ \sqrt{(60t)^2+(80t)^2}=100t. \] On impose \(100t=500\), donc \(t=5\) h.

1. \[ 28=4^3-3xy\times4=64-12xy, \] donc \(xy=3\).

2. \(x\) et \(y\) sont les racines de \[ X^2-4X+3=0=(X-1)(X-3). \] Les couples sont donc \((1,3)\) et \((3,1)\).

3. \[ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-6=10. \]

4. \[ x^2y+xy^2=xy(x+y)=3\times4=12. \]

5. Pour \((1,3)\) comme pour \((3,1)\), on vérifie \(x^2+y^2=1+9=10\) et \(x^2y+xy^2=3+9=12\).

1. La racine positive est \(\sqrt7\).

2. \(u_1=\dfrac12\left(3+\dfrac73\right)=\dfrac83\). Puis

3. \(u_1\approx2{,}666667\), \(u_2\approx2{,}645833\), \(u_3\approx2{,}645751\).

4. Or \(\sqrt7\approx2{,}645751\). Les valeurs se rapprochent très rapidement de \(\sqrt7\), ce qui illustre l'efficacité de la méthode de Héron.

5. \[ u_{n+1}-\sqrt7 =\dfrac12\left(u_n+\dfrac7{u_n}-2\sqrt7\right) =\dfrac{u_n^2-2\sqrt7\,u_n+7}{2u_n} =\dfrac{(u_n-\sqrt7)^2}{2u_n}. \] L'erreur suivante est proportionnelle au carré de l'erreur précédente : lorsqu'on est déjà proche de \(\sqrt7\), le nombre de chiffres exacts augmente très vite.

1. \[ \Delta=4(m-2)(m+1)>0 \iff m<-1\text{ ou }m>2. \]

2. Deux racines positives exigent \(\Delta>0\), somme \(2m>0\) et produit \(m+2>0\). On obtient \[ m>2. \]

3. Deux racines négatives exigent \(\Delta>0\), somme \(2m<0\) et produit \(m+2>0\). Ainsi \[ -2

4. Des racines de signes contraires équivalent à \(m+2<0\), donc \[ m<-2. \]

5. Pour \(m=-2\), le produit des racines est nul : les racines sont \(0\) et \(-4\). Pour \(m=-1\), l'équation est \((x+1)^2=0\). Pour \(m=2\), elle est \((x-2)^2=0\).

1. \(2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3\).

2. L'équation d'intersection est \(2(x-2)^2-3=k\), soit \((x-2)^2=\dfrac{k+3}{2}\). Il n'y a aucun point si \(k<-3\), un seul point si \(k=-3\), et deux points si \(k>-3\).

3. Pour \(k>-3\),

4. La distance horizontale vaut

On impose \(\sqrt{2k+6}=3\), donc \(2k+6=9\), d'où \(k=\dfrac32\).

La droite cherchée est donc \(y=\dfrac32\).

5. Les abscisses sont symétriques : \[ x_1=2-r,\qquad x_2=2+r, \quad r=\sqrt{\dfrac{k+3}{2}}. \] Donc l'abscisse de leur milieu vaut \[ \dfrac{x_1+x_2}{2}=2. \]

6. La tangence correspond à une seule intersection, donc \(k=-3\). La droite \(y=-3\) est tangente au sommet \(S(2;-3)\).