(a) \(f(x)=3x^2-5x+2\) donc \(a=3\), \(b=-5\), \(c=2\). Comme \(a\neq0\), c’est bien un polynôme du second degré.

(b) \(g(x)=-2x^2+7=-2x^2+0x+7\) donc \(a=-2\), \(b=0\), \(c=7\). C’est bien un polynôme du second degré.

(c) \(h(x)=4x-1=0x^2+4x-1\) donc \(a=0\). Ce n’est pas un polynôme du second degré mais un polynôme du premier degré.

(d) \(k(x)=x^2+5x=x^2+5x+0\) donc \(a=1\), \(b=5\), \(c=0\). C’est bien un polynôme du second degré.

(a) \(a=1\), \(b=-6\), \(c=5\).
\[ \Delta=(-6)^2-4\times1\times5=36-20=16. \]

(b) \(a=2\), \(b=3\), \(c=-2\).
\[ \Delta=3^2-4\times2\times(-2)=9+16=25. \]

(c) \(a=-1\), \(b=4\), \(c=-7\).
\[ \Delta=4^2-4\times(-1)\times(-7)=16-28=-12. \]

(d) \(a=3\), \(b=-12\), \(c=12\).
\[ \Delta=(-12)^2-4\times3\times12=144-144=0. \]

Réponses : (a) 16 ; (b) 25 ; (c) -12 ; (d) 0.

(a) \(\Delta=(-4)^2-4\times1\times1=16-4=12>0\). Donc 2 racines réelles distinctes.

(b) \(\Delta=2^2-4\times5\times3=4-60=-56<0\). Donc aucune racine réelle.

(c) \(\Delta=(-4)^2-4\times4\times1=16-16=0\). Donc une racine réelle double.

(d) \(\Delta=12^2-4\times(-3)\times(-9)=144-108=36>0\). Donc 2 racines réelles distinctes.

(a) \(\Delta=(-7)^2-4\times1\times12=49-48=1\).
\[ x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4. \] Donc \(S=\{3;4\}\).

(b) \(\Delta=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25+24=49\).
\[ x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{5+7}{4}=3. \] Donc \(S=\left\{-\frac12;3\right\}\).

(c) \(\Delta=6^2-4\times3\times3=36-36=0\).
Racine double : \[ x_0=\frac{-6}{2\times3}=-1. \] Donc \(S=\{-1\}\).

(d) \(\Delta=2^2-4\times1\times5=4-20=-16<0\).
Il n’y a pas de solution réelle.

(a) \(\Delta=25-24=1\), racines 2 et 3. Donc \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

(b) \(\Delta=(-8)^2-4\times2\times6=64-48=16\).
Racines : \[ x_1=\frac{8-4}{4}=1,\qquad x_2=\frac{8+4}{4}=3. \] Donc \[ 2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3). \]

(c) \(\Delta=4^2-4\times1\times4=16-16=0\).
Racine double \(-2\). Donc \[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]

(d) \(\Delta=1-4=-3<0\). Pas de factorisation sur \(\mathbb{R}\).

(a) \(a=1\), \(b=-6\). Donc \(\alpha=3\).
\(f(3)=9-18+5=-4\).
Donc \[ x^2-6x+5=(x-3)^2-4. \]

(b) \(a=2\), \(b=8\). Donc \(\alpha=-\frac{8}{4}=-2\).
\(f(-2)=2\times4+8\times(-2)+1=8-16+1=-7\).
Donc \[ 2x^2+8x+1=2(x+2)^2-7. \]

(c) \(a=-1\), \(b=4\). Donc \(\alpha=-\frac{4}{-2}=2\).
\(f(2)=-4+8-7=-3\).
Donc \[ -x^2+4x-7=-(x-2)^2-3. \]

(d) \(a=3\), \(b=-12\). Donc \(\alpha=2\).
\(f(2)=12-24+15=3\).
Donc \[ 3x^2-12x+15=3(x-2)^2+3. \]

(a) Sommet \(S(4;-3)\), axe : \(x=4\).

(b) \(g(x)=-2(x-(-1))^2+5\). Donc sommet \(S(-1;5)\), axe : \(x=-1\).

(c) Sommet \(S(\frac12;7)\), axe : \(x=\frac12\).

(d) \(k(x)=-(x-(-3))^2+0\). Donc sommet \(S(-3;0)\), axe : \(x=-3\).

(a) \(a=1>0\), \(\alpha=1\). Donc \(f\) décroît sur \(]-\infty;1]\) puis croît sur \([1;+\infty[\). Minimum en \(x=1\) : \(f(1)=2\).

(b) \(a=-1<0\), \(\alpha=3\). Donc \(g\) croît sur \(]-\infty;3]\) puis décroît sur \([3;+\infty[\). Maximum en \(x=3\) : \(g(3)=8\).

(c) Déjà sous forme canonique, \(a=2>0\), \(\alpha=-4\). Donc \(h\) décroît sur \(]-\infty;-4]\) puis croît sur \([-4;+\infty[\). Minimum \(-7\).

(d) \(a=-3<0\), \(\alpha=1\). Donc \(k\) croît sur \(]-\infty;1]\) puis décroît sur \([1;+\infty[\). Maximum \(8\).

(a) \(f(x)=(x-2)(x-3)\). Comme \(a=1>0\),
\[ f(x)>0\text{ sur }]-\infty;2[\cup]3;+\infty[, \] \[ f(x)=0\text{ pour }x=2\text{ ou }x=3, \] \[ f(x)<0\text{ sur }]2;3[. \]

(b) \(g(x)=-(x-1)(x-3)\). Comme \(a=-1<0\),
signe négatif à l’extérieur, positif entre 1 et 3.

(c) \(h(x)=2(x-1)(x-3)\). Comme \(a=2>0\), positif à l’extérieur, négatif entre 1 et 3.

(d) \(k(x)=-3(x+2)(x-1)\). Comme \(a=-3<0\), négatif à l’extérieur, positif entre -2 et 1.

(a) \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Donc \(\ge 0\) sur \(\mathbb{R}\), nul uniquement pour \(x=2\).

(b) \(-2x^2+8x-8=-2(x-2)^2\). Donc \(\le 0\) sur \(\mathbb{R}\), nul uniquement pour \(x=2\).

(c) \(\Delta=1-4=-3<0\) et \(a=1>0\). Donc le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb{R}\).

(d) \(\Delta=6^2-4\times(-3)\times(-5)=36-60=-24<0\) et \(a=-3<0\). Donc le trinôme est strictement négatif sur \(\mathbb{R}\).

(a) \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Positif ou nul à l’extérieur des racines.
Solution : \[ ]-\infty;2]\cup[3;+\infty[. \]

(b) \(-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est négatif à l’extérieur de 1 et 3.
Solution : \[ ]-\infty;1[\cup]3;+\infty[. \]

(c) \(2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)\). Négatif ou nul entre les racines.
Solution : \[ [1;3]. \]

(d) \(x^2+x+1\) a un discriminant négatif et \(a>0\), donc il est toujours strictement positif.
Solution : \[ \mathbb{R}. \]

(a) \[ x^2+2x-3=(x+1)^2-1-3=(x+1)^2-4. \]

(b) \[ x^2-8x+1=(x-4)^2-16+1=(x-4)^2-15. \]

(c) \[ 2x^2+4x+7=2(x^2+2x)+7 \] \[ =2[(x+1)^2-1]+7=2(x+1)^2+5. \]

(d) \[ -3x^2+12x-5=-3(x^2-4x)-5 \] \[ =-3[(x-2)^2-4]-5=-3(x-2)^2+12-5=-3(x-2)^2+7. \]

(a) Racines 2 et 5 : \[ f(x)=(x-2)(x-5)=x^2-7x+10. \]

(b) Racines -3 et 4 : \[ f(x)=(x+3)(x-4)=x^2-x-12. \]

(c) Pour \(x^2-7x+10\), on sait que les racines sont 2 et 5.
Somme : \(2+5=7=-(-7)\). Produit : \(2\times5=10\). Les relations sont vérifiées.

(d) On veut \(x_1+x_2=1\) et \(x_1x_2=-6\).
Le trinôme monique est \[ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2-x-6. \]

(a) Le sommet est \(S(3;-8)\).

(b) L’axe de symétrie est la droite \(x=3\).

(c) Comme \(a=2>0\), \(f\) décroît sur \(]-\infty;3]\) puis croît sur \([3;+\infty[\).

(d) \[ 2(x-3)^2-8=0 \iff 2(x-3)^2=8 \iff (x-3)^2=4. \] Donc \[ x-3=2 \quad \text{ou} \quad x-3=-2. \] Ainsi \[ x=5 \quad \text{ou} \quad x=1. \]

(a) \(f(x)=(x-2)^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1\).

(b) \(f(x)=-2(x+1)^2+4=-2(x^2+2x+1)+4=-2x^2-4x+2\).

(c) \(f(x)=3x^2+5\).

(d) \(f(x)=4\left(x-\frac12\right)^2-1\).
Développement : \[ 4\left(x^2-x+\frac14\right)-1=4x^2-4x+1-1=4x^2-4x. \]

(a) \[ f(x)=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4. \]

(b) \[ f(x)=2(x+2)(x-3)=2(x^2-x-6)=2x^2-2x-12. \]

(c) \[ f(x)=-(x-5)^2=-(x^2-10x+25)=-x^2+10x-25. \]

(d) \[ f(x)=3(x+1)(x+3)=3(x^2+4x+3)=3x^2+12x+9. \]

(a) \[ (x-2)^2=9 \iff x-2=\pm 3. \] Donc \(x=5\) ou \(x=-1\).

(b) \[ 2(x+1)^2=8 \iff (x+1)^2=4. \] Donc \(x+1=\pm2\), soit \(x=1\) ou \(x=-3\).

(c) \[ -(x-4)^2+5=0 \iff (x-4)^2=5. \] Donc \[ x=4-\sqrt5 \quad \text{ou} \quad x=4+\sqrt5. \]

(d) \[ 3(x-1)^2+7=0 \iff 3(x-1)^2=-7. \] Impossible dans \(\mathbb{R}\) car un carré est positif ou nul. Aucune solution réelle.

(a) \[ \Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16. \]

(b) \[ x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{2+4}{2}=3. \]

(c) \[ f(x)=(x+1)(x-3). \]

(d) \(\alpha=1\), \(\beta=f(1)=1-2-3=-4\). Donc \[ f(x)=(x-1)^2-4. \]

(e) Comme \(a=1>0\), \(f\) est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles : \[ f(x)>0\text{ sur }]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[, \] \[ f(x)=0\text{ pour }x=-1\text{ ou }x=3, \] \[ f(x)<0\text{ sur }]-1;3[. \]

(f) Comme \(a>0\), \(f\) décroît sur \(]-\infty;1]\), atteint son minimum \(-4\) en 1, puis croît sur \([1;+\infty[\).

(a) \[ \Delta=[-2(m+1)]^2-4\times1\times m^2 =4(m+1)^2-4m^2. \] Donc \[ \Delta=4[(m+1)^2-m^2]=4(m^2+2m+1-m^2)=8m+4=4(2m+1). \]

Correction importante : on ne peut pas conclure qu’il y a toujours deux racines réelles distinctes pour tout réel \(m\), car cela dépend du signe de \(2m+1\).

(b) - Si \(m>-\frac12\), alors \(\Delta>0\) : deux racines réelles distinctes.
- Si \(m=-\frac12\), alors \(\Delta=0\) : une racine double.
- Si \(m<-\frac12\), alors \(\Delta<0\) : aucune racine réelle.

(c) Lorsque \(\Delta\ge0\), \[ x=\frac{2(m+1)\pm\sqrt{4(2m+1)}}{2} =m+1\pm\sqrt{2m+1}. \]

(a) Hauteur initiale : \[ h(0)=1. \] L’objet part donc de 1 mètre de hauteur.

(b) Le coefficient dominant vaut \(a=-5<0\), donc la parabole est tournée vers le bas et la hauteur maximale est atteinte au sommet : \[ t_{max}=-\frac{20}{2\times(-5)}=2. \] Donc la hauteur est maximale au bout de 2 secondes.

(c) \[ h(2)=-5\times4+20\times2+1=-20+40+1=21. \] La hauteur maximale vaut 21 mètres.

(d) Résolvons : \[ -5t^2+20t+1=0. \] On peut écrire : \[ 5t^2-20t-1=0. \] Le discriminant vaut \[ \Delta=(-20)^2-4\times5\times(-1)=400+20=420. \] Donc \[ t=\frac{20\pm\sqrt{420}}{10}=\frac{20\pm2\sqrt{105}}{10} =\frac{10\pm\sqrt{105}}{5}. \] Il y a une solution négative et une solution positive. La solution physique est \[ t=\frac{10+\sqrt{105}}{5}\approx 4{,}05. \] Cela signifie que l’objet touche le sol environ 4,05 secondes après le lancer.