Exercices — Polynômes du second degré (avec corrigés)
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Exercice 1 — Identifier (a,b,c)
Pour chaque fonction, donner \(a,b,c\) : \(f(x)=3x^2-5x+2\), \(g(x)=-x^2+7\), \(h(x)=\frac12 x^2+4x\).
Corrigé :
On lit directement :
\(f\) : \(a=3,b=-5,c=2\).
\(g\) : \(a=-1,b=0,c=7\).
\(h\) : \(a=\tfrac12,b=4,c=0\).
\(f\) : \(a=3,b=-5,c=2\).
\(g\) : \(a=-1,b=0,c=7\).
\(h\) : \(a=\tfrac12,b=4,c=0\).
Exercice 2 — Discriminant
Calculer \(\Delta\) puis conclure sur le nombre de racines : (1) \(x^2-6x+13\) (2) \(2x^2+3x-2\) (3) \(-x^2+4x-4\).
Corrigé :
(1) \(\Delta=36-52=-16<0\) : aucune racine réelle.
(2) \(\Delta=9-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25>0\) : 2 racines.
(3) \(\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot(-4)=16-16=0\) : 1 racine double.
(2) \(\Delta=9-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25>0\) : 2 racines.
(3) \(\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot(-4)=16-16=0\) : 1 racine double.
Exercice 3 — Racines
Résoudre \(x^2-5x+6=0\).
Corrigé :
\(\Delta=25-24=1\). Racines : \(x=\frac{5\pm1}{2}\Rightarrow x_1=2, x_2=3\).
Exercice 4 — Forme factorisée
Factoriser \(f(x)=x^2-9\) puis \(g(x)=2x^2-8x\).
Corrigé :
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
\(2x^2-8x=2x(x-4)\).
\(2x^2-8x=2x(x-4)\).
Exercice 5 — Forme canonique (1)
Mettre sous forme canonique : \(f(x)=x^2-4x+1\).
Corrigé :
\(x^2-4x+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3\). Donc \(a=1,\alpha=2,\beta=-3\).
Exercice 6 — Sommet et axe
Pour \(f(x)=-2x^2+8x-5\), déterminer l’axe et le sommet.
Corrigé :
\(\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2\).
\(\beta=f(2)=-2\cdot4+16-5=3\). Sommet \(S(2,3)\), axe \(x=2\).
\(\beta=f(2)=-2\cdot4+16-5=3\). Sommet \(S(2,3)\), axe \(x=2\).
Exercice 7 — Variations
Étudier les variations de \(f(x)=3(x-1)^2-12\).
Corrigé :
Ici \(a=3>0\) : minimum \(-12\) atteint en \(x=1\). Décroissante sur \(( -\infty,1]\), croissante sur \([1,+\infty)\).
Exercice 8 — Résolution avec Δ
Résoudre \(2x^2-3x-5=0\).
Corrigé :
\(\Delta=9-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49\).
\(x=\frac{3\pm7}{4}\Rightarrow x_1=-1, x_2=\frac{5}{2}\).
\(x=\frac{3\pm7}{4}\Rightarrow x_1=-1, x_2=\frac{5}{2}\).
Exercice 9 — Signe (Δ>0)
Donner le tableau de signe de \(f(x)=2x^2-3x-5\).
Corrigé :
Racines : \(-1\) et \(\tfrac52\). Comme \(a=2>0\), \(f(x)>0\) à l’extérieur et \(f(x)<0\) entre les racines :
\( (+)\) sur \(( -\infty,-1)\cup(\tfrac52,+\infty)\), \((-)\) sur \((-1,\tfrac52)\), et 0 aux racines.
\( (+)\) sur \(( -\infty,-1)\cup(\tfrac52,+\infty)\), \((-)\) sur \((-1,\tfrac52)\), et 0 aux racines.
Exercice 10 — Signe (Δ<0)
Étudier le signe de \(x^2-6x+13\).
Corrigé :
\(\Delta=-16<0\) et \(a=1>0\) donc \(f(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Exercice 11 — Inéquation (Δ>0)
Résoudre \(2x^2-3x-5\ge 0\).
Corrigé :
Racines \(-1\) et \(\tfrac52\), \(a>0\) donc \(\ge0\) à l’extérieur :
\(x\in(-\infty,-1]\cup[\tfrac52,+\infty)\).
\(x\in(-\infty,-1]\cup[\tfrac52,+\infty)\).
Exercice 12 — Inéquation (Δ>0) stricte
Résoudre \(-x^2+4x-3>0\).
Corrigé :
On résout \(-x^2+4x-3=0\) : \(\Delta=16-12=4\). Racines : \(x=\frac{-4\pm2}{-2}\Rightarrow x_1=1, x_2=3\).
Comme \(a=-1<0\), la parabole est positive entre les racines : \(x\in(1,3)\).
Comme \(a=-1<0\), la parabole est positive entre les racines : \(x\in(1,3)\).
Exercice 13 — Paramètre (condition Δ)
Pour quelles valeurs de \(m\) l’équation \(x^2-2mx+m=0\) admet-elle deux solutions réelles distinctes ?
Corrigé :
\(\Delta=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot m=4m^2-4m=4m(m-1)\).
Deux solutions distinctes ⇔ \(\Delta>0\) ⇔ \(m(m-1)>0\) ⇔ \(m<0\) ou \(m>1\).
Deux solutions distinctes ⇔ \(\Delta>0\) ⇔ \(m(m-1)>0\) ⇔ \(m<0\) ou \(m>1\).
Exercice 14 — Paramètre (racine double)
Déterminer \(m\) pour que \(x^2-2mx+m=0\) ait une racine double.
Corrigé :
Racine double ⇔ \(\Delta=0\) ⇔ \(4m(m-1)=0\) ⇔ \(m=0\) ou \(m=1\).
Exercice 15 — Somme et produit
Un trinôme \(x^2+bx+c\) a pour racines \(2\) et \(-5\). Trouver \(b\) et \(c\).
Corrigé :
Somme : \(2+(-5)=-3=-b\Rightarrow b=3\). Produit : \(2\cdot(-5)=-10=c\). Donc \(x^2+3x-10\).
Exercice 16 — Point sur la parabole
On considère \(f(x)=x^2-4x+k\). Trouver \(k\) pour que la parabole passe par \((3,2)\).
Corrigé :
Condition : \(f(3)=2\Rightarrow 9-12+k=2\Rightarrow k=5\).
Exercice 17 — Minimum et paramètre
Déterminer \(k\) pour que \(f(x)=x^2-4x+k\) ait un minimum égal à \(-1\).
Corrigé :
Forme canonique : \(x^2-4x+k=(x-2)^2-4+k\). Minimum = \(-4+k\).
On veut \(-4+k=-1\Rightarrow k=3\).
On veut \(-4+k=-1\Rightarrow k=3\).
Exercice 18 — Position par rapport à l’axe
Montrer que \(x^2-6x+13\ge 4\) pour tout \(x\).
Corrigé :
\(x^2-6x+13=(x-3)^2+4\ge 4\) car \((x-3)^2\ge 0\).
Exercice 19 — Signe via forme canonique
Étudier le signe de \(f(x)=(x-2)^2-9\) puis résoudre \(f(x)\le 0\).
Corrigé :
\(f(x)=(x-2)^2-9=0\Rightarrow (x-2)^2=9\Rightarrow x= -1\text{ ou }5\).
Comme \(a=1>0\), \(f(x)\le 0\) entre les racines : \(x\in[-1,5]\).
Comme \(a=1>0\), \(f(x)\le 0\) entre les racines : \(x\in[-1,5]\).
Exercice 20 — Problème (aire / optimisation simple)
On considère \(A(x)=-2x^2+12x\) (avec \(0\le x\le 6\)). Déterminer le maximum de \(A\) et pour quelle valeur de \(x\).
Corrigé :
Sommet : \(\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\cdot(-2)}=3\).
\(A(3)=-2\cdot9+36=18\). Comme \(a<0\), c’est un maximum : \(A_{\max}=18\) pour \(x=3\).
\(A(3)=-2\cdot9+36=18\). Comme \(a<0\), c’est un maximum : \(A_{\max}=18\) pour \(x=3\).