Polynômes du second degré | Quiz — 1ère Spé Maths | Learna

Q1. Le discriminant de \(2x^2-7x+3\) vaut : Non vérifié

\(1\) \(25\) \(49\) \(73\)

Indice

Utiliser \(\Delta=b^2-4ac\).

Correction

\[ \Delta=(-7)^2-4\times 2\times 3=49-24=25. \]

Q2. Les racines de \(2x^2-7x+3\) sont : Non vérifié

\(\frac12\) et \(3\) \(1\) et \(\frac32\) \(-\frac12\) et \(3\) \(\frac32\) et \(2\)

Indice

Avec \(\Delta=25\), les racines sont \(\dfrac{7\pm5}{4}\).

Correction

\[ x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3. \]

Q3. La forme canonique de \(x^2+6x-7\) est : Non vérifié

\((x+3)^2-16\) \((x-3)^2-16\) \((x+3)^2+2\) \((x-3)^2+2\)

Indice

Calculer \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\), puis \(\beta=f(\alpha)\).

Correction

On a \(\alpha=-3\). Puis \(f(-3)=9-18-7=-16\). Donc \[ x^2+6x-7=(x+3)^2-16. \]

Q4. Le sommet de \(f(x)=3(x-2)^2-5\) est : Non vérifié

\(S(2;-5)\) \(S(-2;-5)\) \(S(2;5)\) \(S(-2;5)\)

Indice

Comparer à \(a(x-\alpha)^2+\beta\).

Correction

Ici \(\alpha=2\) et \(\beta=-5\), donc le sommet est \(S(2;-5)\).

Q5. Pour \(f(x)=-x^2+4x+1\), la valeur de \(\alpha\) est : Non vérifié

\(-2\) \(2\) \(4\) \(-4\)

Indice

Utiliser \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).

Correction

\[ \alpha=-\frac{4}{2\times(-1)}=2. \]

Q6. Si \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(a<0\) et \(x_1 Non vérifié

À l’extérieur des racines Entre les racines Partout Jamais

Indice

À l’extérieur, le signe est celui de \(a\).

Correction

Comme \(a<0\), le trinôme est négatif à l’extérieur des racines, donc positif entre les racines.

Q7. Le trinôme \(x^2-10x+25\) : Non vérifié

A deux racines réelles distinctes A une racine double N’a pas de racine réelle Est toujours négatif

Indice

Reconnaître un carré parfait ou calculer \(\Delta\).

Correction

\(x^2-10x+25=(x-5)^2\). Il y a donc une racine double : \(x=5\).

Q8. La forme factorisée de \(x^2-x-12\) est : Non vérifié

\((x-4)(x+3)\) \((x+4)(x-3)\) \((x-4)(x-3)\) \((x+4)(x+3)\)

Indice

Chercher deux nombres de produit \(-12\) et de somme \(-1\).

Correction

On cherche deux nombres dont le produit vaut \(-12\) et la somme \(-1\) : ce sont 4 et -3. Donc \[ x^2-x-12=(x-4)(x+3). \]

Q9. Le maximum de \(f(x)=-2(x+1)^2+7\) vaut : Non vérifié

\(-1\) \(2\) \(7\) \(9\)

Indice

Dans la forme canonique, \(\beta\) est l’extremum.

Correction

Comme \(a=-2<0\), la fonction admet un maximum, égal à \(\beta=7\).

Q10. La solution de \(x^2-4x+3\le 0\) est : Non vérifié

\(]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\) \([1;3]\) \(]1;3[\) \(\mathbb{R}\)

Indice

Factoriser puis lire le signe.

Correction

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Comme \(a>0\), le trinôme est négatif ou nul entre les racines : \[ [1;3]. \]

Q11. Si \(\Delta<0\) et \(a>0\), alors le trinôme est : Non vérifié

Toujours positif Toujours négatif Parfois nul Négatif entre deux racines

Indice

Pas de racine réelle, donc pas de changement de signe.

Correction

Quand \(\Delta<0\), le trinôme n’a pas de racine réelle et garde donc toujours le signe de \(a\). Si \(a>0\), il est toujours positif.

Q12. Pour \(f(x)=x^2-2x-8\), la valeur minimale est : Non vérifié

\(-9\) \(-8\) \(-4\) \(0\)

Indice

Passer à la forme canonique.

Correction

\[ x^2-2x-8=(x-1)^2-9. \] Comme \(a>0\), la valeur minimale est \(-9\).

Q13. Parmi les affirmations suivantes sur \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), lesquelles sont vraies ? Non vérifié

Le sommet est \(S(\alpha;\beta)\) L’axe de symétrie est \(x=\alpha\) Si \(a>0\), \(\beta\) est un maximum Si \(a<0\), \(\beta\) est un maximum

Indice

Le signe de \(a\) dit si l’extremum est min ou max.

Correction

Les trois affirmations vraies sont : sommet \(S(\alpha;\beta)\), axe \(x=\alpha\), et si \(a<0\), \(\beta\) est un maximum. Si \(a>0\), \(\beta\) est au contraire un minimum.

Q14. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles ont deux racines réelles distinctes ? Non vérifié

\(x^2-5x+6\) \(x^2+4x+4\) \(2x^2+x-3\) \(x^2+x+1\)

Indice

Regarder le signe du discriminant.

Correction

\(x^2-5x+6\) a \(\Delta=1>0\).
\(x^2+4x+4\) a \(\Delta=0\).
\(2x^2+x-3\) a \(\Delta=1+24=25>0\).
\(x^2+x+1\) a \(\Delta=-3<0\).

Q15. Calculer le discriminant de \(3x^2-12x+11\). Non vérifié

Indice

Ici \(a=3\), \(b=-12\), \(c=11\).

Correction

\[ \Delta=(-12)^2-4\times3\times11=144-132=12. \]

Q16. Donner la forme canonique de \(x^2+8x+7\). Répondre uniquement avec la forme finale. Non vérifié

Indice

Calculer \(\alpha\) puis \(\beta\).

Correction

On a \(\alpha=-4\), puis \(f(-4)=16-32+7=-9\). Donc \[ x^2+8x+7=(x+4)^2-9. \]

Q17. Donner les racines de \(x^2-4x-5\) sous la forme \((x_1; x_2)\) avec \(x_1 Non vérifié

Indice

Tu peux factoriser directement.

Correction

\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5). \] Les racines sont donc \((-1;5)\).

Q18. Donner \(\alpha\) pour \(f(x)=2x^2-12x+1\). Non vérifié

Indice

Utiliser \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\).

Correction

\[ \alpha=-\frac{-12}{2\times2}=\frac{12}{4}=3. \]

Q19. Résoudre \((x+2)^2=49\). Donner les solutions sous la forme \((a; b)\) avec \(a Non vérifié

Indice

Un carré égal à 49 donne deux possibilités.

Correction

\[ x+2=7 \quad \text{ou} \quad x+2=-7. \] Donc \(x=5\) ou \(x=-9\). Les solutions sont \((-9;5)\).

Q20. Donner la valeur de \(\beta\) pour \(f(x)=-x^2+6x-4\). Non vérifié

Indice

Calculer d’abord \(\alpha\), puis \(f(\alpha)\).

Correction

On a \(\alpha=3\). Donc \[ \beta=f(3)=-9+18-4=5. \]

Quiz — Polynômes du second degré