Geometrie Reperee
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Géométrie repérée (1ère Spé)
Repère • vecteurs • distance • milieu • droites • cercles.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides et rédaction propre type Bac.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Repère et coordonnées
Dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\) :
- un point s’écrit \(A(x_A\,;\,y_A)\) ;
- un vecteur se repère aussi par deux coordonnées.
On utilise la notation française :
\[
(x\,;\,y)
\]
et non \((x,y)\).
Piège : ne pas confondre les coordonnées du point \(A\) et celles du vecteur \(\vec{OA}\).
2 Coordonnées d’un vecteur
| Formule | Remarque |
|---|---|
| \(\vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) | ordre essentiel |
| \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff x_1y_2-y_1x_2=0\) | test rapide |
Exemple : si \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-1)\), alors
\[
\vec{AB}=(3\,;\,-3).
\]
Faux : \(\vec{AB}=(x_A-x_B\,;\,y_A-y_B)\).
3 Distance et milieu
Distance :
\[
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
\]
Milieu :
\[
M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)
\]
Exemple : si \(A(0\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,2)\), alors
\[
M(3\,;\,3).
\]
4 Droites et cercles
Droite :
\[
ax+by+c=0
\]
Cercle :
\[
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
\]
Pour une droite \(ax+by+c=0\) :
- \((a\,;\,b)\) est un vecteur normal ;
- \((-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur possible.
Piège : vecteur normal \(\neq\) vecteur directeur.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Calculer un vecteur
- Repérer les coordonnées du point de départ.
- Repérer les coordonnées du point d’arrivée.
- Faire arrivée \(-\) départ sur chaque coordonnée.
Si \(A(2\,;\,-1)\) et \(B(5\,;\,4)\), alors
\[
\vec{AB}=(5-2\,;\,4-(-1))=(3\,;\,5).
\]
B Distance / milieu
| Objet | Formule |
|---|---|
| distance | \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) |
| milieu | \(M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) |
Toujours calculer les différences avant d’élever au carré.
C Équation d’une droite
- Repérer un point \(A(x_A\,;\,y_A)\) de la droite.
- Repérer un vecteur normal \((a\,;\,b)\).
- Écrire : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0. \]
- Développer et réduire.
Pour \(A(1\,;\,2)\) et \((2\,;\,-1)\) normal :
\[
2(x-1)-(y-2)=0 \iff 2x-y=0.
\]
D Reconnaître un cercle
Si l’équation n’est pas déjà sous la forme
\[
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
\]
on complète les carrés.
\[
x^2+y^2-4x+6y-12=0
\]
devient
\[
(x-2)^2+(y+3)^2=25.
\]
Pièges classiques (à éviter)
1 Ordre dans \(\vec{AB}\)
\[
\vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)
\]
et non l’inverse.
2 Distance
Ne pas oublier :
les différences sont au carré
et la distance est une longueur donc positive.
les différences sont au carré
et la distance est une longueur donc positive.
3 Droites
Pour \(ax+by+c=0\) :
normal = \((a\,;\,b)\)
directeur possible = \((-b\,;\,a)\)
normal = \((a\,;\,b)\)
directeur possible = \((-b\,;\,a)\)
Compléter les carrés : attention aux constantes ajoutées puis retranchées.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Vecteur
Si \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-1)\), calculer \(\vec{AB}\).
Corrigé : \(\vec{AB}=(4-1\,;\,-1-2)=(3\,;\,-3)\).
Q2 Milieu
Donner le milieu de \(A(0\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,2)\).
Corrigé : \(M\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\,\dfrac{4+2}{2}\right)=(3\,;\,3)\).
Q3 Distance
Calculer la distance entre \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-2)\).
Corrigé : \(AB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\).
Q4 Vecteur normal
Donner un vecteur normal à la droite \(2x-3y+6=0\).
Corrigé : un vecteur normal est \((2\,;\,-3)\).
Q5 Vecteur directeur
Donner un vecteur directeur de la droite \(2x-3y+6=0\).
Corrigé : un vecteur directeur possible est \((3\,;\,2)\).
Q6 Cercle
Donner le centre et le rayon du cercle \((x-2)^2+(y+1)^2=9\).
Corrigé : centre \(C(2\,;\,-1)\), rayon \(r=3\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Repérer un point et un vecteur dans le plan.
- Calculer les coordonnées d’un vecteur.
- Calculer une distance et un milieu.
- Déterminer ou lire une équation de droite.
- Étudier parallélisme et orthogonalité.
- Reconnaître un cercle et compléter les carrés.
Réflexes 20/20
1) Je respecte l’ordre des points dans \(\vec{AB}\).
2) J’écris toujours la formule avant de remplacer.
3) Pour une droite : je distingue normal et directeur.
2) J’écris toujours la formule avant de remplacer.
3) Pour une droite : je distingue normal et directeur.
À bannir : inverser les coordonnées, oublier un carré dans la distance,
confondre vecteur normal et directeur, mal compléter les carrés.