Geometrie Reperee
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Exercices — Géométrie repérée (1ère Spé)
20 exercices progressifs et solides : coordonnées, vecteurs, distance, milieu, droites, parallélisme, orthogonalité, cercles, rédaction type Bac.
Série A — Bases Série B — Vecteurs / distances Série C — Droites Série D — Cercles / Bac Voir le PDF
Série A — Repérage et bases
Objectif : lire des coordonnées, calculer un vecteur, un milieu, une distance.
1 Lire des coordonnées
Dans un repère orthonormé, on considère les points : \[ A(2\,;\,-1),\qquad B(-3\,;\,4),\qquad C(0\,;\,5). \]
  1. Donner l’abscisse de \(A\).
  2. Donner l’ordonnée de \(B\).
  3. Dire si \(C\) appartient à l’axe des ordonnées.
Corrigé
L’abscisse de \(A\) est \(2\). L’ordonnée de \(B\) est \(4\). Le point \(C(0\,;\,5)\) a une abscisse nulle, donc il appartient à l’axe des ordonnées.
2 Coordonnées d’un vecteur
Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-1)\).
Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\).
Corrigé détaillé
On applique la formule : \[ \vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A). \] Donc : \[ \vec{AB}=(4-1\,;\,-1-2)=(3\,;\,-3). \] Réponse : \(\boxed{\vec{AB}=(3\,;\,-3)}\).
3 Milieu d’un segment
Soient \(A(0\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,2)\).
Déterminer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\).
Corrigé
On utilise : \[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right). \] Donc : \[ M\left(\frac{0+6}{2}\,;\,\frac{4+2}{2}\right)=(3\,;\,3). \] Réponse : \(\boxed{M(3\,;\,3)}\).
4 Distance entre deux points
Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-2)\).
Calculer la distance \(AB\).
Corrigé détaillé
\[ AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2} \] \[ AB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \] Donc \(\boxed{AB=5}\).
Série B — Vecteurs, colinéarité, alignement
Objectif : manipuler les coordonnées de vecteurs et raisonner dans le plan.
5 Colinéarité de deux vecteurs
On considère \[ \vec{u}(2\,;\,3)\qquad \text{et}\qquad \vec{v}(4\,;\,6). \]
Déterminer si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Corrigé
On calcule : \[ 2\times 6 - 3\times 4 = 12-12=0. \] Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
6 Alignement de trois points
Soient \[ A(1\,;\,1),\qquad B(3\,;\,5),\qquad C(5\,;\,9). \]
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
Corrigé détaillé
On calcule : \[ \vec{AB}=(3-1\,;\,5-1)=(2\,;\,4) \] \[ \vec{AC}=(5-1\,;\,9-1)=(4\,;\,8). \] Les coordonnées sont proportionnelles, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc alignés.
7 Point à déterminer
Soient \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,5)\) et \(C(x\,;\,8)\). On sait que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Déterminer \(x\).
Corrigé
\[ \vec{AB}=(3\,;\,3),\qquad \vec{AC}=(x-1\,;\,6). \] Pour que les vecteurs soient colinéaires : \[ 3\times 6 - 3(x-1)=0 \] \[ 18-3x+3=0 \] \[ 21-3x=0 \] \[ x=7. \] Réponse : \(\boxed{x=7}\).
8 Point symétrique
Soit \(M(3\,;\,2)\) le milieu de \([AB]\). On sait que \(A(1\,;\,-4)\).
Déterminer les coordonnées de \(B\).
Corrigé détaillé
Si \(M\) est le milieu, alors : \[ \frac{x_A+x_B}{2}=3 \qquad \text{et} \qquad \frac{y_A+y_B}{2}=2. \] Donc : \[ \frac{1+x_B}{2}=3 \Rightarrow 1+x_B=6 \Rightarrow x_B=5 \] \[ \frac{-4+y_B}{2}=2 \Rightarrow -4+y_B=4 \Rightarrow y_B=8. \] Réponse : \(\boxed{B(5\,;\,8)}\).
Série C — Droites du plan
Objectif : lire une équation de droite, déterminer une équation, étudier parallélisme et orthogonalité.
9 Vecteur normal et directeur
On considère la droite \[ d: 2x-3y+6=0. \]
  1. Donner un vecteur normal à \(d\).
  2. Donner un vecteur directeur de \(d\).
Corrigé
Un vecteur normal est \[ (2\,;\,-3). \] Un vecteur directeur possible est \[ (3\,;\,2). \]
10 Équation d’une droite passant par un point
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \[ A(1\,;\,2) \] et de vecteur normal \[ (2\,;\,-1). \]
Corrigé détaillé
On écrit : \[ 2(x-1)-1(y-2)=0 \] \[ 2x-2-y+2=0 \] \[ 2x-y=0. \] Réponse : \(\boxed{2x-y=0}\).
11 Appartenance à une droite
Soit la droite \[ d: 3x+2y-7=0. \] Déterminer si le point \(A(1\,;\,2)\) appartient à \(d\).
Corrigé
On remplace : \[ 3\times 1 + 2\times 2 - 7 = 3+4-7=0. \] Donc \(A(1\,;\,2)\) appartient à la droite \(d\).
12 Parallélisme de deux droites
Étudier la position relative des droites : \[ d_1: 2x-y+1=0 \qquad \text{et} \qquad d_2: 4x-2y-3=0. \]
Corrigé détaillé
Les vecteurs normaux sont \[ \vec{n_1}=(2\,;\,-1) \qquad \text{et} \qquad \vec{n_2}=(4\,;\,-2). \] Ils sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Elles ne sont pas confondues car les coefficients ne sont pas tous proportionnels avec le terme constant.
13 Orthogonalité de deux droites
Étudier la position relative des droites : \[ d_1: x+2y-1=0 \qquad \text{et} \qquad d_2: 2x-y+3=0. \]
Corrigé
Un vecteur normal à \(d_1\) est \((1\,;\,2)\). Un vecteur directeur de \(d_2\) peut être \((1\,;\,2)\). Donc les droites sont perpendiculaires.
Série D — Cercles et exercices type Bac
Objectif : exploiter une équation de cercle, projeter un point, rédiger une solution complète.
14 Lire un cercle
On considère le cercle d’équation \[ (x-2)^2+(y+1)^2=9. \]
  1. Donner son centre.
  2. Donner son rayon.
Corrigé
Le centre est \[ C(2\,;\,-1) \] et le rayon vaut \[ r=3. \]
15 Compléter les carrés
Mettre sous forme réduite l’équation : \[ x^2+y^2-4x+6y-12=0. \]
Corrigé détaillé
On regroupe : \[ x^2-4x+y^2+6y=12. \] On complète les carrés : \[ (x-2)^2-4+(y+3)^2-9=12 \] \[ (x-2)^2+(y+3)^2=25. \] Le cercle a pour centre \[ C(2\,;\,-3) \] et pour rayon \[ r=5. \]
16 Appartenance à un cercle
Le point \(A(5\,;\,-3)\) appartient-il au cercle \[ (x-2)^2+(y+1)^2=13 \ ? \]
Corrigé
On remplace : \[ (5-2)^2+(-3+1)^2=3^2+(-2)^2=9+4=13. \] Donc le point \(A\) appartient au cercle.
17 Projeté orthogonal
On considère la droite \[ d: x+y-2=0 \] et le point \[ P(3\,;\,1). \]
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(P\) sur \(d\).
Corrigé guidé
Un vecteur normal à \(d\) est \((1\,;\,1)\). Donc si \(H(x\,;\,y)\), alors \(\overrightarrow{PH}\) est colinéaire à \((1\,;\,1)\). On peut écrire : \[ H=(3+t\,;\,1+t). \] Comme \(H\in d\), \[ (3+t)+(1+t)-2=0 \] \[ 2+2t=0 \] \[ t=-1. \] Donc \[ H(2\,;\,0). \] Réponse : \(\boxed{H(2\,;\,0)}\).
18 Exercice de synthèse sur une droite
On considère les points \[ A(1\,;\,2),\qquad B(5\,;\,4),\qquad C(3\,;\,3). \]
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
  2. Vérifier que le point \(C\) appartient à \((AB)\).
Corrigé complet type Bac
On calcule \[ \vec{AB}=(5-1\,;\,4-2)=(4\,;\,2). \] Un vecteur normal possible est \((1\,;\,-2)\). Une équation de \((AB)\) est donc : \[ 1(x-1)-2(y-2)=0 \] \[ x-1-2y+4=0 \] \[ x-2y+3=0. \] On teste \(C(3\,;\,3)\) : \[ 3-2\times 3+3=3-6+3=0. \] Donc \(C\) appartient bien à la droite \((AB)\).
19 Exercice de synthèse sur un cercle
On considère les points \[ A(1\,;\,2),\qquad B(5\,;\,2). \]
  1. Déterminer le milieu \(M\) de \([AB]\).
  2. En déduire l’équation du cercle de diamètre \([AB]\).
Corrigé détaillé
Le milieu de \([AB]\) est \[ M\left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{2+2}{2}\right)=(3\,;\,2). \] La longueur \(AB\) vaut : \[ AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=4. \] Le rayon du cercle vaut donc \(2\). L’équation du cercle est : \[ (x-3)^2+(y-2)^2=4. \]
20 Exercice Bac premium
Dans un repère orthonormé, on considère : \[ A(0\,;\,2),\qquad B(4\,;\,0),\qquad C(2\,;\,3). \]
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
  2. Calculer la distance de \(C\) à \(A\) puis à \(B\).
  3. Déterminer le milieu \(M\) de \([AB]\).
  4. Le point \(C\) appartient-il au cercle de diamètre \([AB]\) ?
Corrigé complet premium
On calcule : \[ \vec{AB}=(4\,;\,-2). \] Un vecteur normal possible est \((1\,;\,2)\). Une équation de \((AB)\) est donc : \[ x+2y-4=0. \] Ensuite : \[ AC=\sqrt{(2-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5 \] \[ BC=\sqrt{(2-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}. \] Le milieu de \([AB]\) est \[ M\left(\frac{0+4}{2}\,;\,\frac{2+0}{2}\right)=(2\,;\,1). \] Le diamètre \([AB]\) a pour longueur : \[ AB=\sqrt{(4-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5. \] Donc le rayon vaut \(\sqrt5\). Le cercle de diamètre \([AB]\) a pour centre \(M(2\,;\,1)\) et rayon \(\sqrt5\). On teste \(C(2\,;\,3)\) : \[ MC=\sqrt{(2-2)^2+(3-1)^2}=2. \] Or \[ 2\neq \sqrt5. \] Donc \(C\) n’appartient pas au cercle de diamètre \([AB]\).
Méthode express à retenir
Pour un exercice classique de géométrie repérée :
  • je pose clairement les coordonnées des points ;
  • je calcule les vecteurs avec la formule \[ \vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A) \] ;
  • j’utilise la bonne formule pour la distance ou le milieu ;
  • pour une droite, je distingue vecteur normal et vecteur directeur ;
  • pour un cercle, je cherche centre et rayon, ou je complète les carrés.
Pièges à éviter : inverser l’ordre dans \(\vec{AB}\), oublier un carré dans la distance, confondre vecteur normal et directeur, mal compléter les carrés.