Exercices corrigés — Géométrie repérée (1ère spé)

1. \(\overrightarrow{AB}=(4-(-2)\,;\,-1-3)=(6\,;\,-4)\). Donc \(\boxed{\overrightarrow{AB}=(6\,;\,-4)}\).

2. \(M\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{3+(-1)}{2}\right)=(1\,;\,1)\).

3. \(AB=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=\boxed{2\sqrt{13}}\).

4. Une équation est \(6(x-1)-4(y-1)=0\), soit \(6x-4y-2=0\), donc \(\boxed{3x-2y-1=0}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\overrightarrow{AB}=(2\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{AC}=(4\,;\,6)\).

2. Comme \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\), les vecteurs sont colinéaires : \(\boxed{A,B,C\text{ alignés}}\).

3. Le milieu de \([AC]\) est \(\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{-1+5}{2}\right)=(3\,;\,2)=B\).

4. Avec le normal \((3\,;\,-2)\) et le point \(A\) : \(3(x-1)-2(y+1)=0\), soit \(\boxed{3x-2y-5=0}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Un vecteur normal est \(\boxed{\vec n=(2\,;\,-3)}\).

2. Un vecteur directeur possible est \(\boxed{\vec u=(3\,;\,2)}\), car \(2\times3+(-3)\times2=0\).

3. \(2\times0-3\times2+6=0\). Ainsi \(\boxed{A\in d}\).

4. \(-3y=-2x-6\), donc \(\boxed{y=\dfrac23x+2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(2(x-1)-(y-2)=0\).

2. \(2x-2-y+2=0\), donc \(\boxed{2x-y=0}\).

3. \(2\times3-6=0\), donc \(\boxed{B\in d}\).

4. Si \(y=0\), alors \(2x=0\), donc l’intersection est \(\boxed{O(0\,;\,0)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{(x-2)^2+(y+1)^2=9}\).

2. \((5-2)^2+(-1+1)^2=9\), donc \(\boxed{A\in\mathcal C}\).

3. Les extrémités sont \(\boxed{(-1\,;\,-1)}\) et \(\boxed{(5\,;\,-1)}\).

4. \((y+1)^2=9\), donc \(y=2\) ou \(y=-4\). Les points sont \(\boxed{(2\,;\,2)}\) et \(\boxed{(2\,;\,-4)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Un vecteur normal commun est \(\boxed{(3\,;\,-2)}\).

2. \(-3-8+c=0\), donc \(c=11\) et \(\boxed{\Delta:3x-2y+11=0}\).

3. \(3-14+11=0\), donc \(\boxed{B\in\Delta}\).

4. Pour \(x=0\), \(-2y+11=0\), donc \(\boxed{y=\dfrac{11}{2}}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Un vecteur directeur de \(d\) est \(\boxed{(2\,;\,-1)}\).

2. On peut donc prendre \(\boxed{\vec n_\Delta=(2\,;\,-1)}\).

3. \(2(x-4)-(y+1)=0\), soit \(\boxed{2x-y-9=0}\).

4. Le système donne \(y=2x-9\), puis \(x+2(2x-9)-3=0\), donc \(x=\dfrac{21}{5}\), \(y=-\dfrac35\). Ainsi \(\boxed{I(\dfrac{21}{5}\,;\,-\dfrac35)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{\vec n=(1\,;\,1)}\).

2. Les points de la perpendiculaire s’écrivent \(\boxed{(3+t\,;\,1+t)}\).

3. \((3+t)+(1+t)-2=0\Rightarrow t=-1\). Donc \(\boxed{H(2\,;\,0)}\).

4. \(PH=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\boxed{\sqrt2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. L’équation devient \((x-2)^2-4+(y+3)^2-9=12\), donc \(\boxed{(x-2)^2+(y+3)^2=25}\).

2. Centre \(\boxed{C(2\,;\,-3)}\), rayon \(\boxed{5}\).

3. \((5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25\), donc \(\boxed{A\in\mathcal C}\).

4. Pour \(y=0\), \((x-2)^2=16\), donc \(\boxed{(-2\,;\,0)}\) et \(\boxed{(6\,;\,0)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(M(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2})=\boxed{(2\,;\,3)}\).

2. \(AB^2=6^2+2^2=40\), donc \(AB=2\sqrt{10}\) et \(\boxed{r=\sqrt{10}}\).

3. \(\boxed{(x-2)^2+(y-3)^2=10}\).

4. \((1-2)^2+(0-3)^2=1+9=10\), donc \(\boxed{C\in\mathcal C}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{\vec n=(2\,;\,-1)}\).

2. La forme \(H(3+2t\,;\,4-t)\) traduit \(\overrightarrow{PH}=t(2\,;\,-1)\).

3. \(2(3+2t)-(4-t)+1=0\Rightarrow3+5t=0\Rightarrow t=-\dfrac35\). Ainsi \(\boxed{H(\dfrac95\,;\,\dfrac{23}{5})}\).

4. \(\overrightarrow{PH}=(-\dfrac65\,;\,\dfrac35)\), donc \(PH=\sqrt{\dfrac{45}{25}}=\boxed{\dfrac{3\sqrt5}{5}}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Centre \(\boxed{(1\,;\,-2)}\), rayon \(\boxed{\sqrt{13}}\).

2. Avec \(x=3\), \(4+(y+2)^2=13\), donc \((y+2)^2=9\).

3. \(y=1\) ou \(y=-5\). Les points sont \(\boxed{A(3\,;\,1)}\) et \(\boxed{B(3\,;\,-5)}\).

4. \(AB=|1-(-5)|=\boxed{6}\) et son milieu est \(\boxed{M(3\,;\,-2)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. On obtient \(\boxed{y^2=25-m^2}\).

2. Si \(|m|<5\) : deux intersections ; si \(|m|=5\) : une intersection ; si \(|m|>5\) : aucune.

3. Pour \(|m|<5\), les points sont \(\boxed{(m\,;\,\sqrt{25-m^2})}\) et \(\boxed{(m\,;\,-\sqrt{25-m^2})}\).

4. Pour \(m=3\), \(y^2=16\), donc \(\boxed{(3\,;\,4)}\) et \(\boxed{(3\,;\,-4)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \((4-1)^2+(-1+2)^2=9+1=10\), donc \(\boxed{A\in\mathcal C}\).

2. Le centre est \(C(1\,;\,-2)\), donc \(\boxed{\overrightarrow{CA}=(3\,;\,1)}\).

3. \(3(x-4)+(y+1)=0\), soit \(\boxed{3x+y-11=0}\).

4. Sur \(Ox\) : \(x=\dfrac{11}{3}\). Sur \(Oy\) : \(y=11\). Les points sont \(\boxed{(\dfrac{11}{3}\,;\,0)}\) et \(\boxed{(0\,;\,11)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Avec \(A\), on obtient immédiatement \(\boxed{c=0}\).

2. Avec \(B\) : \(16+4a=0\Rightarrow a=-4\). Avec \(C\) : \(36+6b=0\Rightarrow b=-6\).

3. \(x^2+y^2-4x-6y=0\iff\boxed{(x-2)^2+(y-3)^2=13}\). Centre \((2\,;\,3)\), rayon \(\sqrt{13}\).

4. \(16+36-16-36=0\), donc \(\boxed{D\in\mathcal C}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{\vec n=(1\,;\,-2)}\).

2. \((2+t)-2(1-2t)+5=0\Rightarrow5+5t=0\Rightarrow t=-1\). Donc \(\boxed{H(1\,;\,3)}\).

3. \(CH=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\boxed{\sqrt5}\).

4. Comme \(CH=r\), la droite est \(\boxed{\text{tangente}}\) au cercle, au point \(\boxed{H(1\,;\,3)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(d_p:x-y+p=0\), normal \(\boxed{(1\,;\,-1)}\).

2. Posons \(H(t\,;\,-t)\). Alors \(t-(-t)+p=0\Rightarrow t=-\dfrac p2\). Donc \(\boxed{H(-\dfrac p2\,;\,\dfrac p2)}\).

3. \(OH=\sqrt{\dfrac{p^2}{4}+\dfrac{p^2}{4}}=\dfrac{|p|}{\sqrt2}\). La condition \(OH=2\) donne \(\boxed{p=\pm2\sqrt2}\).

4. Pour \(p=2\sqrt2\), \(H=(-\sqrt2\,;\,\sqrt2)\). Pour \(p=-2\sqrt2\), \(H=(\sqrt2\,;\,-\sqrt2)\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(MA^2-MB^2=4(3x+2y-9)\).

2. Donc \(MA=MB\iff\boxed{3x+2y-9=0}\), équation de la médiatrice.

3. \(I(1\,;\,3)\) et \(3+6-9=0\), donc \(\boxed{I\text{ appartient à la médiatrice}}\).

4. Sur \(Ox\), \(y=0\), donc \(x=3\) : \(\boxed{(3\,;\,0)}\). Sur \(Oy\), \(x=0\), donc \(y=\dfrac92\) : \(\boxed{(0\,;\,\dfrac92)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\overrightarrow{AB}=(6\,;\,0)\), \(\overrightarrow{BC}=(0\,;\,4)\) : ils sont orthogonaux, et les côtés opposés sont parallèles. Donc \(\boxed{ABCD\text{ rectangle}}\).

2. Le milieu de \([AC]\) est \(\boxed{O(2\,;\,3)}\).

3. \(OA=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\boxed{\sqrt{13}}\).

4. Le cercle est \(\boxed{(x-2)^2+(y-3)^2=13}\). Chacun des quatre sommets est à distance \(\sqrt{13}\) de \(O\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Une équation de \((BC)\) est \(\boxed{x+y-6=0}\).

2. La hauteur issue de \(A\) a pour direction \((1\,;\,1)\), donc \(\boxed{y=x}\).

3. Avec \(y=x\) et \(x+y=6\), on obtient \(\boxed{H(3\,;\,3)}\).

4. \(AH=\sqrt{18}=3\sqrt2\). De plus, \(BC=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt2\). En prenant \(BC\) pour base et \(AH\) pour hauteur : \(\mathcal A_{ABC}=\dfrac12\times4\sqrt2\times3\sqrt2=\boxed{12}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Distances : \(|y|\) et \(MF=\sqrt{x^2+(y-4)^2}\).

2. \(x^2+(y-4)^2=y^2\iff x^2-8y+16=0\).

3. Donc \(\boxed{y=\dfrac18x^2+2}\). Le sommet est \(\boxed{S(0\,;\,2)}\) et l’axe de symétrie est \(x=0\).

4. \(4=\dfrac18x^2+2\Rightarrow x^2=16\). Les intersections sont \(\boxed{(-4\,;\,4)}\) et \(\boxed{(4\,;\,4)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(x^2-4x+1=(x-2)^2-3\). Donc \(\boxed{S(2\,;\,-3)}\).

2. L’intersection vérifie \(\boxed{(x-2)^2=k+3}\).

3. Si \(k>-3\) : deux points ; si \(k=-3\) : un point ; si \(k<-3\) : aucun point.

4. Pour \(k=1\), \((x-2)^2=4\), donc \(x=0\) ou \(4\). Les points sont \(\boxed{(0\,;\,1)}\) et \(\boxed{(4\,;\,1)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Dans le premier quadrant, la tangence aux deux axes impose \(\boxed{C(r\,;\,r)}\).

2. \((3-r)^2+(1-r)^2=r^2\iff r^2-8r+10=0\).

3. \(\Delta=64-40=24\), donc \(\boxed{r=4\pm\sqrt6}\), deux valeurs positives.

4. Les cercles sont \(\boxed{(x-r)^2+(y-r)^2=r^2}\) avec \(r=4-\sqrt6\) ou \(r=4+\sqrt6\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(2(t-1)^2=(t-5)^2+(t-3)^2\).

2. Après développement : \(12t=32\), donc \(\boxed{O(\dfrac83\,;\,\dfrac83)}\).

3. \(r^2=2(\dfrac53)^2=\dfrac{50}{9}\). Ainsi \(\boxed{(x-\dfrac83)^2+(y-\dfrac83)^2=\dfrac{50}{9}}\).

4. Avec \(y=x\) : \(2(x-\dfrac83)^2=\dfrac{50}{9}\), donc \(x=1\) ou \(x=\dfrac{13}{3}\). Le second point est \(\boxed{(\dfrac{13}{3}\,;\,\dfrac{13}{3})}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{(BC):x+y-6=0}\).

2. La hauteur issue de \(A\) est \(\boxed{y=x}\).

3. La hauteur issue de \(C\), perpendiculaire à \(AB\), est \(\boxed{x=2}\).

4. Ainsi \(\boxed{H(2\,;\,2)}\). Comme \((AC)\) a pour équation \(y=2x\), une perpendiculaire par \(B\) est \(x+2y-6=0\), et \(2+4-6=0\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Les hauteurs \((AB)\) et \((AC)\) se coupent en \(A\), donc \(\boxed{H=A(0\,;\,0)}\).

2. Le milieu de \([BC]\) est \(O(3\,;\,4)\). Comme \(BC=10\), \(\boxed{R=5}\).

3. \(G(\dfrac{0+6+0}{3}\,;\,\dfrac{0+0+8}{3})=\boxed{(2\,;\,\dfrac83)}\).

4. \(\overrightarrow{HG}=(2\,;\,\dfrac83)=\dfrac23(3\,;\,4)=\dfrac23\overrightarrow{HO}\). Donc \(\boxed{H,G,O\text{ alignés}}\) et \(\boxed{HG/HO=2/3}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Conditions : \(x^2+y^2=9\) et \(x(x-5)+y^2=0\). En soustrayant, \(9-5x=0\).

2. \(x=\dfrac95\) puis \(y^2=9-\dfrac{81}{25}=\dfrac{144}{25}\). Ainsi \(\boxed{T_1(\dfrac95\,;\,\dfrac{12}{5})}\), \(\boxed{T_2(\dfrac95\,;\,-\dfrac{12}{5})}\).

3. Les tangentes sont \(\boxed{3x+4y-15=0}\) et \(\boxed{3x-4y-15=0}\).

4. \(PT=\sqrt{OP^2-OT^2}=\sqrt{25-9}=\boxed{4}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(O(a\,;\,a+1)\) et \(\boxed{r=a+1}\), avec \(a+1>0\).

2. \((4-a)^2+(2-a-1)^2=(a+1)^2\iff a^2-12a+16=0\).

3. \(\Delta=144-64=80\), donc \(\boxed{a=6\pm2\sqrt5}\). Les rayons sont \(\boxed{7\pm2\sqrt5}\).

4. Les points de tangence sont directement sous les centres : \(\boxed{(6-2\sqrt5\,;\,0)}\) et \(\boxed{(6+2\sqrt5\,;\,0)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Posons \(H=(1+3t\,;\,-1+4t)\). Alors \(3(1+3t)+4(-1+4t)+16=0\Rightarrow15+25t=0\Rightarrow t=-\dfrac35\). Donc \(\boxed{H(-\dfrac45\,;\,-\dfrac{17}{5})}\).

2. \(OH=|t|\sqrt{3^2+4^2}=\dfrac35\times5=\boxed{3}\).

3. \((PQ/2)^2=25-9=16\), donc \(PQ/2=4\) et \(\boxed{PQ=8}\).

4. Le vecteur unitaire de \(d\) est \(\dfrac15(4\,;\,-3)\). Ainsi \(P=H+4\dfrac15(4\,;\,-3)=\boxed{(\dfrac{12}{5}\,;\,-\dfrac{29}{5})}\) et \(Q=H-4\dfrac15(4\,;\,-3)=\boxed{(-4\,;\,-1)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Pour \(A\) : \(3^2+1^2=10\). Pour \(B\) : \(1^2+(-3)^2=10\). Donc \(\boxed{A,B\in\mathcal C}\).

2. \(\overrightarrow{OA}=(3\,;\,1)\), \(\overrightarrow{AP}=(1\,;\,-3)\), produit scalaire \(3-3=0\). De même \(\overrightarrow{OB}=(1\,;\,-3)\), \(\overrightarrow{BP}=(3\,;\,1)\), produit scalaire \(3-3=0\). Les deux droites sont tangentes.

3. Tangente en \(A\) : \(3(x-4)+(y-3)=0\), donc \(\boxed{3x+y-15=0}\). Tangente en \(B\) : \((x-2)-3(y+1)=0\), donc \(\boxed{x-3y-5=0}\).

4. \(PA=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\) et \(PB=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\). Avec \(\overrightarrow{PA}=(-1\,;\,3)\), \(\overrightarrow{PB}=(-3\,;\,-1)\), \(|\det|=10\), donc \(\boxed{\mathcal A_{PAB}=5}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.