Exercice 1 — Vecteur, distance et milieu
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(2,-1)\) et \(B(6,3)\).
- 1) Calculer le vecteur \(\vec{AB}\).
- 2) Calculer la distance \(AB\).
- 3) Déterminer le milieu \(M\) du segment \([AB]\).
Correction
\[
\vec{AB}=(6-2\,;\,3-(-1))=(4\,;\,4)
\]
\[
AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2
\]
\[
M\left(\frac{2+6}{2}\,;\,\frac{-1+3}{2}\right)=(4\,;\,1)
\]
Exercice 2 — Droite et vecteur normal
On considère la droite \(d\) d’équation : \(3x-2y+5=0\).
- 1) Donner un vecteur normal à \(d\).
- 2) Donner un vecteur directeur de \(d\).
- 3) Vérifier si le point \(P(1,4)\) appartient à \(d\).
Correction
\[
\vec n=(3,-2),\quad \vec u=(2,3)
\]
\[
3\times1-2\times4+5=0 \Rightarrow P\in d
\]
Exercice 3 — Équation de droite (point + normal)
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(-2,1)\) et de vecteur normal \((4,1)\).
Correction
\[
4(x+2)+(y-1)=0 \iff 4x+y+7=0
\]
Exercice 4 — Parallélisme et orthogonalité
On considère les droites :
\[
d_1:2x-y+3=0 \qquad
d_2:4x-2y-1=0 \qquad
d_3:x+2y-7=0
\]
- 1) Montrer que \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.
- 2) Montrer que \(d_1\) et \(d_3\) sont perpendiculaires.
Correction
\((4,-2)=2(2,-1)\) ⇒ droites parallèles.
\((-2,1)\) est directeur de \(d_3\) et colinéaire au normal de \(d_1\) ⇒ droites perpendiculaires.
Exercice 5 — Projeté orthogonal
Soit la droite \(d:x-y+1=0\) et le point \(P(2,0)\).
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(P\) sur \(d\).
Correction
\[
H\left(\frac12\,;\,\frac32\right)
\]
Exercice 6 — Cercle
On considère l’équation :
\[
x^2+y^2-4x+6y-3=0
\]
- 1) Montrer qu’il s’agit d’un cercle.
- 2) Donner son centre et son rayon.
Correction
\[
(x-2)^2+(y+3)^2=16
\Rightarrow C(2,-3),\ r=4
\]