Géométrie repérée | Quiz — 1ère Spé Maths | Learna

Q1. Soient \(A(1 ; 2)\) et \(B(4 ; -1)\). Quelles sont les coordonnées de \(\vec{AB}\) ? Non vérifié

\((3 ; -3)\) \((-3 ; 3)\) \((5 ; 1)\) \((3 ; 1)\)

Indice

On fait arrivée moins départ.

Correction

On calcule : \[ \vec{AB}=(x_B-x_A ; y_B-y_A)=(4-1 ; -1-2)=(3 ; -3). \] Donc \(\boxed{\vec{AB}=(3 ; -3)}\).

Q2. Soient \(A(0 ; 4)\) et \(B(6 ; 2)\). Quel est le milieu de \([AB]\) ? Non vérifié

\((3 ; 3)\) \((6 ; 6)\) \((3 ; 1)\) \((2 ; 3)\)

Indice

On moyenne les abscisses puis les ordonnées.

Correction

Le milieu est \[ M\left(\frac{0+6}{2} ; \frac{4+2}{2}\right)=(3 ; 3). \] Donc \(\boxed{M(3 ; 3)}\).

Q3. Soient \(A(1 ; 2)\) et \(B(4 ; -2)\). Quelle est la distance \(AB\) ? Non vérifié

\(4\) \(5\) \(\sqrt{13}\) \(\sqrt{7}\)

Indice

Utiliser la formule de distance dans un repère orthonormé.

Correction

On calcule : \[ AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5. \] Donc \(\boxed{AB=5}\).

Q4. Les vecteurs \(\vec{u}(2 ; 3)\) et \(\vec{v}(4 ; 6)\) sont : Non vérifié

colinéaires orthogonaux égaux non comparables

Indice

Les coordonnées sont proportionnelles.

Correction

On a \[ 4=2\times 2 \quad \text{et} \quad 6=2\times 3. \] Donc \(\vec{v}=2\vec{u}\), les vecteurs sont colinéaires.

Q5. Pour la droite \(d: 2x-3y+6=0\), quel est un vecteur normal ? Non vérifié

\((2 ; -3)\) \((3 ; 2)\) \((-3 ; 2)\) \((6 ; 0)\)

Indice

Dans \(ax+by+c=0\), un vecteur normal est \((a ; b)\).

Correction

Pour une droite d’équation \[ ax+by+c=0, \] un vecteur normal est \((a ; b)\). Ici : \(\boxed{(2 ; -3)}\).

Q6. Pour la droite \(d: 2x-3y+6=0\), quel est un vecteur directeur possible ? Non vérifié

\((3 ; 2)\) \((2 ; -3)\) \((6 ; -3)\) \((2 ; 3)\)

Indice

À partir du normal \((a ; b)\), un directeur possible est \((-b ; a)\).

Correction

Ici un vecteur normal est \((2 ; -3)\), donc un vecteur directeur possible est \[ (-(-3) ; 2)=(3 ; 2). \] Donc \(\boxed{(3 ; 2)}\).

Q7. Une équation de la droite passant par \(A(1 ; 2)\) et de vecteur normal \((2 ; -1)\) est : Non vérifié

\(2x-y=0\) \(2x+y=0\) \(x-2y=0\) \(2x-y+1=0\)

Indice

Écrire \(2(x-1)-1(y-2)=0\).

Correction

On écrit : \[ 2(x-1)-(y-2)=0 \] \[ 2x-2-y+2=0 \] \[ 2x-y=0. \] Donc \(\boxed{2x-y=0}\).

Q8. Les droites \(d_1: 2x-y+1=0\) et \(d_2: 4x-2y-3=0\) sont : Non vérifié

parallèles perpendiculaires sécantes non perpendiculaires confondues

Indice

Comparer les vecteurs normaux.

Correction

Les vecteurs normaux sont \[ (2 ; -1) \quad \text{et} \quad (4 ; -2). \] Ils sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

Q9. Les droites \(d_1: x+2y-1=0\) et \(d_2: 2x-y+3=0\) sont : Non vérifié

perpendiculaires parallèles confondues sans lien particulier

Indice

Un vecteur normal de l’une peut être un vecteur directeur de l’autre.

Correction

Un vecteur normal à \(d_1\) est \((1 ; 2)\). Un vecteur directeur de \(d_2\) peut être \((1 ; 2)\). Donc les droites sont perpendiculaires.

Q10. Le cercle \((x-2)^2+(y+1)^2=9\) a pour centre et rayon : Non vérifié

\(C(2 ; -1)\), \(r=3\) \(C(-2 ; 1)\), \(r=3\) \(C(2 ; 1)\), \(r=9\) \(C(-2 ; -1)\), \(r=9\)

Indice

Comparer à \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).

Correction

On reconnaît la forme \[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2. \] Ici, \(h=2\), \(k=-1\), \(r=3\).

Q11. Le point \(A(5 ; -3)\) appartient-il au cercle \((x-2)^2+(y+1)^2=13\) ? Non vérifié

oui non

Indice

Remplacer \(x\) et \(y\) dans l’équation du cercle.

Correction

On calcule : \[ (5-2)^2+(-3+1)^2=3^2+(-2)^2=9+4=13. \] Le point vérifie l’équation, donc il appartient au cercle.

Q12. Si \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 0)\), \(C(2 ; 3)\), alors le triangle \(ABC\) est : Non vérifié

isocèle en \(C\) rectangle en \(A\) équilatéral rectangle en \(C\)

Indice

Comparer \(AC\) et \(BC\).

Correction

On a \[ AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13} \qquad \text{et} \qquad BC=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}. \] Donc \(AC=BC\) : le triangle est isocèle en \(C\).

Q13. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont correctes ? Non vérifié

si \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\), alors \(\vec{AB}=(x_B-x_A ; y_B-y_A)\) dans \(ax+by+c=0\), \((a ; b)\) est un vecteur normal dans \(ax+by+c=0\), \((-b ; a)\) est un vecteur directeur possible le milieu de \([AB]\) est \(\left(\dfrac{x_B-x_A}{2} ; \dfrac{y_B-y_A}{2}\right)\)

Indice

Une seule affirmation est fausse.

Correction

Les trois premières propositions sont correctes. Le milieu de \([AB]\) est \[ \left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right) \] et non avec une différence.

Q14. À propos du cercle d’équation \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), quelles affirmations sont correctes ? Non vérifié

son centre est \((h ; k)\) son rayon vaut \(r\) si \(r^2=25\), alors le rayon vaut \(25\) un point \(M(x ; y)\) appartient au cercle s’il vérifie l’équation

Indice

Le rayon est positif et vaut la racine de \(r^2\).

Correction

Le centre est \((h ; k)\), le rayon est \(r\), et un point appartient au cercle s’il vérifie l’équation. Si \(r^2=25\), alors \(r=5\), pas 25.

Q15. Soient \(A(2 ; -1)\) et \(B(5 ; 4)\). Donner les coordonnées de \(\vec{AB}\). Non vérifié

Indice

Arrivée moins départ.

Correction

\[ \vec{AB}=(5-2 ; 4-(-1))=(3 ; 5). \] Réponse : \(\boxed{(3 ; 5)}\).

Q16. Soient \(A(0 ; 2)\) et \(B(4 ; 0)\). Donner le milieu de \([AB]\). Non vérifié

Indice

Moyenne des coordonnées.

Correction

\[ M\left(\frac{0+4}{2} ; \frac{2+0}{2}\right)=(2 ; 1). \] Réponse : \(\boxed{(2 ; 1)}\).

Q17. Soient \(A(0 ; 0)\) et \(B(4 ; 3)\). Calculer \(AB\). Non vérifié

Indice

C’est un triangle 3-4-5.

Correction

\[ AB=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \] Donc \(\boxed{5}\).

Q18. Donner un vecteur normal à la droite \(d: 3x+2y-7=0\). Non vérifié

Indice

Dans \(ax+by+c=0\), un normal est \((a ; b)\).

Correction

Un vecteur normal à \(d\) est \[ (3 ; 2). \] Réponse : \(\boxed{(3 ; 2)}\).

Q19. Soient \(A(1 ; 2)\), \(B(5 ; 2)\). Donner le rayon du cercle de diamètre \([AB]\). Non vérifié

Indice

Le rayon est la moitié du diamètre.

Correction

On calcule \[ AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=4. \] Donc le rayon vaut \[ \frac{AB}{2}=2. \] Réponse : \(\boxed{2}\).

Q20. Mettre sous forme réduite : \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\). Donner le rayon du cercle obtenu. Non vérifié

Indice

Compléter les carrés.

Correction

On obtient \[ (x-2)^2+(y+3)^2=25. \] Donc le rayon vaut \[ \sqrt{25}=5. \] Réponse : \(\boxed{5}\).

Quiz — Géométrie repérée