Géométrie repérée | Cours — 1ère Spé Maths | Learna

Cours — Géométrie repérée

Repère du plan • coordonnées • vecteurs • distance • milieu • droites • cercles • méthodes Bac.

Objectifs Repère Vecteurs Distance / milieu Droites Projeté Cercles Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues (1ère Spé)

Repérer un point et un vecteur dans un repère du plan.
Calculer des coordonnées de vecteurs, de milieux et de points.
Calculer une distance dans un repère orthonormé.
Déterminer une équation cartésienne de droite.
Étudier parallélisme et orthogonalité de droites.
Reconnaître et exploiter l’équation d’un cercle.

Pièges fréquents

Confondre coordonnées d’un point et coordonnées d’un vecteur.
Écrire \(\vec{AB}=(x_A-x_B\,;\,y_A-y_B)\) au lieu de \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\).
Oublier le carré dans la formule de distance.
Confondre vecteur normal et vecteur directeur d’une droite.
Mal compléter les carrés dans l’équation d’un cercle.

Réflexe “copie propre” : je pose les coordonnées clairement, j’écris la formule utilisée, puis je remplace par les valeurs numériques avant de conclure.

2) Repère du plan

Repère orthonormé

On travaille dans un repère orthonormé \[ (O;\vec{i},\vec{j}). \] Les axes sont perpendiculaires et les unités de longueur sont identiques.

Coordonnées

Un point \(A\) est repéré par ses coordonnées \[ A(x_A\,;\,y_A). \] Un vecteur \(\vec{u}\) se note aussi à l’aide de deux coordonnées.

Exemple 1 — Lire des coordonnées

Si un point \(A\) a pour coordonnées \(A(3\,;\,-2)\), alors son abscisse est \(3\) et son ordonnée est \(-2\).

Écriture attendue : \(\boxed{A(3\,;\,-2)}\)

3) Coordonnées de vecteurs

Formule

Si \[ A(x_A\,;\,y_A)\qquad \text{et}\qquad B(x_B\,;\,y_B), \] alors \[ \vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A). \]

Conséquence

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées. Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Colinéarité de deux vecteurs

\[ \vec{u}(x_1\,;\,y_1)\ \text{et}\ \vec{v}(x_2\,;\,y_2) \text{ sont colinéaires} \iff x_1y_2-y_1x_2=0. \]

Exemple 2 — Calculer \(\vec{AB}\)

Si \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-1)\), alors \[ \vec{AB}=(4-1\,;\,-1-2)=(3\,;\,-3). \]

Résultat : \(\boxed{\vec{AB}=(3\,;\,-3)}\)

Exemple 3 — Tester une colinéarité

Soient \[ \vec{u}(2\,;\,3)\qquad \text{et}\qquad \vec{v}(4\,;\,6). \] On calcule : \[ 2\times 6 - 3\times 4 = 12-12=0. \] Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

4) Distance et milieu

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé : \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. \]

Cette formule vient du théorème de Pythagore.

Milieu d’un segment

Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées : \[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right). \]

Exemple 4 — Calculer une distance

Si \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,-2)\), alors \[ AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2} \] \[ AB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]

Résultat : \(\boxed{AB=5}\)

Exemple 5 — Calculer un milieu

Si \(A(0\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,2)\), alors \[ M\left(\frac{0+6}{2}\,;\,\frac{4+2}{2}\right)=(3\,;\,3). \]

Résultat : \(\boxed{M(3\,;\,3)}\)

5) Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite du plan peut être définie par une équation cartésienne : \[ ax+by+c=0 \] avec \((a\,;\,b)\neq (0\,;\,0)\).

Vecteurs associés

Si la droite a pour équation \[ ax+by+c=0, \] alors :

\((a\,;\,b)\) est un vecteur normal à la droite ;
\((-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur possible.

Droite passant par un point

Si une droite passe par \(A(x_A\,;\,y_A)\) et admet \((a\,;\,b)\) pour vecteur normal, alors : \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0. \]

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Orthogonalité

Deux droites sont perpendiculaires si un vecteur normal de l’une est un vecteur directeur de l’autre.

Exemple 6 — Lire normal et directeur

Pour la droite \[ 2x-3y+6=0, \] un vecteur normal est \[ (2\,;\,-3) \] et un vecteur directeur possible est \[ (3\,;\,2). \]

Exemple 7 — Équation d’une droite passant par un point

On cherche la droite passant par \(A(1\,;\,2)\) et de vecteur normal \((2\,;\,-1)\). \[ 2(x-1)-1(y-2)=0 \] \[ 2x-2-y+2=0 \] \[ 2x-y=0. \]

Équation : \(\boxed{2x-y=0}\)

Exemple 8 — Tester un parallélisme

Les droites \[ d_1: 2x-y+1=0 \qquad \text{et} \qquad d_2: 4x-2y-3=0 \] ont pour vecteurs normaux \((2\,;\,-1)\) et \((4\,;\,-2)\), qui sont colinéaires. Donc \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.

6) Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition

Soit une droite \[ d: ax+by+c=0 \] et un point \(P(x_P\,;\,y_P)\). Le projeté orthogonal \(H\) de \(P\) sur \(d\) est le point tel que :

\(H\in d\) ;
\(\overrightarrow{PH}\) est colinéaire au vecteur normal \((a\,;\,b)\).

Méthode

Pour déterminer \(H\), on écrit :

une équation traduisant \(H\in d\) ;
une équation traduisant \(\overrightarrow{PH}\parallel (a\,;\,b)\).

On résout ensuite le système obtenu.

Attention : il ne suffit pas que \(H\) soit sur la droite. Il faut aussi imposer la perpendicularité.

7) Cercle dans le plan

Équation réduite

Le cercle de centre \(C(h\,;\,k)\) et de rayon \(r\) a pour équation : \[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2. \]

Reconnaître un cercle

Pour reconnaître un cercle à partir d’une équation développée, on complète les carrés sur \(x\) et sur \(y\).

Exemple 9 — Lire centre et rayon

Pour l’équation \[ (x-2)^2+(y+1)^2=9, \] le centre est \[ C(2\,;\,-1) \] et le rayon est \[ r=3. \]

Exemple 10 — Compléter les carrés

À partir de \[ x^2+y^2-4x+6y-12=0, \] on regroupe : \[ x^2-4x+y^2+6y=12. \] On complète les carrés : \[ (x-2)^2-4+(y+3)^2-9=12 \] \[ (x-2)^2+(y+3)^2=25. \] Le cercle a donc pour centre \[ C(2\,;\,-3) \] et pour rayon \[ r=5. \]

8) Mini-formulaire (à connaître)

Coordonnées et distance

\[ \vec{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A) \] \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \] \[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Droites et cercles

\[ ax+by+c=0 \] \[ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0 \] \[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Checklist “copie parfaite”

Je sais calculer les coordonnées d’un vecteur.
Je connais les formules du milieu et de la distance.
Je sais lire une équation cartésienne de droite.
Je distingue correctement vecteur normal et vecteur directeur.
Je sais tester parallélisme et orthogonalité.
Je sais reconnaître un cercle et compléter les carrés si besoin.

Dernier rappel : en notation française, on écrit les coordonnées au format \[ (x\,;\,y) \] et non \((x,y)\).