Géométrie repérée

Repère, vecteurs, droites, distances, milieux, coordonnées, équations (méthodes).

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Cours — Géométrie repérée

1ère Spécialité Mathématiques · Programme officiel

1. Repère du plan

On travaille dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).

  • Un point \(A\) est repéré par ses coordonnées \(A(x_A,y_A)\).
  • Un vecteur \(\vec{u}\) est repéré par ses coordonnées \((x,y)\).
\[ \vec{AB} = (x_B-x_A \,;\, y_B-y_A) \]
Exemple : Si \(A(1,2)\) et \(B(4,-1)\), alors \(\vec{AB}=(3,-3)\).
2. Distance et milieu

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points se calcule à l’aide du théorème de Pythagore.

\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Le milieu du segment \([AB]\) est le point \(M\) de coordonnées :

\[ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]
Exemple : Si \(A(0,4)\) et \(B(6,2)\), alors \(M(3,3)\).
3. Droites du plan — équation cartésienne

Une droite du plan peut être définie par une équation cartésienne :

\[ ax+by+c=0 \]
  • \((a,b)\) est un vecteur normal à la droite.
  • Un vecteur directeur possible est \((-b,a)\).
Exemple : Pour la droite \(2x-3y+6=0\) :
  • Vecteur normal : \((2,-3)\)
  • Vecteur directeur : \((3,2)\)
4. Équation d’une droite passant par un point

Si une droite passe par un point \(A(x_A,y_A)\) et admet \(\vec{n}(a,b)\) comme vecteur normal, alors son équation est :

\[ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0 \]
Exemple : Droite passant par \(A(1,2)\) de vecteur normal \((2,-1)\) : \[ 2(x-1)-(y-2)=0 \iff 2x-y=0 \]
5. Parallélisme et orthogonalité
  • Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
  • Deux droites sont perpendiculaires si un vecteur normal de l’une est un vecteur directeur de l’autre.
Exemple : \(d_1: 2x-y+1=0\) et \(d_2: 4x-2y-3=0\) sont parallèles (vecteurs normaux colinéaires).
6. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Soit une droite \(d: ax+by+c=0\) et un point \(P(x_P,y_P)\). Le projeté orthogonal \(H\) de \(P\) sur \(d\) est le point tel que :

  • \(H \in d\)
  • \(\overrightarrow{PH}\) est colinéaire au vecteur normal \((a,b)\)

On détermine \(H\) en résolvant un système de deux équations.

7. Cercle dans le plan

Le cercle de centre \(C(h,k)\) et de rayon \(r\) a pour équation :

\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]

Pour reconnaître un cercle à partir d’une équation, on complète les carrés.

À retenir pour le Bac
  • Une équation \(ax+by+c=0\) donne directement un vecteur normal.
  • Projeté orthogonal = point sur la droite + perpendicularité.
  • Reconnaître un cercle en complétant les carrés.