Fiche de révision — Fonctions trigonométriques
1ère Spécialité Maths • Cercle trigonométrique •
Sinus • Cosinus • Tangente • Angles associés • Équations
1 — Cercle trigonométrique
Cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct.
À tout réel \(x\) est associé un point :
\[
\boxed{M(\cos x,\ \sin x)}
\]
Deux réels \(x\) et \(x+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) représentent le même point.
2 — Sinus et cosinus
Définition
\[
\cos x = \text{abscisse de } M
\qquad
\sin x = \text{ordonnée de } M
\]
Propriétés essentielles
\[
\boxed{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}
\]
\[
\boxed{-1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1}
\]
\[
\boxed{\cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x}
\]
\[
\boxed{\cos(x+2\pi)=\cos x \qquad \sin(x+2\pi)=\sin x}
\]
3 — Angles associés
\[
\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x}
\]
\[
\boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x}
\]
\[
\boxed{\sin(\pi-x)=\sin x \qquad \cos(\pi-x)=-\cos x}
\]
\[
\boxed{\sin(\pi+x)=-\sin x \qquad \cos(\pi+x)=-\cos x}
\]
4 — Tangente
\[
\boxed{\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}}
\]
Domaine de définition :
\[
\boxed{\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}}
\]
\[
\boxed{\tan(-x)=-\tan x \qquad \tan(x+\pi)=\tan x}
\]
5 — Valeurs usuelles à connaître
| \(x\) | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | 0 | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | 1 |
| \(\cos x\) | 1 | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | 0 |
6 — Équations types (à savoir résoudre)
\[
\sin x = a \Rightarrow x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou}\ \pi-\alpha+2k\pi
\]
\[
\cos x = a \Rightarrow x = \pm\alpha + 2k\pi
\]
\[
\tan x = a \Rightarrow x = \arctan(a) + k\pi
\]
Toujours commencer par résoudre dans \([0,2\pi[\), puis généraliser.