Fonctions Trigonometriques
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Fonctions trigonométriques (1ère Spé)
Radians • cercle trigonométrique • sinus • cosinus • tangente • angles associés • équations.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / bac).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Radians
Correspondances de base :
\(180^\circ=\pi\)
\(90^\circ=\frac{\pi}{2}\)
\(360^\circ=2\pi\)
Valeurs à connaître :
\[
30^\circ=\frac{\pi}{6},\quad 45^\circ=\frac{\pi}{4},\quad 60^\circ=\frac{\pi}{3}.
\]
Piège : ne jamais mélanger degrés et radians dans une même résolution.
2 Cercle trigonométrique
| Lecture | Interprétation |
|---|---|
| \(M(\cos x;\sin x)\) | point-image de l’angle \(x\) |
| \(\cos x\) | abscisse du point |
| \(\sin x\) | ordonnée du point |
| \(x+2k\pi\) | même point-image |
| sens positif | inverse des aiguilles d’une montre |
Deux angles cotermes diffèrent d’un multiple de \(2\pi\).
3 Sinus / cosinus
\[
\cos^2 x+\sin^2 x=1
\]
\[
-1\le \cos x\le 1,\qquad -1\le \sin x\le 1
\]
\[
\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x
\]
\[
\cos(x+2k\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2k\pi)=\sin x
\]
\(\cos\) est pair, \(\sin\) est impair.
4 Tangente
\[
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
\qquad (\cos x\neq 0)
\]
Domaine :
\[
x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
\]
Période :
\[
\tan(x+k\pi)=\tan x
\]
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Lire une valeur remarquable
- Repérer l’angle remarquable sur le cercle.
- Choisir l’abscisse pour \(\cos\), l’ordonnée pour \(\sin\).
- Vérifier le signe avec le quadrant.
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12
\qquad
\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}
\]
B Angles associés
| Formule | Résultat |
|---|---|
| \(\sin(\pi-x)\) | \(\sin x\) |
| \(\cos(\pi-x)\) | \(-\cos x\) |
| \(\sin(\pi+x)\) | \(-\sin x\) |
| \(\cos(\pi+x)\) | \(-\cos x\) |
| \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) | \(\cos x\) |
| \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) | \(\sin x\) |
Exemple :
\[
\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12
\]
C Résoudre \(\sin x=a\)
- Trouver un angle de référence \(x_0\).
- Prendre les deux angles ayant la même ordonnée.
- Ajouter \(2k\pi\).
\[
\sin x=\frac12
\iff
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\text{ ou }
x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\]
D Résoudre \(\cos x=a\) ou \(\tan x=a\)
\[
\cos x=\cos a
\iff
x=a+2k\pi
\text{ ou }
x=-a+2k\pi
\]
\[
\tan x=\tan a
\iff
x=a+k\pi
\]
\[
\tan x=\sqrt3
\iff
x=\frac{\pi}{3}+k\pi
\]
Pièges classiques (à éviter)
1 Signes
\[
\sin(\pi-x)=\sin x
\quad \text{mais} \quad
\cos(\pi-x)=-\cos x
\]
Les signes changent selon la fonction.
2 Périodes
\(\sin\) et \(\cos\) ont pour période \(2\pi\).
\(\tan\) a pour période \(\pi\).
\(\tan\) a pour période \(\pi\).
3 Solutions générales
Il faut écrire les familles complètes avec \(k\in\mathbb{Z}\), pas seulement une valeur.
Réflexe : toujours raisonner avec le cercle trigonométrique avant d’écrire une solution.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Conversion
Convertir \(135^\circ\) en radians.
Corrigé : \(\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}\).
Q2 Valeur remarquable
Calculer \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
Corrigé : \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Q3 Parité
Simplifier \(\cos(-x)\).
Corrigé : \(\cos(-x)=\cos x\).
Q4 Angle associé
Simplifier \(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\).
Corrigé : \(\sin(\pi-x)=\sin x\), donc \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Q5 Tangente
Calculer \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
Corrigé : \(1\).
Q6 Équation
Résoudre \(\cos x=1\) dans \(\mathbb{R}\).
Corrigé : \(\boxed{x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Convertir degrés ↔ radians sans erreur.
- Lire le cercle trigonométrique avec \((\cos x;\sin x)\).
- Retrouver les valeurs remarquables de \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
- Utiliser les angles associés rapidement.
- Résoudre \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tan x=a\) dans \(\mathbb{R}\).
- Écrire les solutions générales avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Réflexes 20/20
1) Je pense d’abord au cercle trigonométrique.
2) Je vérifie le signe avec le quadrant.
3) Je termine toujours par la famille complète des solutions.
2) Je vérifie le signe avec le quadrant.
3) Je termine toujours par la famille complète des solutions.
À bannir : oublier \(k\in\mathbb{Z}\), confondre \(\pi\) et \(2\pi\), mélanger degrés et radians.