Cours — Fonctions trigonométriques
Radians, cercle trigonométrique, \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), angles associés, identités, équations.
Synthèse visuelle
Cercle trigo + courbes \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)
Lecture : \(\cos x\) = abscisse, \(\sin x\) = ordonnée. \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\).
I — Cercle trigonométrique et radians
Mesure en radians, enroulement, périodicité
\[
\boxed{2\pi\ \text{rad} = 360^\circ \qquad \pi = 180^\circ \qquad \frac{\pi}{2}=90^\circ}
\]
Pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) :
\[
\boxed{\sin(x+2k\pi)=\sin x \qquad \cos(x+2k\pi)=\cos x}
\]
II — Sinus et cosinus
Définition sur le cercle, bornes, identités
\[
\boxed{M(\cos x,\ \sin x)}
\]
\[
\boxed{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}
\]
\[
\boxed{\cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x}
\]
\[
\boxed{-1\le \cos x\le 1 \qquad -1\le \sin x\le 1}
\]
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
III — Angles associés
Symétrie et déphasage — lecture directe sur le cercle
1) Relations de symétrie
Angles \(-x\), \(\pi-x\), \(\pi+x\).
2) Relations de déphasage
Angles \(\frac{\pi}{2}\pm x\).
\[
\boxed{\sin(\pi-x)=\sin x \qquad \cos(\pi-x)=-\cos x}
\]
\[
\boxed{\sin(\pi+x)=-\sin x \qquad \cos(\pi+x)=-\cos x}
\]
\[
\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x}
\]
\[
\boxed{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x}
\]
IV — Tangente et formules
Définition, domaine, addition
\[
\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\quad(\cos x\neq 0)}
\]
\[
\boxed{\mathcal{D}_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}}
\]
\[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \] \[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \] \[ \tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \]
\[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \] \[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \] \[ \tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \]