Fonctions Trigonometriques
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Fonctions trigonométriques (1ère Spé)
Radians • cercle trigonométrique • sinus / cosinus / tangente • angles associés • équations.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / bac).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Radians
\[
2\pi = 360^\circ
\qquad
\pi = 180^\circ
\qquad
\frac{\pi}{2}=90^\circ
\]
Valeurs de base :
\(30^\circ=\frac{\pi}{6}\),
\(45^\circ=\frac{\pi}{4}\),
\(60^\circ=\frac{\pi}{3}\),
\(90^\circ=\frac{\pi}{2}\).
Piège : ne pas mélanger degrés et radians dans la même ligne.
2 Cercle trigonométrique
À tout réel \(x\), on associe le point
\[
\boxed{M(\cos x ; \sin x)}.
\]
Donc :
abscisse \(=\cos x\),
ordonnée \(=\sin x\).
Deux angles qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) ont le même point-image.
Penser au sens positif : inverse des aiguilles d’une montre.
3 Sinus / cosinus
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Relation fondamentale | \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) |
| Parité de \(\cos\) | \(\cos(-x)=\cos x\) |
| Parité de \(\sin\) | \(\sin(-x)=-\sin x\) |
| Périodicité | \(\sin(x+2k\pi)=\sin x,\ \cos(x+2k\pi)=\cos x\) |
| Bornes | \(-1\le \sin x\le 1,\ -1\le \cos x\le 1\) |
Ne jamais oublier le \(+2k\pi\) dans les solutions générales.
4 Tangente
\[
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
\qquad (\cos x\neq 0)
\]
Domaine :
\[
x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
Période :
\[
\tan(x+k\pi)=\tan x.
\]
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Retrouver une valeur remarquable
- Repérer l’angle sur le cercle.
- Choisir si on lit l’abscisse (\(\cos\)) ou l’ordonnée (\(\sin\)).
- Gérer le signe selon le quadrant.
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12
\qquad
\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}
\]
B Utiliser les angles associés
| Formule | Résultat |
|---|---|
| \(\sin(\pi-x)\) | \(\sin x\) |
| \(\cos(\pi-x)\) | \(-\cos x\) |
| \(\sin(\pi+x)\) | \(-\sin x\) |
| \(\cos(\pi+x)\) | \(-\cos x\) |
| \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) | \(\cos x\) |
| \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) | \(\sin x\) |
Exemple :
\[
\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12
\]
C Résoudre \(\sin x=a\)
- Trouver l’angle de référence \(x_0\).
- Prendre les deux angles du cercle ayant la même ordonnée.
- Ajouter \(2k\pi\).
\[
\sin x=\frac12
\iff
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\text{ ou }
x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\]
D Résoudre \(\cos x=a\) ou \(\tan x=a\)
\[
\cos x=\cos a
\iff
x=a+2k\pi
\text{ ou }
x=-a+2k\pi
\]
\[
\tan x=\tan a
\iff
x=a+k\pi
\]
\[
\tan x=\sqrt3
\iff
x=\frac{\pi}{3}+k\pi
\]
Pièges classiques (à éviter)
1 Signe
\[
\sin(\pi-x)=\sin x
\quad \text{mais} \quad
\cos(\pi-x)=-\cos x
\]
Le sinus et le cosinus n’ont pas le même signe.
2 Période
\(\sin\) et \(\cos\) ont pour période \(2\pi\).
\(\tan\) a pour période \(\pi\).
\(\tan\) a pour période \(\pi\).
3 Solutions générales
Écrire seulement une valeur n’est pas suffisant dans \(\mathbb{R}\).
Il faut écrire la famille complète avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Il faut écrire la famille complète avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Réflexe : sur une équation trigonométrique, je cherche d’abord l’angle remarquable de référence, puis j’écris les angles correspondants sur le cercle.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Conversion
Convertir \(135^\circ\) en radians.
Corrigé : \(\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}\).
Q2 Valeur remarquable
Calculer \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
Corrigé : \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Q3 Parité
Simplifier \(\cos(-x)\).
Corrigé : \(\cos(-x)=\cos x\).
Q4 Angle associé
Simplifier \(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\).
Corrigé : \(\sin(\pi-x)=\sin x\), donc \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Q5 Tangente
Calculer \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
Corrigé : \(1\).
Q6 Équation
Résoudre \(\cos x=1\) dans \(\mathbb{R}\).
Corrigé : \(\boxed{x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Convertir degrés ↔ radians sans erreur.
- Lire le cercle trigonométrique avec \((\cos x ; \sin x)\).
- Retrouver les valeurs remarquables de \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
- Utiliser les angles associés rapidement.
- Résoudre \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tan x=a\) dans \(\mathbb{R}\).
- Écrire les solutions générales avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Réflexes 20/20
1) Je pense toujours au cercle trigonométrique.
2) Je vérifie le signe selon le quadrant.
3) Je termine par la famille complète de solutions.
2) Je vérifie le signe selon le quadrant.
3) Je termine par la famille complète de solutions.
À bannir : oublier \(k\in\mathbb{Z}\), confondre période \(\pi\) et \(2\pi\), mélanger degrés et radians.