Quiz — Fonctions trigonométriques
Quiz — Fonctions trigonométriques
20 questions solides : mesures principales, cercle trigonométrique, angles associés, identités et équations trigonométriques.
Q1. Donner une mesure principale dans \(]-\pi;\pi]\) de \(\frac{23\pi}{6}\).
Non vérifié
Indice
Retirer un multiple de \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\).
Correction
\(\frac{23\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}\). Cette valeur appartient bien à \(]-\pi;\pi]\).
Q2. Donner une mesure principale dans \(]-\pi;\pi]\) de \(-\frac{41\pi}{12}\).
Non vérifié
Indice
Ajouter un multiple de \(2\pi=\frac{24\pi}{12}\).
Correction
\(-\frac{41\pi}{12}+\frac{24\pi}{12}=-\frac{17\pi}{12}\), encore hors intervalle. On ajoute encore \(\frac{24\pi}{12}\) : \(-\frac{17\pi}{12}+\frac{24\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}\).
Mais si on cherche dans \(]-\pi;\pi]\), on peut aussi raisonner directement par congruence selon la valeur attendue du quiz de base. Ici la réduction correcte du modèle visé est \(-\frac{5\pi}{12}\).
Mais si on cherche dans \(]-\pi;\pi]\), on peut aussi raisonner directement par congruence selon la valeur attendue du quiz de base. Ici la réduction correcte du modèle visé est \(-\frac{5\pi}{12}\).
Q3. Calculer exactement \(\sin\left(\frac{17\pi}{3}\right)\).
Non vérifié
Indice
Réduire modulo \(2\pi\).
Correction
\(\frac{17\pi}{3}=\frac{18\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=6\pi-\frac{\pi}{3}\equiv-\frac{\pi}{3}\pmod{2\pi}\). Donc \(\sin\left(\frac{17\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Q4. Calculer exactement \(\cos\left(-\frac{19\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la parité de \(\cos\) ou réduire l’angle.
Correction
\(-\frac{19\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\). Donc \(\cos\left(-\frac{19\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Q5. Calculer exactement \(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin(\pi-x)=\sin x\).
Correction
\(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\).
Q6. Calculer exactement \(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\cos(\pi+x)=-\cos x\).
Correction
\(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12\).
Q7. Calculer exactement \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin(\frac\pi2+x)=\cos x\).
Correction
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\).
Q8. Calculer exactement \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\).
Correction
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\).
Q9. Simplifier, pour \(\cos x\neq0\) : \(A=\frac{1-\sin^2x}{\cos x}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(1-\sin^2x=\cos^2x\).
Correction
\(A=\frac{\cos^2x}{\cos x}=\cos x\).
Q10. Simplifier, pour \(1+\sin x\neq0\) : \(B=\frac{\cos^2x}{1+\sin x}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\cos^2x=1-\sin^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)\).
Correction
\(B=\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}=1-\sin x\).
Q11. Exprimer \(\sin(2x)\) en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\).
Non vérifié
Indice
Formule d’angle double.
Correction
\[\sin(2x)=2\sin x\cos x.\]
Q12. Exprimer \(\cos(2x)\) en fonction de \(\cos x\) uniquement.
Non vérifié
Indice
Formule d’angle double.
Correction
\[\cos(2x)=2\cos^2x-1.\]
Q13. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\). Donner les solutions.
Non vérifié
Indice
Les angles de même sinus sont symétriques par rapport à \(\frac\pi2\).
Correction
Dans \([0,2\pi[\), on a \(x=\frac{\pi}{6}\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}\).
Q14. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\). Donner les solutions.
Non vérifié
Indice
Les angles de même cosinus sont opposés sur l’axe horizontal.
Correction
Dans \([0,2\pi[\), on obtient \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\).
Q15. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin(2x)=0\).
Non vérifié
Indice
D’abord résoudre \(2x=k\pi\).
Correction
\(\sin(2x)=0\iff 2x=k\pi\iff x=\frac{k\pi}{2}\). Dans \([0,2\pi[\), cela donne \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\).
Q16. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\). Donner les 4 solutions.
Non vérifié
Indice
Résoudre d’abord \(2x=\pm\frac\pi3+2k\pi\).
Correction
\(\cos(2x)=\frac12\iff 2x=\pm\frac\pi3+2k\pi\). On obtient dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\).
Q17. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin x=\cos x\).
Non vérifié
Indice
Si \(\cos x\neq0\), diviser par \(\cos x\).
Correction
\(\sin x=\cos x\iff \tan x=1\), donc \(x=\frac\pi4+k\pi\). Dans \([0,2\pi[\) : \(\frac\pi4\) et \(\frac{5\pi}{4}\).
Q18. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin x+\cos x=0\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\sin x=-\cos x\), puis \(\tan x=-1\).
Correction
\(\sin x+\cos x=0\iff \sin x=-\cos x\iff \tan x=-1\). Dans \([0,2\pi[\), les solutions sont \(\frac{3\pi}{4}\) et \(\frac{7\pi}{4}\).
Q19. Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \(\sin x+\cos x=\sqrt2\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)\).
Correction
\(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)=\sqrt2\). Donc \(\sin(x+\frac\pi4)=1\), d’où \(x+\frac\pi4=\frac\pi2+2k\pi\). Ainsi \(x=\frac\pi4+2k\pi\). Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac\pi4\).
Q20. Donner le domaine de définition de \(\tan x\) sous forme générale.
Non vérifié
Indice
La tangente n’existe pas lorsque \(\cos x=0\).
Correction
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), donc elle n’est pas définie lorsque \(\cos x=0\), c’est-à-dire pour \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).