Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique, radians, sin/cos/tan, angles associés, identités, équations.

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Exercices — Fonctions trigonométriques

1ère Spécialité Maths — cercle, radians, angles associés, identités, équations.

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Consignes :
  • Travailler en radians, réponses exactes.
  • Ramener les angles dans \([0,2\pi[\).
  • Utiliser cercle, parité, périodicité, angles associés.
Niveau Bac
Visuels utiles
Cercle trigonométrique
\(\cos x\) = abscisse, \(\sin x\) = ordonnée, \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)
Symétries trigonométriques
Symétries sur le cercle trigonométrique
Déphasages trigonométriques
Déphasages et angles associés
1
Conversions & mesures principales
Bases
  1. Convertir en radians : \(15^\circ,\ 75^\circ,\ 150^\circ,\ 330^\circ\).
  2. Donner une mesure principale dans \(]-\pi;\pi]\) de : \(-\frac{17\pi}{6},\ \frac{19\pi}{4},\ -\frac{29\pi}{12},\ \frac{41\pi}{6}\).
Correction
  1. \(15^\circ=\frac{\pi}{12}\), \(75^\circ=\frac{5\pi}{12}\), \(150^\circ=\frac{5\pi}{6}\), \(330^\circ=\frac{11\pi}{6}\).
  2. \(-\frac{17\pi}{6}\equiv -\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{19\pi}{4}\equiv \frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{29\pi}{12}\equiv -\frac{5\pi}{12}\), \(\frac{41\pi}{6}\equiv \frac{5\pi}{6}\) (dans \(]-\pi;\pi]\)).
2
Valeurs exactes (lecture du cercle)
Cercle
Calculer exactement : \(\cos\frac{5\pi}{6},\ \sin\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{7\pi}{4},\ \sin\frac{7\pi}{4}\).
Correction
\[ \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12,\quad \cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
3
Signes de \(\sin\) et \(\cos\) (angles grands)
Signe
Sans calculatrice, déterminer le signe de : \[ \cos\left(-\frac{13\pi}{12}\right),\quad \sin\left(\frac{23\pi}{6}\right),\quad \sin\left(-\frac{17\pi}{3}\right),\quad \cos\left(\frac{29\pi}{6}\right). \]
Correction
\[ -\frac{13\pi}{12}\equiv \frac{11\pi}{12}\ (\text{QII})\Rightarrow \cos<0. \] \[ \frac{23\pi}{6}\equiv \frac{11\pi}{6}\ (\text{QIV})\Rightarrow \sin<0. \] \[ -\frac{17\pi}{3}\equiv -\frac{5\pi}{3}\equiv \frac{\pi}{3}\Rightarrow \sin>0. \] \[ \frac{29\pi}{6}\equiv \frac{5\pi}{6}\ (\text{QII})\Rightarrow \cos<0. \]
4
Tangente : valeurs exactes
\(\tan\)
Calculer exactement : \[ \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right),\quad \tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right),\quad \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right). \]
Correction
\[ \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\quad \tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-1,\quad \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}. \]
5
Angles associés : symétries
Associés
Exprimer en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\) : \(\sin(\pi-x),\ \cos(\pi-x),\ \sin(\pi+x),\ \cos(\pi+x)\).
Correction
\[ \sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos(\pi+x)=-\cos x. \]
6
Angles associés : déphasages
\(\frac{\pi}{2}\pm x\)
Exprimer en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\) : \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right),\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right),\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right),\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right). \]
Correction
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x. \]
7
Identités : simplifications
Méthodes
Simplifier (pour les \(x\) autorisés) : \[ A=\frac{1-\sin^2x}{\cos x},\qquad B=\frac{\cos x}{1+\sin x}\cdot\frac{1-\sin x}{\cos x},\qquad C=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}. \]
Correction
\[ A=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x\quad(\cos x\neq 0). \] \[ B=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\quad(1+\sin x\neq 0,\ \cos x\neq 0). \] \[ C=1\quad(\sin x\neq 0,\ \cos x\neq 0). \]
8
Produit remarquable trigonométrique
Identité
Montrer que : \[ (1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^2 x \] puis en déduire une écriture simplifiée de \(\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\).
Correction
\[ (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x. \] Si \(\cos x\neq 0\), on peut écrire : \[ \frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{\cos x}{1+\sin x}. \]
9
Identité de la tangente
Preuve
Prouver (pour \(\cos x\neq 0\)) : \[ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}. \]
Correction
\[ 1+\tan^2 x = 1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}. \]
10
Signe sur un intervalle
Signe
Donner le signe de \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) pour : \[ x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right). \]
Correction
Sur \(\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\) (quadrant III) : \[ \sin x<0,\quad \cos x<0,\quad \tan x>0. \]
11
Équation : \(\sin x=\frac12\)
Bac
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale dans \(\mathbb{R}\) : \[ \sin x=\frac12. \]
Correction
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{6}\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}\).
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
12
Équation : \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\)
Bac
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale : \[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Correction
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{3\pi}{4}\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
13
Équation : \(\tan x=1\)
Bac
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[ \tan x=1. \]
Correction
\[ \tan x=1 \iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
14
Équation : \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
Bac
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[ \sin x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Correction
\[ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \] (équivalent : \(x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\)).
15
\(\sin x=\cos x\)
Très solide
Résoudre dans \([0,2\pi[\) puis dans \(\mathbb{R}\) : \[ \sin x=\cos x. \]
Correction
\(\sin x=\cos x \Rightarrow \cos x\neq 0\) et \(\tan x=1\).
Donc \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\).
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).
16
\(\sin(2x)=0\)
Solide
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis solution générale : \[ \sin(2x)=0. \]
Correction
\[ \sin(2x)=0 \iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi}{2}. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\).
17
\(\cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
Bac
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[ \cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right). \]
Correction
\[ \cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\iff 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \text{ou}\ 2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi. \] Donc \[ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
18
\(\sin x+\cos x=\sqrt2\)
Très solide
Résoudre dans \([0,2\pi[\) : \[ \sin x+\cos x=\sqrt2. \]
Correction
\[ \sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \] Donc \(\sqrt2\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 \iff \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\).
\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2k\pi. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\).
19
\(\tan x=-\sqrt3\) + domaine
Domaine
Donner le domaine de \(\tan\) puis résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[ \tan x=-\sqrt3. \]
Correction
Domaine : \[ \mathcal{D}_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}. \] \(\tan x=-\sqrt3\Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).
20
Décomposition : \(\sin x-\cos x\)
Très solide
On définit \(f(x)=\sin x-\cos x\).
  1. Écrire \(f(x)\) sous la forme \(\sqrt2\sin(x-\alpha)\) (déterminer \(\alpha\)).
  2. Résoudre \(f(x)=1\) dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale.
Correction

1) On utilise \(\sin(x-\frac{\pi}{4})=\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}(\sin x-\cos x)\).

\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}. \]

2) \(\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\Rightarrow \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\).

Donc \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \] \[ \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\pi+2k\pi. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{2}\) ou \(x=\pi\).