Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (1ère spé)

1. On multiplie les degrés par \(\dfrac{\pi}{180}\) : \[18^\circ=\dfrac{\pi}{10},\quad 54^\circ=\dfrac{3\pi}{10},\quad 135^\circ=\dfrac{3\pi}{4},\quad 315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}.\]

2. \[\dfrac{23\pi}{6}\equiv-\dfrac{\pi}{6},\quad -\dfrac{17\pi}{4}\equiv-\dfrac{\pi}{4},\quad \dfrac{35\pi}{3}\equiv-\dfrac{\pi}{3},\quad -\dfrac{53\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{6}\pmod{2\pi}.\]

3. Par exemple, pour \(-\dfrac{\pi}{6}\) : \(\dfrac{11\pi}{6}\) et \(-\dfrac{13\pi}{6}\). Pour \(-\dfrac{\pi}{4}\) : \(\dfrac{7\pi}{4}\) et \(-\dfrac{9\pi}{4}\).

4. On multiplie les radians par \(\dfrac{180}{\pi}\) : \[-\dfrac{7\pi}{5}=-252^\circ,\quad \dfrac{13\pi}{12}=195^\circ,\quad \dfrac{5\pi}{3}=300^\circ,\quad -\dfrac{11\pi}{6}=-330^\circ.\]

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[M_{\pi/6}\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right),\quad M_{3\pi/4}\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right),\] \[M_{5\pi/3}\left(\dfrac12;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right),\quad M_{-\pi/4}\left(\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right).\]

2. Les abscisses donnent les cosinus et les ordonnées les sinus.

3. Les angles appartiennent respectivement aux quadrants I, II, IV et IV.

4. Le même cosinus que \(\pi/6\) est obtenu en \(2\pi-\pi/6=11\pi/6\). Le même sinus est obtenu en \(\pi-\pi/6=5\pi/6\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[-\dfrac{13\pi}{12}\equiv\dfrac{11\pi}{12},\quad \dfrac{23\pi}{6}\equiv\dfrac{11\pi}{6},\quad -\dfrac{17\pi}{3}\equiv\dfrac{\pi}{3},\quad \dfrac{29\pi}{6}\equiv\dfrac{5\pi}{6}.\]

2. Quadrants : II, IV, I, II. Les couples de signes \((\cos,\sin)\) sont donc \((- , +)\), \((+,-)\), \((+,+)\), \((- , +)\).

3. Les signes sont contraires pour les 1er, 2e et 4e angles.

4. Le produit \(\sin x\cos x\) est positif lorsque sinus et cosinus ont le même signe : c'est uniquement le 3e angle, réduit à \(\pi/3\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\left(\dfrac\pi2+x\right)=-\sin x,\quad \sin\left(\dfrac\pi2-x\right)=\cos x.\]

2. \[\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2},\quad \sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac12,\quad \cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin\dfrac{5\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.\]

3. Les angles appartiennent respectivement aux quadrants II, III, III et IV, ce qui fixe les signes.

4. Comme \(\sin(-x)=-\sin x\) et \(\sin(\pi+x)=-\sin x\), la première somme vaut \(-2\sin x\). De plus \(\cos(-x)=\cos x\) et \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), donc la seconde somme vaut \(0\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Dans le quadrant III, sinus et cosinus sont négatifs : \[\sin x=-\sqrt{1-\dfrac9{25}}=-\dfrac45,\qquad \tan x=\dfrac{-4/5}{-3/5}=\dfrac43.\]

2. Dans le quadrant II, le cosinus est négatif : \[\cos y=-\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=-\dfrac{12}{13},\qquad \tan y=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac5{12}.\]

3. On vérifie \(9/25+16/25=1\) et \(25/169+144/169=1\).

4. Dans le quatrième quadrant, \(\cos z>0\) et \(\sin z<0\). Le rapport \(-3/4\) correspond au triangle \(3\)-\(4\)-\(5\), donc \(\boxed{\sin z=-3/5}\) et \(\boxed{\cos z=4/5}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\mathcal D_{\tan}=\mathbb R\setminus\left\{\dfrac\pi2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}.\]

2. \[\tan\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{3},\qquad \tan\dfrac{3\pi}{4}=-1,\qquad \tan\left(-\dfrac\pi3\right)=-\sqrt3.\]

3. \(\tan x=-1\iff x=-\dfrac\pi4+k\pi\). Dans \([-\pi;\pi]\) : \(x=-\dfrac\pi4\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}\).

4. \[\boxed{x=-\dfrac\pi4+k\pi,\quad k\in\mathbb Z}.\]

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(A(x)=\cos^2x\).

2. \(1-\cos^2x=\sin^2x\), donc \(B(x)=\sin x\) lorsque \(\sin x\ne0\).

3. \[(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x,\] \[(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x.\]

4. En additionnant, les termes croisés s'annulent et l'on obtient \(2\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(-x)=2-3\cos(-x)=2-3\cos x=f(x)\).

2. \(f(x+2\pi)=2-3\cos(x+2\pi)=f(x)\).

3. \(g(-x)=\sin(-2x)=-g(x)\), et \(g(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=g(x)\).

4. \(h(-x)=\cos(-4x)=h(x)\), et \(h(x+\pi/2)=\cos(4x+2\pi)=h(x)\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[x\in\left\{\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}{4}\right\}.\]

2. \[x\in\left\{\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right\}.\]

3. Dans l'intervalle demandé, \(x=\dfrac\pi3\).

4. \(x=k\pi\). Dans \([-2\pi;2\pi]\) : \(-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[f'(x)=-2\sin x.\]

2. Sur \([0;\pi]\), \(f'(x)\le0\). Ainsi \(f\) est décroissante, de \(f(0)=1\) à \(f(\pi)=-3\).

3. \(2\cos x-1=0\iff \cos x=\dfrac12\), donc \(\boxed{x=\dfrac\pi3}\).

4. Comme \(f\) est décroissante : \(f(x)\ge0\) sur \([0;\pi/3]\) et \(f(x)\le0\) sur \([\pi/3;\pi]\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\cos(-x)=\cos x\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Sur \([0;\pi]\), \(-\sin x\le0\), donc cosinus décroît de \(1\) à \(-1\). Par parité, il croît de \(-1\) à \(1\) sur \([-\pi;0]\).

3. Maximum : \(1\) en \(x=0\). Minimum : \(-1\) en \(x=\pm\pi\).

4. \[\boxed{x\in\left[-\dfrac\pi3;\dfrac\pi3\right]}.\]

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[(\sin x)'=\cos x.\]

2. \(\cos x\ge0\) sur \([0;\pi/2]\cup[3\pi/2;2\pi]\), et \(\cos x\le0\) sur \([\pi/2;3\pi/2]\).

3. Sinus croît de \(0\) à \(1\), décroît de \(1\) à \(-1\), puis croît de \(-1\) à \(0\). Maximum \(1\) en \(\pi/2\), minimum \(-1\) en \(3\pi/2\).

4. \[\boxed{x\in\left[\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]}.\]

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[f'(x)=\cos x-\sin x.\] Dans \([0;2\pi]\), les zéros sont \(\pi/4\) et \(5\pi/4\).

2. \(f\) croît sur \([0;\pi/4]\), décroît sur \([\pi/4;5\pi/4]\), puis croît sur \([5\pi/4;2\pi]\). Les extrema sont \(\sqrt2\) et \(-\sqrt2\).

3. \[\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)=\sqrt2\left(\sin x\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos x\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sin x+\cos x.\]

4. Comme un sinus est compris entre \(-1\) et \(1\), l'expression est comprise entre \(-\sqrt2\) et \(\sqrt2\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\boxed{g([0;2\pi])=[-1;3]}.\]

2. \[x=\dfrac{2\pi}{3}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{4\pi}{3}.\]

3. \(g\ge0\) sur \([0;2\pi/3]\cup[4\pi/3;2\pi]\), et \(g\le0\) sur \([2\pi/3;4\pi/3]\).

4. \(g'(x)=-2\sin x\) : \(g\) décroît sur \([0;\pi]\) et croît sur \([\pi;2\pi]\), ce qui confirme le tableau de signe.

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(h(x+\pi)=h(x)\).

2. \[h'(x)=2\cos(2x).\]

3. Les points critiques sont \(x=\pi/4\) et \(x=3\pi/4\). Ainsi \(h\) croît de \(0\) à \(1\), décroît jusqu'à \(-1\), puis croît jusqu'à \(0\).

4. \(\sin(2x)=0\iff 2x=k\pi\), donc sur \([0;\pi]\) : \(\boxed{0,\pi/2,\pi}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[2x=2k\pi\pm\dfrac\pi3\iff x=k\pi\pm\dfrac\pi6.\]

2. \[\boxed{x\in\left\{\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right\}}.\]

3. \(\cos(2x)\) effectue deux périodes quand \(x\) parcourt \([0;2\pi[\), et le niveau \(1/2\) est rencontré deux fois par période : on attend donc quatre solutions.

4. Parmi \(x=k\pi\pm\pi/6\), seules \(\boxed{-\pi/6\text{ et }\pi/6}\) appartiennent à l'intervalle demandé.

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[x=\dfrac\pi{18}+\dfrac{2k\pi}{3}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]

2. Pour \(k=0,1,2\) : \[\boxed{\dfrac\pi{18},\dfrac{5\pi}{18},\dfrac{13\pi}{18},\dfrac{17\pi}{18},\dfrac{25\pi}{18},\dfrac{29\pi}{18}}.\]

3. Il y a 6 solutions : \(\sin(3x)\) possède 3 périodes sur \([0;2\pi[\), et le niveau \(1/2\) est atteint deux fois par période.

4. Dans \([-\pi/2;\pi/2]\), on conserve \(\boxed{-7\pi/18,\ \pi/18,\ 5\pi/18}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Le membre de gauche vaut \(\cos^2x+\sin^2x=1\).

2. Les deux produits sont respectivement \(\cos^2x\) et \(\sin^2x\).

3. L'équation devient \(\cos^2x=3/4\), donc \(\cos x=\pm\sqrt3/2\). Ainsi \[\boxed{x\in\left\{\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right\}}.\]

4. La différence vaut \(\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)\). Puis \(\cos(2x)=1/2\) donne \(2x=2k\pi\pm\pi/3\), donc, dans \([0;2\pi[\), le même ensemble \(\boxed{\{\pi/6,5\pi/6,7\pi/6,11\pi/6\}}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Il faut et il suffit que \(\boxed{m\in[-2;2]}\).

2. Si \(-2\lt m\lt2\), le niveau \(m/2\) est atteint deux fois sur \([0;2\pi[\).

3. Pour \(m=2\), seule la solution \(x=0\) appartient à \([0;2\pi[\) ; pour \(m=-2\), seule \(x=\pi\). Donc exactement une solution pour \(m=\pm2\).

4. \(\cos x=\sqrt2/2\), donc \(\boxed{x=\pi/4\text{ ou }7\pi/4}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\boxed{p([0;2\pi])=[1;5]}.\]

2. \(3-2\sin x=2\iff \sin x=1/2\), donc \(\boxed{x=\pi/6\text{ ou }5\pi/6}\).

3. \(p'(x)=-2\cos x\). Ainsi \(p\) décroît sur \([0;\pi/2]\), croît sur \([\pi/2;3\pi/2]\), puis décroît sur \([3\pi/2;2\pi]\).

4. Le minimum vaut \(1\), donc \(p(x)\ge1\gt0\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\cos x\ne0\), donc \(x\ne\pi/2+k\pi\).

2. \[\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin^2x}{\cos x(1+\sin x)}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.\]

3. \(F(x)=1\iff 1-\sin x=\cos x\iff \sin x+\cos x=1\). Dans \([0;2\pi[\), les solutions de cette dernière équation sont \(0\) et \(\pi/2\), mais \(\pi/2\) n'appartient pas au domaine de \(F\). Donc \(\boxed{x=0}\).

4. Toute multiplication par une expression pouvant s'annuler peut introduire une solution interdite ; il faut toujours revenir au domaine initial.

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[2\sqrt3\left(\cos x\dfrac{\sqrt3}{2}+\sin x\dfrac12\right)=3\cos x+\sqrt3\sin x.\]

2. Comme le cosinus appartient à \([-1;1]\), \(\boxed{-2\sqrt3\le A(x)\le2\sqrt3}\).

3. \(A(x)=3\iff \cos(x-\pi/6)=\sqrt3/2\), d'où \(\boxed{x=0\text{ ou }\pi/3}\) dans l'intervalle.

4. \(\cos(x-\pi/6)\ge\sqrt3/2\), donc \(\boxed{x\in[0;\pi/3]}\) dans \([0;2\pi[\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\boxed{f_a(\mathbb R)=[a-2;a+2]}.\]

2. Équation \(\cos x=-a/2\). Si \(|a|\gt2\) : aucune solution ; si \(|a|\lt2\) : deux solutions ; si \(|a|=2\) : une solution dans \([0;2\pi[\).

3. Il faut que le minimum \(a-2\ge0\), donc \(\boxed{a\ge2}\).

4. Il faut \(a-2\gt0\), donc \(\boxed{a\gt2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[\sin x=\cos\left(\dfrac\pi2-x\right).\]

2. On résout \(\cos(x-\pi/3)=\cos(\pi/2-x)\). Le cas \(x-\pi/3=\pi/2-x+2k\pi\) donne \(x=5\pi/12+k\pi\). L'autre cas imposerait \(\pi/6=2k\pi\), impossible pour \(k\in\mathbb Z\).

3. \[\boxed{x=\dfrac{5\pi}{12}\text{ ou }\dfrac{17\pi}{12}}.\]

4. Pour \(x=5\pi/12\), les deux membres valent \(\cos(\pi/12)=\sin(5\pi/12)\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[2\left(\sin x\dfrac{\sqrt3}{2}+\cos x\dfrac12\right)=\sqrt3\sin x+\cos x.\]

2. \(\boxed{-2\le F(x)\le2}\). Le maximum \(2\) est atteint quand \(x+\pi/6=\pi/2+2k\pi\), soit \(x=\pi/3+2k\pi\). Le minimum est atteint en \(x=4\pi/3+2k\pi\).

3. \[F'(x)=\sqrt3\cos x-\sin x.\] L'équation \(F'(x)=0\) donne \(\tan x=\sqrt3\), donc \(x=\pi/3\) ou \(4\pi/3\) sur un tour.

4. \(2\sin(x+\pi/6)=0\), donc \(x=-\pi/6+k\pi\). Dans \([0;2\pi[\) : \(\boxed{5\pi/6,11\pi/6}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Le sinus retrouve ses valeurs quand son argument augmente de \(2\pi\), donc \(\pi T/6=2\pi\), d'où \(\boxed{T=12\text{ min}}\).

2. \(\boxed{h_{\min}=4\text{ m}}\) et \(\boxed{h_{\max}=20\text{ m}}\).

3. \(h=16\iff \sin(\pi t/6)=1/2\), donc \(\boxed{t=1\text{ ou }5}\). Et \(h(t)\ge16\) pour \(\boxed{t\in[1;5]}\).

4. \[h'(t)=\dfrac{4\pi}{3}\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right).\] La cabine monte sur \([0;3]\cup[9;12]\) et descend sur \([3;9]\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. La période vaut \(\boxed{12\text{ mois}}\).

2. Maximum pour \(t=3\) : \(21^\circ\). Minimum pour \(t=9\) : \(9^\circ\).

3. \(T=18\iff \cos(\pi(t-3)/6)=1/2\). Dans \([0;12]\), \(\boxed{t=1\text{ ou }5}\).

4. Le cosinus est au moins \(1/2\) entre les deux angles correspondants autour du maximum : \(\boxed{t\in[1;5]}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[a=\dfrac{5+(-1)}2=2,\qquad |b|=\dfrac{5-(-1)}2=3.\]

2. \(f(\pi/2)=2+b=5\), donc \(b=3\).

3. \[\boxed{f(x)=2+3\sin x}.\]

4. \(2+3\sin x=2\iff \sin x=0\), donc \(\boxed{x=0\text{ ou }\pi}\) dans \([0;2\pi[\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Comme un sinus appartient à \([-1;1]\), on obtient immédiatement l'encadrement demandé.

2. Si \(|m|\gt\sqrt2\) : 0 solution ; si \(|m|\lt\sqrt2\) : 2 solutions ; si \(|m|=\sqrt2\) : 1 solution sur un tour.

3. \(\sqrt2\sin(x+\pi/4)=1\), donc \(\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2\). On obtient \(\boxed{x=0\text{ ou }\pi/2}\).

4. Il faut \(\sin(x+\pi/4)=1\), donc \(\boxed{x=\pi/4}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \[A^2+B^2=(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2(\sin^2x+\cos^2x)=2.\]

2. Comme \(B^2\ge0\), on a \(A^2\le2\), donc \(|A|\le\sqrt2\). De même pour \(B\).

3. \(A(x)=1\) donne \(x=0\) ou \(x=\pi/2\). Alors \(B(0)=-1\) et \(B(\pi/2)=1\). Les valeurs possibles sont donc \(\boxed{-1\text{ et }1}\).

4. \(A=\sqrt2\) est atteint uniquement lorsque \(\sin(x+\pi/4)=1\), donc \(x=\pi/4\). On vérifie alors \(B(\pi/4)=0\). Ainsi \(\boxed{x=\pi/4}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.