Exercices corrigés — Fonctions trigonométriques (1ère spé)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 1ère Spécialité sur Fonctions trigonométriques. Tu vas t’entraîner sur sinus, cosinus, tangente, calculs d’angles et de longueurs avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Cours de mathématiques en 1ère Spécialité : Fonctions trigonométriques
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Fiche de révision maths 1ère Spécialité : Fonctions trigonométriques
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Exercices corrigés de mathématiques en 1ère Spécialité : Fonctions trigonométriques
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Quiz de maths 1ère Spécialité : Fonctions trigonométriques
1ère Spé
Chapitres
Exercices — Fonctions trigonométriques
1ère Spécialité Maths — cercle, radians, angles associés, identités, équations.
Consignes :
Niveau Bac
- Travailler en radians, réponses exactes.
- Ramener les angles dans \([0,2\pi[\).
- Utiliser cercle, parité, périodicité, angles associés.
Visuels utiles
1
Bases
Conversions & mesures principales
- Convertir en radians : \(15^\circ,\ 75^\circ,\ 150^\circ,\ 330^\circ\).
- Donner une mesure principale dans \(]-\pi;\pi]\) de : \(-\frac{17\pi}{6},\ \frac{19\pi}{4},\ -\frac{29\pi}{12},\ \frac{41\pi}{6}\).
Correction
- \(15^\circ=\frac{\pi}{12}\), \(75^\circ=\frac{5\pi}{12}\), \(150^\circ=\frac{5\pi}{6}\), \(330^\circ=\frac{11\pi}{6}\).
- \(-\frac{17\pi}{6}\equiv -\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{19\pi}{4}\equiv \frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{29\pi}{12}\equiv -\frac{5\pi}{12}\), \(\frac{41\pi}{6}\equiv \frac{5\pi}{6}\) (dans \(]-\pi;\pi]\)).
2
Cercle
Valeurs exactes (lecture du cercle)
Calculer exactement :
\(\cos\frac{5\pi}{6},\ \sin\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{7\pi}{4},\ \sin\frac{7\pi}{4}\).
Correction
\[
\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12,\quad
\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.
\]
3
Signe
Signes de \(\sin\) et \(\cos\) (angles grands)
Sans calculatrice, déterminer le signe de :
\[
\cos\left(-\frac{13\pi}{12}\right),\quad
\sin\left(\frac{23\pi}{6}\right),\quad
\sin\left(-\frac{17\pi}{3}\right),\quad
\cos\left(\frac{29\pi}{6}\right).
\]
Correction
\[
-\frac{13\pi}{12}\equiv \frac{11\pi}{12}\ (\text{QII})\Rightarrow \cos<0.
\]
\[
\frac{23\pi}{6}\equiv \frac{11\pi}{6}\ (\text{QIV})\Rightarrow \sin<0.
\]
\[
-\frac{17\pi}{3}\equiv -\frac{5\pi}{3}\equiv \frac{\pi}{3}\Rightarrow \sin>0.
\]
\[
\frac{29\pi}{6}\equiv \frac{5\pi}{6}\ (\text{QII})\Rightarrow \cos<0.
\]
4
\(\tan\)
Tangente : valeurs exactes
Calculer exactement :
\[
\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right),\quad
\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right),\quad
\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right).
\]
Correction
\[
\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\quad
\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-1,\quad
\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.
\]
5
Associés
Angles associés : symétries
Exprimer en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\) :
\(\sin(\pi-x),\ \cos(\pi-x),\ \sin(\pi+x),\ \cos(\pi+x)\).
Correction
\[
\sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad
\sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos(\pi+x)=-\cos x.
\]
6
\(\frac{\pi}{2}\pm x\)
Angles associés : déphasages
Exprimer en fonction de \(\sin x\) et \(\cos x\) :
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right),\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right),\
\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right),\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right).
\]
Correction
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,
\]
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\quad
\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x.
\]
7
Méthodes
Identités : simplifications
Simplifier (pour les \(x\) autorisés) :
\[
A=\frac{1-\sin^2x}{\cos x},\qquad
B=\frac{\cos x}{1+\sin x}\cdot\frac{1-\sin x}{\cos x},\qquad
C=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.
\]
Correction
\[
A=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x\quad(\cos x\neq 0).
\]
\[
B=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\quad(1+\sin x\neq 0,\ \cos x\neq 0).
\]
\[
C=1\quad(\sin x\neq 0,\ \cos x\neq 0).
\]
8
Identité
Produit remarquable trigonométrique
Montrer que :
\[
(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^2 x
\]
puis en déduire une écriture simplifiée de \(\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\).
Correction
\[
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x.
\]
Si \(\cos x\neq 0\), on peut écrire :
\[
\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{\cos x}{1+\sin x}.
\]
9
Preuve
Identité de la tangente
Prouver (pour \(\cos x\neq 0\)) :
\[
1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
\]
Correction
\[
1+\tan^2 x = 1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}
=\frac{1}{\cos^2 x}.
\]
10
Signe
Signe sur un intervalle
Donner le signe de \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) pour :
\[
x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right).
\]
Correction
Sur \(\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\) (quadrant III) :
\[
\sin x<0,\quad \cos x<0,\quad \tan x>0.
\]
11
Bac
Équation : \(\sin x=\frac12\)
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\sin x=\frac12.
\]
Correction
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{6}\) ou \(x=\frac{5\pi}{6}\).
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
12
Bac
Équation : \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\)
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale :
\[
\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.
\]
Correction
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{3\pi}{4}\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
Dans \(\mathbb{R}\) : \[ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]
13
Bac
Équation : \(\tan x=1\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\tan x=1.
\]
Correction
\[
\tan x=1 \iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
14
Bac
Équation : \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Correction
\[
x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
(équivalent : \(x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\)).
15
Très solide
\(\sin x=\cos x\)
Résoudre dans \([0,2\pi[\) puis dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\sin x=\cos x.
\]
Correction
\(\sin x=\cos x \Rightarrow \cos x\neq 0\) et \(\tan x=1\).
Donc \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\).
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).
Donc \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\).
Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\) ou \(x=\frac{5\pi}{4}\).
16
Solide
\(\sin(2x)=0\)
Résoudre dans \([0,2\pi[\), puis solution générale :
\[
\sin(2x)=0.
\]
Correction
\[
\sin(2x)=0 \iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi}{2}.
\]
Dans \([0,2\pi[\) : \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\).
17
Bac
\(\cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
\]
Correction
\[
\cos(2x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\iff
2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \text{ou}\ 2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi.
\]
Donc
\[
x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
\]
18
Très solide
\(\sin x+\cos x=\sqrt2\)
Résoudre dans \([0,2\pi[\) :
\[
\sin x+\cos x=\sqrt2.
\]
Correction
\[
\sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).
\]
Donc \(\sqrt2\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 \iff \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\).
\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2k\pi. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\).
\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2k\pi. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{4}\).
19
Domaine
\(\tan x=-\sqrt3\) + domaine
Donner le domaine de \(\tan\) puis résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
\[
\tan x=-\sqrt3.
\]
Correction
Domaine :
\[
\mathcal{D}_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.
\]
\(\tan x=-\sqrt3\Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).
20
Très solide
Décomposition : \(\sin x-\cos x\)
On définit \(f(x)=\sin x-\cos x\).
- Écrire \(f(x)\) sous la forme \(\sqrt2\sin(x-\alpha)\) (déterminer \(\alpha\)).
- Résoudre \(f(x)=1\) dans \([0,2\pi[\), puis donner la solution générale.
Correction
1) On utilise \(\sin(x-\frac{\pi}{4})=\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}(\sin x-\cos x)\).
\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}. \]2) \(\sqrt2\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\Rightarrow \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\).
Donc \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \] \[ \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \text{ou}\ \ x=\pi+2k\pi. \] Dans \([0,2\pi[\) : \(x=\frac{\pi}{2}\) ou \(x=\pi\).Suivez votre progression
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